王陸君瑜 譚志陽 陳康寧 吳 平 陳 森

(北京科技大學(xué) 1材料科學(xué)與工程學(xué)院 2數(shù)理學(xué)院； 3土木與資源工程學(xué)院；4自然科學(xué)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，北京 100083)

氫原子及堿金屬原子光譜是近代物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的一個(gè)重要實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，有助于學(xué)生對(duì)原子光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)和量子缺的理解。該類原子光譜具有不同的線系，精細(xì)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度具有不同的比值，對(duì)于一個(gè)特定的線系而言，其比值接近一個(gè)定值。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，往往主要關(guān)心譜線對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)，卻很少關(guān)注譜線的強(qiáng)度比[1]，而譜線的強(qiáng)度比反映了從高能級(jí)到低能級(jí)的躍遷速率，能級(jí)的布居數(shù)等信息，因此光譜線的強(qiáng)度也是一個(gè)值得關(guān)注的點(diǎn)。查閱相關(guān)文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，前人雖然研究過氫原子及堿金屬原子各線系的譜線強(qiáng)度比，但是對(duì)上下能級(jí)均存在由于精細(xì)結(jié)構(gòu)而產(chǎn)生能級(jí)分裂的情況，無法進(jìn)行直接計(jì)算，而需要將上能級(jí)或者下能級(jí)進(jìn)行簡(jiǎn)并，考慮為一個(gè)能級(jí)再進(jìn)行計(jì)算，且在計(jì)算過程中還要引入下能級(jí)的布居數(shù)[2-4]。而按照愛因斯坦輻射理論，光譜線的強(qiáng)度為Imn=NmAmnhνmn，其中Nm是上能級(jí)的原子數(shù)目，Amn是自發(fā)輻射系數(shù)，νmn是譜線頻率，在計(jì)算過程中我們只應(yīng)該出現(xiàn)上能級(jí)的原子數(shù)，而不應(yīng)出現(xiàn)下能級(jí)的原子數(shù)。因此本文提出了一種更為精確的對(duì)氫原子及堿金屬原子光譜不同線系精細(xì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度比值的計(jì)算方法，直接從量子躍遷的角度出發(fā)，在電偶極輻射近似下，對(duì)自發(fā)躍遷幾率進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而求出譜線強(qiáng)度的比值。

1 躍遷幾率計(jì)算

由愛因斯坦的受激輻射理論，有：

(1)

式中A21為愛因斯坦自發(fā)輻射系數(shù)，代表單位時(shí)間原子從上一能級(jí)到下一能級(jí)的自發(fā)輻射概率；B21為受激輻射系數(shù)。取能級(jí)非簡(jiǎn)并的情況，則有B12=B21，B12為受激吸收系數(shù)。在室溫下，可見光波段，受激輻射強(qiáng)度與自發(fā)輻射的比值為：

(2)

所以受激輻射、受激吸收系數(shù)與自發(fā)輻射系數(shù)相比均可以忽略。

由量子力學(xué)理論可知，從Ψnljmj躍遷到Ψn′l′j′m′j的自發(fā)輻射系數(shù)[5]為：

(3)

式中ωkk′為輻射光子的角頻率，其中rkk′滿足rkk′=〈Ψnljmj|r|Ψn′l′j′m′j〉。

由公式(3)可以看出對(duì)于兩個(gè)固定能級(jí)，角頻率為確定的值，主要計(jì)算矩陣元rkk′即可。徑向部分對(duì)于從nl能級(jí)躍遷到n′l′是相同的，意味著只要上下能級(jí)的主量子數(shù)和角量子數(shù)固定，徑向部分就是定值。而對(duì)于氫原子及堿金屬原子，價(jià)電子的能量本征態(tài)可選為守恒量完全集(H,l2,j2,jz) 的共同本征態(tài)，即Ψnljmj=R(r)φljmj，其中φljmj滿足[5]：

(4)

所以矩陣元可以寫作：

(5)

下面分類討論：

1.1 對(duì)于l′=l+1的情況

1.1.1φA→φA型

(6)

1.1.2φB→φB型

(7)

此時(shí)相當(dāng)于φA→φA型中階數(shù)降一。

1.1.3φA→φB型

(8)

1.1.4φB→φA型

不符合選擇定則，此時(shí)是禁止躍遷的。

1.2 對(duì)于l′=l-1的情況

1.2.1φA→φA型

(9)

1.2.2φB→φB型

(10)

此時(shí)相當(dāng)于φA→φA型中階數(shù)降一。

1.2.3φA→φB型

不滿足選擇定則，此時(shí)是禁止躍遷的。

1.2.4φB→φA型

(11)

最終結(jié)果都表明對(duì)于上一能級(jí)，無論mj取值如何都不影響最終計(jì)算結(jié)果，在實(shí)驗(yàn)儀器無法區(qū)分這些簡(jiǎn)并態(tài)時(shí)，我們假定每一種態(tài)出現(xiàn)的概率都相等，相當(dāng)于計(jì)算結(jié)果乘上1/g，g為該能級(jí)的簡(jiǎn)并度，最后再求和，得到的結(jié)果仍和未考慮簡(jiǎn)并的結(jié)果一致。

根據(jù)以上推導(dǎo)結(jié)果，就可以對(duì)鈉原子光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度進(jìn)行定量計(jì)算。

2 精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度比值計(jì)算結(jié)果

光譜線的強(qiáng)度為：

Imn=NmAmnhνmn

(12)

在系統(tǒng)與外界處于分布熱平衡時(shí)，原子的布居數(shù)服從玻爾茲曼：Nm=gme-hν/kT,gm為該能級(jí)的簡(jiǎn)并度。

2.1 主線系

(13)

2.2 銳線系

相當(dāng)于從n′s→np躍遷，n′=n+1,n+2,n+3,…，n′s→np3/2相當(dāng)于l→l+1,φA→φA，相應(yīng)的譜線強(qiáng)度令為I1；而n′s→np1/2相當(dāng)于l→l+1,φA→φB，相應(yīng)的譜線強(qiáng)度令為I2。因?yàn)榈谝恢髯逶卦觩能級(jí)二重態(tài)的能量間隔的量級(jí)是10-3eV遠(yuǎn)小于kT，由式(6)、式(8)、式(12)得：

(14)

2.3 漫線系

(15)

2.4 基線系

(16)

3 與已有理論及實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比對(duì)

3.1 氫原子

以Hα(Dα) 譜線為例，其嚴(yán)格理論計(jì)算結(jié)果如表1所示[2]。

表1 Hα(Dα)精細(xì)結(jié)構(gòu)成分的強(qiáng)度[2]

由表1可得，對(duì)于Hα(Dα)原子，3p→2s譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度比值為2∶1，3s→2p譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度比值為2∶1，3d→2p譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度比值為9∶1∶5，這與本文給出的計(jì)算方法所得結(jié)果相符。

3.2 堿金屬原子

目前較為普遍的計(jì)算譜線雙重結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的定量規(guī)律為強(qiáng)度和定則，而本文的計(jì)算結(jié)果與強(qiáng)度和定則的計(jì)算結(jié)果完全一致[6]。在利用強(qiáng)度和定則求解時(shí)，必須聯(lián)立方程，同時(shí)求出兩能級(jí)之間所有精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度比值。而本文提供方法可以求出堿金屬原子兩能級(jí)之間任意兩條精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度比值，不必同時(shí)解出所有精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線的強(qiáng)度比值，對(duì)具有復(fù)雜精細(xì)結(jié)構(gòu)的譜線具有應(yīng)用和推廣價(jià)值。

實(shí)際實(shí)驗(yàn)得到的堿金屬元素原子的主線系和漫線系精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度比值分別如表2和表3所示[6]。

表2 堿金屬主線系的譜線強(qiáng)度[6]

由表2可得，對(duì)于主線系，第一條線與觀察結(jié)果符合得很好，理論值為2∶1，而較高序數(shù)的譜線則有所偏離或不再符合，這種現(xiàn)象可以解釋為自旋-軌道相互作用的結(jié)果[6]。由表3可得，對(duì)于漫線系，理論計(jì)算結(jié)果與觀察結(jié)果符合得很好，均約為9∶1∶5。 雖然理論預(yù)期的強(qiáng)度不總是與觀測(cè)相符合，但是這個(gè)近似的理論強(qiáng)度比在辨認(rèn)一些還未被分析的光譜中是非常有用的。

表3 堿金屬漫線系的譜線強(qiáng)度[6]

4 結(jié)論

主線系的精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度計(jì)算比值為2∶1，銳線系的精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度為2∶1，漫線系的精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度比值為9∶1∶5，基線系的精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線強(qiáng)度比值為20∶1∶14，與已有理論結(jié)果完全吻合[2]，該計(jì)算方法避免了引入更多的近似假設(shè)而導(dǎo)致的物理邏輯上的不嚴(yán)謹(jǐn)，物理模型更清晰，邏輯性更強(qiáng)，更具有普適性，有利于學(xué)生對(duì)原子光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)的深入理解。