陳鑫 ，張澤 ，李東慶

（1.中國科學(xué)院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院凍土工程國家重點實驗室，甘肅蘭州730000；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京100049；3.東北林業(yè)大學(xué)寒區(qū)工程與科學(xué)技術(shù)研究院/土木工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150040）

地層改良是凍結(jié)法施工中防治凍脹融沉的重要措施[1-2]，如港珠澳大橋珠海連接線拱北隧道口岸暗挖段采用管幕凍結(jié)作為預(yù)支護時，對管幕周邊采用預(yù)先注漿土體改良法來控制凍土帷幕的凍脹融沉[3].改良土體在凍結(jié)法實施期間處于凍結(jié)狀態(tài).此外，地層改良廣泛應(yīng)用于季節(jié)凍土區(qū)和多年凍土區(qū)的路基工程和深基礎(chǔ)工程中[4-5].寒區(qū)地表存在著一層冬凍夏融的凍結(jié)-融化層，改良土暴露于自然環(huán)境下，每年都有很長的時間處于凍結(jié)狀態(tài).為促進地層改良在控制凍脹融沉和寒區(qū)工程建設(shè)中的推廣應(yīng)用，就有必要深入系統(tǒng)研究改良土的力學(xué)特性，尤其是對處于凍結(jié)狀態(tài)下的改良土力學(xué)特性的研究.

水泥是地層改良中廣泛使用的固化劑，把水泥摻加到地基中，使水泥與地基土發(fā)生物理、化學(xué)反應(yīng)，從而使地基土得到固化形成水泥土.國內(nèi)譚麗華[6]最先對凍結(jié)水泥土的單軸抗壓強度進行研究，考察了土性、水泥摻量、溫度對凍結(jié)水泥土單軸抗壓強度、彈性模量和泊松比的影響.隨后胡俊等學(xué)者[7-9]也對凍結(jié)水泥土的單軸抗壓強度進行了研究，考察的因素主要有土性、水泥摻量、溫度、養(yǎng)護齡期、水灰比.已有研究結(jié)果均表明水泥土的單軸抗壓強度隨溫度降低和水泥摻量增加而增大，隨養(yǎng)護齡期的增加也呈增大趨勢，王許諾等[10]還對各影響因素的重要性進行了研究，指出溫度對水泥土力學(xué)特性影響最大.于學(xué)敏[11]通過室內(nèi)直剪試驗研究了含水量、水灰比、養(yǎng)護時間、溫度對注漿、凍結(jié)后粉細(xì)砂抗剪強度的影響，給出了各因素與試樣抗剪強度值之間的關(guān)系.游小鋒等[12]通過一系列低溫三軸剪切試驗研究了凍結(jié)溫度、水灰比、含水量、養(yǎng)護時間、圍壓對凍結(jié)水泥土抗剪強度及割線模量的影響，結(jié)果表明抗剪強度與割線模量均隨凍結(jié)溫度降低而增大，與水灰比、含水量、養(yǎng)護時間呈正比關(guān)系.張向東等[13]首先通過室內(nèi)單軸壓縮試驗及凍脹量確定出風(fēng)積砂中最優(yōu)水泥摻量，通過動力循環(huán)試驗研究了水泥改良風(fēng)積砂在負(fù)溫下的動力參數(shù).牛亞強等[14]對黃土、水泥改良黃土及石灰改良黃土進行了-6 ℃下的三軸壓縮試驗，圍壓取1～15 MPa，研究了圍壓對凍結(jié)黃土和凍結(jié)改良黃土的強度和變形特性的影響，建立了能夠描述凍結(jié)黃土及凍結(jié)改良黃土的強度隨圍壓變化的非線性莫爾-庫侖強度準(zhǔn)則.

從以上研究可以看出，目前關(guān)于凍結(jié)狀態(tài)下水泥土強度的研究主要集中在單軸抗壓強度方面，對其三軸抗剪強度的研究較少，且同樣是考察歸納各因素對其強度的影響規(guī)律，研究深度不足.巖土材料的變形破壞過程就是損傷不斷累積的過程.張土喬[15]考慮到水泥土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系受水泥摻量、養(yǎng)護齡期、圍壓的影響表現(xiàn)出不同特征，基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)建立了能夠反映水泥土加工軟化、加工硬化和脆性三種應(yīng)力-應(yīng)變特征的損傷本構(gòu)模型和損傷變量演化方程.童小東等[16]基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)和不可逆熱力學(xué)理論建立了水泥土彈塑性正交各向異性損傷本構(gòu)模型，陳慧娥[17]在此基礎(chǔ)上考慮有機質(zhì)的影響，建立了耦合有機質(zhì)作用的損傷變量演化方程.王立峰等[18]在應(yīng)力主軸與材料主軸重合且在加載過程中保持不變的假定前提下建立了損傷本構(gòu)模型，通過單軸加卸載試驗確定了模型中參數(shù).

以上關(guān)于水泥土損傷本構(gòu)模型的研究均是基于室溫狀態(tài)，考慮到目前對凍結(jié)狀態(tài)下水泥土受荷損傷特征研究較少，本文首先進行了室溫和凍結(jié)狀態(tài)時不同圍壓下水泥土三軸剪切試驗（室溫狀態(tài)作為對照），考察了圍壓對水泥土力學(xué)參數(shù)影響規(guī)律，建立了能夠反映出低圍壓對凍結(jié)水泥土強度的強化作用和高圍壓的弱化作用的修正Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則.之后假設(shè)水泥土微元強度的分布規(guī)律服從雙參數(shù)的Weibull 函數(shù)，基于非線性的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則和其修正形式分別確定室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土微元強度F，損傷本構(gòu)模型中的參數(shù)通過室溫和凍結(jié)狀態(tài)下三軸試驗數(shù)據(jù)確定，最后利用圍壓對Weibull 函數(shù)中的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)進行修正，建立了考慮圍壓的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型，通過與試驗曲線對比討論其適用性.最后討論了損傷變量隨軸向應(yīng)變和圍壓的演化規(guī)律.

1 三軸剪切試驗方案

1.1 試樣制備

試驗用土取自蘭州市，其基本物理性質(zhì)指標(biāo)：最優(yōu)含水量為16.2%，最大干密度為1.74 g/cm3，塑限wP=15.6%，液限wL=27.7%，塑性指數(shù)IP= 12.1.土樣的顆粒級配曲線如圖1 所示.

圖1 試驗土樣顆粒級配曲線Fig.1 The particles gradation curve

試驗所用水泥為青海水泥有限公司生產(chǎn)的昆侖山PC32.5.將試驗所用土樣風(fēng)干、碾壓、過2 mm 篩，測定過篩后土樣的含水率.根據(jù)《水泥土配合比設(shè)計規(guī)程》（JGJ/T233—2011）中規(guī)定的水泥摻量范圍3%～25%[19]，同時參考相關(guān)文獻研究取值[20]，試驗設(shè)計水泥土中水泥摻量取15%，初始含水量為22.2%，初始干密度為1.6 g/cm3.制樣時先根據(jù)水泥摻量計算出所需的干土和水泥質(zhì)量，然后充分?jǐn)嚢杈鶆?，最后加入所需的去離子水后再攪拌.嚴(yán)格控制整個制樣過程在30 min 內(nèi)完成.將制好的試樣用保鮮膜包裹，放入恒溫箱中養(yǎng)護7 d.隨后將試樣裝模，放入飽和缸進行抽真空飽和，確保試樣飽和度在95%以上.

1.2 試驗方法

試驗設(shè)定室溫（+20 ℃）和負(fù)溫（-5 ℃）兩種溫度，分別研究室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土三軸壓縮強度.試驗儀器采用凍土工程國家重點實驗室的MTS-810 低溫材料試驗機，其最大軸向荷載為50 kN，最大圍壓為20 MPa，溫度控制范圍為-25 ℃～40 ℃.將飽和后的部分試樣直接在室溫狀態(tài)下進行不同圍壓下的三軸剪切試驗，考慮到地層改良實際施工擾動的影響，如采用注漿改良地層時的壓密作用，將圍壓設(shè)定為 0.25、0.5、0.75、1.0 MPa 共 4 個水平.將其余試樣和模具置于-25℃的恒溫箱中迅速凍結(jié)48 h，然后拆模將試樣兩端用環(huán)氧樹脂墊片固定，外層套乳膠膜，最后放入-5 ℃恒溫箱靜置12 h 使試樣達到設(shè)定溫度.考慮到凍結(jié)過程中凍脹應(yīng)力的影響，凍結(jié)狀態(tài)下圍壓設(shè)定為 0.5、1.0、1.5、2.5、3.5、5.0、7.0 MPa 共7 個水平.施加圍壓后的試樣在設(shè)定條件下固結(jié)2 h，隨后以0.125 mm/min 的加載速度施加軸向荷載.應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)峰值時繼續(xù)加載一段時間結(jié)束試驗；無峰值時，試樣產(chǎn)生20%應(yīng)變結(jié)束試驗.

2 試驗結(jié)果分析

2.1 變形特征

圖2 為室溫和凍結(jié)狀態(tài)水泥土在不同圍壓下偏應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線.

從圖2 中可以看出，當(dāng)軸向應(yīng)變較小時，室溫和凍結(jié)狀態(tài)下偏應(yīng)力隨軸向應(yīng)變增大近似呈線性增大，隨后過渡到彈塑性階段.室溫狀態(tài)下試驗設(shè)定圍壓較小，偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線均表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變軟化現(xiàn)象.凍結(jié)狀態(tài)下水泥土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線形態(tài)受圍壓影響明顯，圍壓小于3.5 MPa 時，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變軟化現(xiàn)象；圍壓大于等于3.5 MPa 時，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系則呈應(yīng)變硬化現(xiàn)象.室溫和凍結(jié)狀態(tài)下施加不同圍壓時水泥土偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線可用文獻[21]提出的改進鄧肯-張模型描述，擬合線示于圖2，該模型表達式如下：

式中：a1、a2、a3隨圍壓變化而變化，單位均為 MPa-1.

圖2 水泥土偏應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線Fig.2 Curves of deviatoric stress-axial strain of cement-reinforced soil

室溫狀態(tài)下施加的圍壓較小時，偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰后脆性明顯，隨著圍壓增大，應(yīng)力峰值附近的塑性變形也增大.峰值應(yīng)變與圍壓的關(guān)系如圖3 所示.

圖3 峰值應(yīng)變和圍壓的關(guān)系Fig.3 Relation between peak strain and confining pressure

由圖3 可知，峰值應(yīng)變隨圍壓的增大而增大，兩者呈線性關(guān)系，可用式（2）表示，相關(guān)系數(shù)高達0.951 6.

2.2 初始切線模量E0 特征

三軸壓縮過程中 dσ1=dσ2=0，根據(jù)式（1）可求得試驗起始ε1=0 時的切線模量：

可知式（3）中參數(shù)a1代表試驗初始切線模量E0的倒數(shù).室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土的E0與圍壓關(guān)系如圖4 所示.

圖4 初始切線模量與圍壓的關(guān)系Fig.4 Relationship between initial tangent modulus and confining pressure

從圖4 可知室溫和凍結(jié)狀態(tài)下初始切線模量E0均隨圍壓增大而增大，但變化形式不同.室溫狀態(tài)下初始切線模量E0隨圍壓增大而增大，但增大趨勢迅速變緩，可借鑒圍壓對巖石楊氏模量影響公式來描述二者之間關(guān)系[22]，擬合公式示于圖4 中.認(rèn)為水泥土試樣內(nèi)部含若干裂隙缺陷，軸向荷載增加時，裂隙之間可能發(fā)生有摩擦的滑移，也可能不發(fā)生滑移.當(dāng)圍壓較大時發(fā)生滑移的裂隙較少，表現(xiàn)出初始切線模量E0隨圍壓增大而增大.較小的圍壓就可使大部分裂隙缺陷受到約束而不發(fā)生滑移，隨著圍壓繼續(xù)增大，受約束的裂隙缺陷數(shù)目增加較小，表現(xiàn)為初始切線模量E0增大趨勢變緩.凍結(jié)狀態(tài)下初始切線模量E0同樣隨圍壓增大而增大，開始時增長趨勢較緩，隨著圍壓增大，增長趨勢也越來越大.凍結(jié)水泥土強度較大，較小圍壓難以使其壓密，其內(nèi)部受約束的裂隙缺陷數(shù)目較少，表現(xiàn)為初始切線模量E0隨圍壓增大緩慢增大.凍結(jié)水泥土在較大圍壓作用下變得更加致密，雖然較大圍壓會使凍結(jié)水泥土內(nèi)部冰晶壓融而產(chǎn)生新的裂隙缺陷，但其內(nèi)部越來越多的裂隙缺陷受到約束，表現(xiàn)為初始切線模量E0隨圍壓增大迅速增大.凍結(jié)狀態(tài)下水泥土E0與圍壓的關(guān)系可用指數(shù)函數(shù)表示，擬合公式如圖4（b）所示.

2.3 強度特征

本文強度取值說明，當(dāng)圖2 中水泥土偏應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線呈應(yīng)變軟化時取峰值偏應(yīng)力作為極限強度；當(dāng)偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈應(yīng)變硬化時，取軸向應(yīng)變?yōu)?5%對應(yīng)的偏應(yīng)力值作為極限強度.

室溫和凍結(jié)狀態(tài)水泥土強度隨圍壓的變化規(guī)律如圖5 所示.從圖5 中可以看出，室溫狀態(tài)下水泥土強度隨圍壓增加而增大；凍結(jié)狀態(tài)水泥土強度隨圍壓增加呈現(xiàn)出先增大后略微減小的趨勢.圍壓小于3.5 MPa 時，凍結(jié)狀態(tài)水泥土強度隨圍壓增加迅速增大；圍壓大于3.5 MPa 時，強度基本不變甚至略有減小.

圖5 強度隨圍壓的變化規(guī)律Fig.5 The variation of strength with confining pressure

線性的Mohr-Coulomb 強度準(zhǔn)則與非線性的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則在描述巖土材料破壞時的最大軸向應(yīng)力σ1max與圍壓σ3關(guān)系中廣泛應(yīng)用，二者表達式分別如下：

式中：M 和N 為強度準(zhǔn)則參數(shù)，分別為M=2ccos φ/（1-sin φ），N=（1+sin φ）/（1-sin φ）=tan2（45°+φ/2）；σc為水泥土單軸抗壓強度，室溫和凍結(jié)狀態(tài)下分別為2.22、5.83 MPa；B 為材料擬合參數(shù).

室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土試樣的最大軸向應(yīng)力σ1max與圍壓 σ3的關(guān)系如圖6 所示.隨著圍壓 σ3增大，室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土的最大軸向應(yīng)力σ1max逐漸增大.利用Coulomb 準(zhǔn)則進行回歸，回歸參數(shù)及相關(guān)系數(shù)示于圖6 中.可得室溫狀態(tài)下黏聚力c 為0.641 MPa，內(nèi)摩擦角 φ 為 37.08°，破壞面的法向與試樣軸向的夾角為63.54°；凍結(jié)狀態(tài)下黏聚力c 為2.70 MPa，內(nèi)摩擦角12.79°，破壞面的法向與試樣軸向的夾角為51.40°.室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土試樣的最大軸向應(yīng)力σ1max與圍壓σ3的關(guān)系雖然均可用線性的Mohr-Coulomb 強度準(zhǔn)則回歸且得到的相關(guān)系數(shù)較高，但是當(dāng)σ1=0 時外推得到的抗拉強度σt分別為0.64、4.32 MPa，與實際情況差別較大.

圖6 第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力關(guān)系的擬合曲線Fig.6 The fitting curve of the first principle stress vs.the third principle stress

此外，大量有關(guān)凍土強度的研究表明，圍壓較小時，由于受到圍壓的作用，凍土三軸剪切過程中其內(nèi)部裂隙和孔洞發(fā)展受到限制，顆粒間的膠結(jié)作用得到一定程度的增強，最終表現(xiàn)為圍壓對凍土強度的強化作用；隨著圍壓的進一步增大，凍土內(nèi)的冰晶發(fā)生壓融，使未凍水含量增大，顆粒間膠結(jié)強度減小，最終表現(xiàn)為高圍壓對凍土強度的弱化作用.從圖2中凍結(jié)狀態(tài)水泥土偏應(yīng)力-軸向應(yīng)變曲線可知，當(dāng)圍壓大于等于3.5 MPa 時，隨著圍壓進一步增大，最大偏應(yīng)力幾乎不變.從圖6 可以看出，非線性的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則在描述室溫狀態(tài)下水泥土的第一主應(yīng)力σ1和第三主應(yīng)力σ3關(guān)系時與Mohr-Coulomb強度準(zhǔn)則相比相關(guān)系數(shù)更高，在拉伸區(qū)得到更符合實際的抗拉強度σt.但是其同樣無法反映出高圍壓對凍土強度的弱化效應(yīng)，因此對Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則進行如下形式的修正：

式中：A 為擬合參數(shù)，其值為負(fù)，能夠反映出高圍壓下凍結(jié)水泥土中冰晶發(fā)生壓融，強度隨圍壓的增大而降低.

利用修正的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則對凍結(jié)狀態(tài)下水泥土試樣的最大軸向應(yīng)力σ1max與圍壓σ3的關(guān)系進行回歸，結(jié)果如圖6 所示，相關(guān)系數(shù)較高且在拉伸區(qū)得到的抗拉強度σt為0.69 MPa.采用巴西劈裂法對凍結(jié)狀態(tài)下水泥土抗拉強度σt進行測試，結(jié)果如圖7 所示，試驗測得的抗拉強度為0.65 MPa.對比可知利用修正的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則計算得到的拉伸區(qū)抗拉強度σt與試驗實測值比較接近.

圖7 基于巴西劈裂測得的抗拉強度Fig.7 Tensile strength measured based on Brazilian splitting

討論：由凍土強度隨圍壓變化的臨界圍壓的概念可知，當(dāng)σ3趨近于臨界圍壓σcr時，圖5 中曲線斜率 q′為 0，如圖8 所示，有：

圖8 q′與圍壓關(guān)系Fig.8 Relationship between q′and confining pressure

求解公式（7）可得到：

可以看出根據(jù)改進的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則確定的臨界圍壓σcr和水泥土單軸抗壓強度值σc=5.83 MPa 接近.基本能夠反映圖5 中強度隨圍壓的變化規(guī)律，圍壓7.0 MPa 時極限偏應(yīng)力qf減小.

為考察本文提出的適用于凍結(jié)狀態(tài)的水泥土的改進Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則的適用性，將其與文獻[21]中式（9）所示的強度準(zhǔn)則進行比較.

式中：Pa為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓，取 0.101 33 MPa；σc和 σT分別為凍結(jié)水泥土的單軸抗壓強度和抗拉強度；k0和b0均為試驗參數(shù)，對于溫度為-5 ℃、摻量為15%的凍結(jié)水泥土，σc和 σT分別取 5.83 MPa、0.69 MPa.

通過以下方式將試驗數(shù)據(jù)代入上述兩種強度準(zhǔn)則來確定強度準(zhǔn)則中包含的參數(shù)：考慮所有8 組試驗數(shù)據(jù)確定強度準(zhǔn)則中的參數(shù)，然后依次去掉最小圍壓時試驗數(shù)據(jù)，采用剩余試驗數(shù)據(jù)確定強度準(zhǔn)則中的參數(shù)，得到兩種強度準(zhǔn)則中參數(shù)及相關(guān)系數(shù)如表1 所示，分別統(tǒng)計兩種強度準(zhǔn)則中參數(shù)平均值和最大相對誤差.

從表1 中可以看出，兩種強度準(zhǔn)則中參數(shù)變化較小，相關(guān)系數(shù)較高.從表1 中還可以看出根據(jù)不同圍壓組數(shù)下試驗數(shù)據(jù)確定的改進Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則參數(shù)計算出的臨界圍壓σcr變化很小，最大相對誤差僅為1.288%.

根據(jù)Mohr-Coulomb 強度理論可知，凍結(jié)水泥土試樣破壞時剪切面上的正應(yīng)力σ 和剪應(yīng)力τ 有如下關(guān)系：

將式（6）改寫為如下形式：

根據(jù)包絡(luò)線理論可得：

對式（10）和式（11）微分得：

表1 兩種強度準(zhǔn)則參數(shù)Tab.1 Parameters of two strength criterion

將式（13）代入式（12）得到正應(yīng)力 σ 和剪應(yīng)力τ的表達式如（14）所示：

式（14）即為凍結(jié)水泥土采用破壞面上正應(yīng)力σ和剪應(yīng)力τ 表達的非線性強度準(zhǔn)則，由此繪制出不同圍壓下應(yīng)力圓及基于改進的Hoek-Brown 強度包線如圖9 所示.

圖9 凍結(jié)水泥土不同圍壓下應(yīng)力圓及強度包線Fig.9 Stress circle and strength envelope curve under different confining pressure of frozen cement-reinforced soil

3 基于Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則的損傷本構(gòu)模型

假設(shè)室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土微元體強度的分布規(guī)律服從雙參數(shù)的Weibull 分布[16-23]，基于前文非線性的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則和修正的Hoek-Brown強度準(zhǔn)則描述室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土微元破損時有效第一主應(yīng)力和有效第三主應(yīng)力的關(guān)系，通過水泥土三軸試驗數(shù)據(jù)確定模型參數(shù)值，建立復(fù)雜受力狀態(tài)下水泥土損傷本構(gòu)模型.

3.1 模型建立

根據(jù)Lemaitre 提出的應(yīng)變等價性假說及其推廣，可得荷載作用下水泥土損傷本構(gòu)關(guān)系[24]，即：

式中：σ 為表觀應(yīng)力；E 為水泥土彈性模量；即基準(zhǔn)彈性模量；D 為荷載作用下的損傷變量；ε 為應(yīng)變.

D 可從宏觀角度定義為荷載作用下已破損單元數(shù)目與總單元數(shù)目之比[25]，即：

式中：Nf為荷載作用下已破損單元數(shù)目；Nt為總單元數(shù)目.

考慮到水泥土試樣內(nèi)部初始缺陷的非均質(zhì)性和隨機性，采用雙參數(shù)的Weibull 分布描述水泥土微元體強度F 的分布規(guī)律.進而可認(rèn)為荷載作用引起的損傷變量D 也服從該統(tǒng)計分布，表達式如下[26]：

式中：m、F0分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù).

采用Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則和修正的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則分別描述室溫狀態(tài)和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土微元強度，表達式如下：

式中：σ*為與表觀應(yīng)力相對應(yīng)的有效應(yīng)力，二者之間換算關(guān)系如下[23]：

常規(guī)三軸試驗可以得到表觀應(yīng)力σ1，σ2=σ3，軸向應(yīng)變ε1，根據(jù)虎克定律有：

根據(jù)公式（15）（17）（20）可得：

室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土微元強度用表觀應(yīng)力分別表示為：

根據(jù)公式（17）（21）得到如下表達式：

對式（23）兩邊取對數(shù)，移項，再取對數(shù)可得[23]：

通過線性擬合三軸試驗數(shù)據(jù)可以得到m 和W，進而可得：

3.2 模型參數(shù)確定

利用上述方法，根據(jù)室溫和凍結(jié)狀態(tài)水泥土三軸壓縮試驗數(shù)據(jù)對損傷本構(gòu)模型中參數(shù)進行確定，模型參數(shù)m 和F0如表2 所示.

已有關(guān)于模型參數(shù)m 和F0物理意義的研究表明[23]：參數(shù)m 反映了材料的脆性及延性特征，m 越大，材料脆性特征越明顯，峰值應(yīng)變越小；參數(shù)F0反映了材料的強度特征，F(xiàn)0越大，材料強度越大，抵抗破壞的能力越強.從表2 可以看出，擬合得到的參數(shù)m 和F0隨圍壓的變化而變化.參照文獻[27-28]的方法，利用模型參數(shù)m 和F0隨圍壓的變化規(guī)律對模型參數(shù)進行修正，以凍結(jié)狀態(tài)下數(shù)據(jù)為例，模型參數(shù)m和F0修正結(jié)果如式（27）所示，模型參數(shù)與圍壓關(guān)系如圖10 所示.

表2 三軸試驗結(jié)果擬合參數(shù)Tab.2 The fitting parameters of triaxial test results

圖10 Weibull 分布參數(shù)與圍壓的關(guān)系Fig.10 Relationships between confining pressures and distribution parameters of Weibull function

從圖10 可看出，尺度參數(shù)F0隨圍壓增加呈現(xiàn)拋物線變化趨勢.當(dāng)σ3趨近于臨界圍壓σcr= 5.37 MPa 附近時，F(xiàn)0達到峰值；隨著圍壓繼續(xù)增加，F(xiàn)0值減小.形狀參數(shù)m 隨圍壓增加呈指數(shù)規(guī)律衰減，說明隨著圍壓增加凍結(jié)水泥土脆性減弱.

至此即可得到室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土的考慮圍壓對模型參數(shù)影響的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型.

式中：F0和 m 由式（27）給出，F(xiàn) 由式（22）得到.

3.3 損傷本構(gòu)模型曲線與試驗曲線比較

根據(jù)所建立的損傷本構(gòu)模型得到不同圍壓下應(yīng)力-應(yīng)變曲線與室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土三軸壓縮試驗應(yīng)力-應(yīng)變曲線進行比較，如圖11 所示.

從圖11 中可以看出，所建立的統(tǒng)計損傷本構(gòu)模型能較好地預(yù)測室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土應(yīng)力-應(yīng)變曲線.該模型能夠反映出凍結(jié)狀態(tài)水泥土低圍壓下的應(yīng)變軟化現(xiàn)象（圍壓小于3.5 MPa，圖11（b）所示）與高圍壓下的應(yīng)變硬化現(xiàn)象（圍壓大于等于3.5 MPa，圖11（c）所示），同時能夠反映水泥土強度隨圍壓變化的特征.

圖11 試驗曲線與模型曲線比較Fig.11 Comparison between experimental and theoretical curves

3.4 損傷變量演化特性

根據(jù)公式（17）（22）（27）可得室溫和凍結(jié)狀態(tài)荷載作用下水泥土損傷變量D，圖12 為室溫和凍結(jié)狀態(tài)水泥土在不同圍壓下的損傷變量D 演化曲線.

從圖12（a）中可看出，室溫狀態(tài)時不同圍壓下?lián)p傷變量D 與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線形狀相似，均隨軸向應(yīng)變增加呈“S”型單調(diào)遞增.圍壓越大，達到相同應(yīng)變時損傷變量D 越小，表現(xiàn)出較高圍壓下水泥土損傷劣化過程變緩，損傷程度減小.這是由于較高圍壓限制了變形過程中試樣內(nèi)部缺陷的發(fā)展，使其力學(xué)性質(zhì)得到改善.結(jié)合圖11（a）還可看出，在偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線線彈性階段，損傷變量D 增長緩慢，線彈性階段結(jié)束時，不同圍壓下?lián)p傷變量D 較小且差別不大.在偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線由線彈性階段過渡到塑性階段，不同圍壓下?lián)p傷變量D 迅速增加且差別逐漸增大.

凍結(jié)狀態(tài)時水泥土在不同圍壓下的損傷變量D同樣表現(xiàn)出隨軸向應(yīng)變增加而增加，但圍壓對損傷變量曲線形狀影響較大.當(dāng)圍壓較?。?.5 ～2.5 MPa）時，圍壓對損傷變量D 的影響機制與室溫狀態(tài)類似，結(jié)合偏應(yīng)力-應(yīng)變曲線可知此時圍壓對凍結(jié)水泥土的強化作用占優(yōu)勢.隨著圍壓進一步增大，相同軸向應(yīng)變時損傷變量D 表現(xiàn)出隨圍壓增大而增大，即高圍壓使得損傷加劇.高圍壓下（如圍壓為7.0 MPa），損傷變量D 在軸向應(yīng)變很小時就表現(xiàn)出急劇的增長趨勢.軸向應(yīng)變?yōu)?1%時，圍壓為 1.0、5.0、7.0 MPa 時損傷變量分別為0.08、0.27、0.41.說明高圍壓導(dǎo)致凍結(jié)水泥土試樣內(nèi)部冰晶壓融，水泥石顆粒間膠結(jié)強度減小，此時圍壓對凍結(jié)水泥土的弱化作用占優(yōu)勢.

圖12 不同圍壓下?lián)p傷變量與軸向應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.12 Curves of damage variables and axial strain under different confining pressures

4 結(jié) 論

本文考慮水泥土材料非均勻性和隨機性的特點，基于連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)理論，結(jié)合Hoek-Brown強度準(zhǔn)則及其修正形式，建立了室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土統(tǒng)計損傷本構(gòu)方程，得到的主要結(jié)論如下：

1）室溫狀態(tài)時水泥土在不同圍壓下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線均表現(xiàn)出應(yīng)變軟化現(xiàn)象.當(dāng)圍壓小于3.5 MPa時，凍結(jié)狀態(tài)下水泥土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線表現(xiàn)為應(yīng)變軟化現(xiàn)象，圍壓大于等于3.5 MPa 時表現(xiàn)為應(yīng)變硬化現(xiàn)象.

2）非線性的Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則在描述室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土極限第一主應(yīng)力和第三主應(yīng)力關(guān)系時具有較高的精度，通過對Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則的形式進行修正，其能夠描述低圍壓對凍結(jié)水泥土強度的強化作用和高圍壓的弱化作用.

3）基于Hoek-Brown 強度準(zhǔn)則及其修正形式建立的損傷本構(gòu)模型能夠較好地描述室溫和凍結(jié)狀態(tài)下水泥土應(yīng)力-應(yīng)變曲線，且能夠反映出凍結(jié)狀態(tài)水泥土低圍壓下的應(yīng)變軟化現(xiàn)象與高圍壓下的應(yīng)變硬化現(xiàn)象.凍結(jié)狀態(tài)下得到的尺度參數(shù)F0隨圍壓增大呈現(xiàn)出先增加后減小的二次曲線變化規(guī)律，與凍結(jié)水泥土強度隨圍壓變化規(guī)律吻合.

4）室溫狀態(tài)時不同圍壓下?lián)p傷變量D 均隨軸向應(yīng)變增加呈“S”型單調(diào)遞增.圍壓越大，相同應(yīng)變時損傷變量D 越小，表現(xiàn)出較高圍壓下水泥土損傷劣化程度減小.凍結(jié)狀態(tài)下低圍壓抑制水泥土損傷劣化程度；高圍壓使其損傷劣化程度增加.