李馮杰，慕阿榮，李同杰，靳廣虎，韓 軍，孫尚貞

(1.安徽科技學院 機械工程學院,安徽 鳳陽 233100；2.南京航空航天大學 機電學院,江蘇 南京 210016;3.泰州里華齒輪制造有限公司,江蘇 泰州 225300；4蚌埠市行星工程機械有限公司,安徽 蚌埠 233000)

根據(jù)直升機分流傳動系統(tǒng)的研究發(fā)展趨勢及其科學問題,結合直升機傳動系統(tǒng)的傳動特點,以應用于中、重型直升機傳動系統(tǒng)為背景,集合面齒輪傳動和圓柱齒輪傳動的優(yōu)點,提出了面齒輪—圓柱齒輪兩次分流傳動系統(tǒng)構型思想,其三維模型如圖1所示。

圖1 直升機面齒輪-圓柱齒輪兩次功率分流傳動新構型

該傳動系統(tǒng)輸入級采用面齒輪分流傳動,同時實現(xiàn)換向和動力分流,減掉了整個傳動系統(tǒng)中的一級傳動;同時,面齒輪傳動的圓柱齒輪無軸向力,因此支承結構簡單,且其軸向移動產(chǎn)生的誤差對傳動性能幾乎沒有影響;點接觸的面齒輪傳動在理論上仍能保證定傳動比傳動,而常用的點接觸錐齒輪傳動從原理上已不能保證定傳動比傳動,其傳動比在一定范圍內(nèi)波動,因此相對來說面齒輪傳動的振動小、噪聲低。其次,相對于行星齒輪傳動輸出而言,采用圓柱齒輪分流及并車傳動,其傳動比較大且靈活性較好;同時,由于圓柱齒輪上只采用了一對齒輪動力分流,其結構簡單,設計的空間大,而且當雙聯(lián)齒輪軸全部采用彈性軸結構時,其長度大,柔性好,更利于變形協(xié)調(diào)、實現(xiàn)均載。最后,從整個傳動系統(tǒng)來看,由于采用了兩次動力分流傳動,齒輪承受的載荷降低,使得齒輪的體積減小和線速度降低;傳動系統(tǒng)全部采用簡單定軸輪系傳動,技術上容易實現(xiàn)?？梢?針對大功率高轉速的高性能直升機,采用該傳動系統(tǒng)可以較小的傳動級數(shù)滿足傳動比要求,通過動力分流降低齒輪的負荷并減小齒輪的體積,符合未來直升機的發(fā)展需求[1]。

振動功率流是研究復雜機械系統(tǒng)振動能量傳遞特性的一種有效手段,近年來被廣泛用于各種復雜機械系統(tǒng)的動力學特性研究領域[2-3]。本文研究將基于面齒輪分流傳動系統(tǒng)的非線性動力學模型,開展圓柱齒輪-面齒輪分流傳動系統(tǒng)的振動功率流特性研究[4-5],揭示系統(tǒng)重要參數(shù)對振動輸入功率流的影響規(guī)律,為直升機面齒輪-圓柱齒輪兩次功率分流傳動新構型的研制提供理論基礎[6]。

1 面齒輪分流傳動系統(tǒng)非線性動力學模型

1.1 面齒輪分流傳動系統(tǒng)的動力學模型

面齒輪分流傳動系統(tǒng)通常由一個直齒圓柱齒輪和兩個面齒輪配合。直齒圓柱齒輪是驅動輪,兩個面齒輪是從動輪,這兩個齒輪軸互相垂直。圖2是基于圖1所示面齒輪-圓柱齒輪兩次功率分流傳動原理建立的正交平面齒輪分流傳動系統(tǒng)的非線性動力學模型。

圖2 面齒輪分流傳動系統(tǒng)的動力學模型

面齒輪分流傳動是一個直齒圓柱齒輪(以腳標1表示)同時和兩個面齒輪(分別以腳標2和腳標3表示)相嚙合的傳動,圓柱齒輪一般是主動輪。剛性支撐下的面齒輪分流傳動系統(tǒng)的動力學模型如圖2所示。建立如圖所示坐標系,其中面齒輪軸為z軸,圓柱齒輪軸為x軸,x、y、z軸滿足笛卡爾坐標系。根據(jù)面齒輪傳動的嚙合原理可知,圓柱齒輪1沒有軸向力,面齒輪2和面齒輪3沒有徑向力,且齒輪副之間的法向作用力始終和圓柱齒輪1的基圓相切;同時,系統(tǒng)對軸向誤差不敏感,無需防錯位設計。因此和錐齒輪傳動系統(tǒng)相比,面齒輪傳動系統(tǒng)的承載和支撐結構簡單,振動自由度數(shù)明顯減少。模型中,b為齒輪副的齒側間隙值,k為剛度系數(shù),c為阻尼系數(shù),T為轉矩。該模型是一個集中參數(shù)模型,兩齒輪采用集中質(zhì)量和集中轉動慣量模擬,軸采用無質(zhì)量的剛體模擬,軸承剛度無限大。

由于扭轉振動是齒輪傳動系統(tǒng)的主要振動形式,為分析問題的方便,本研報告只考慮面齒輪副的扭轉振動。正交面齒輪分流傳動系統(tǒng)的廣義位移列向量X可表示為:

X={θy1,θz2,θz3}T

(1)

式中,θy1、θz2和θz3分別為圓柱齒輪1和面齒輪2以及面齒輪3繞各自中心軸的扭轉振動位移。

利用第三章研究結論,通過傅立葉變換可以確定兩分流面齒輪副的的嚙合剛度可以表達為:

(2)

其中,角標12表示圓柱齒輪1和面齒輪2形成的齒輪副,角標13表示圓柱齒輪1和面齒輪3形成的齒輪副,平均嚙合剛度值km=3.13×108N·m-1。

齒輪副嚙合點之間的振動和誤差會導致相對位移X隨時間的變化。相對位移X的表達式為:

Xn12=rb1θy1cosα+rmθz2cosα-en12(t)

Xn13=rb1θy1cosα+rmθz3cosα-en13(t)

(3)

其中,α是齒輪壓力角，en(t)是齒輪副的靜態(tài)傳動誤差，可以表示為:

en12(t)=Aelcos(Ωht+Φ12)

en13(t)=Aelcos(Ωht+Φ13)

(4)

其中，Ael是按照諧波規(guī)律變化的傳遞誤差幅值,Ωh是誤差的角頻率,Φ是誤差變化的初相位, 這樣面齒輪的嚙合力Fn就可以表示為:

(5)

(6)

面齒輪以及圓柱齒輪的扭轉振動方程為:

(7)

其中,I1y和I2z、I3z分別代表直齒圓柱齒輪以及面齒輪2、3的轉動慣量。

計算方程(3)的關于時間的二階導數(shù),并結合方程(7),面齒輪分流傳動系統(tǒng)關于兩個嚙合相對位移的兩自由度純扭轉振動方程可以表示為:

(8)

1.2 面齒輪分流傳動系統(tǒng)無量綱振動方程

對于面齒輪分流傳動系統(tǒng)而言,微分方程中不同動態(tài)參數(shù)的數(shù)量級往往相差很大如果同一個微分方程中參數(shù)之間的差值很大,采用數(shù)值方法時就很難選擇步長和控制計算機的誤差,使方程的求解變得非常困難。

將齒輪副bc的半齒隙作為位移的標稱尺度,通過上述歸一化操作可以得到無量綱的動力學方程。

(9)

2 面齒輪分流傳動系統(tǒng)的振動功率流

振動的傳播實際上是振動能量的傳播,振動的大小直接由能量輸入的強度決定。因此,利用振動源的輸入功率流,即單位時間內(nèi)激勵力所做的功,來評價結構系統(tǒng)的振動強度簡單直觀。本研究報告從齒輪副嚙合剛度的時變、齒輪副的齒隙以及齒輪靜態(tài)傳動誤差出發(fā),推導了面齒輪分流傳動系統(tǒng)的振動能量源。為了明確輸入功率的振動大小,不包括齒輪系統(tǒng)的恒定轉矩驅動的恒功率流分量,面齒輪傳動系統(tǒng)的無量綱平均輸入功率流為

(10)

這樣,由式(10)表示的平均輸入功率流就可以準確地反映面齒輪副的振動能量大小。

2.1 圓柱齒輪轉速對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響

系統(tǒng)仿真的主要參數(shù)包括N1=36,N2=N3=123,模數(shù)m=4 mm,壓力角α=20°,T1=300 N·m,齒側間隙b=72 μm,系統(tǒng)的其他主要參數(shù)還包括ζm=0.05,κj1=0.5,f1m=0.2。

以下固定靜傳遞誤差幅值Ael=36 μm,圓柱齒輪傳遞功率值P=50 kW,齒側間隙b=72 μm,考察圓柱齒輪轉速對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響,分別如圖3～5所示。

通過圖形曲線可以看到:當頻率從小到大連續(xù)變化時,在考察的頻率區(qū)間0.5～2.5之間,輸入功率流曲線總體上隨頻率的增大而增大;存在若干個功率流的“頻率跳躍點”,在頻率跳躍點附近,頻率值的輕微變化就會導致系統(tǒng)的振動輸入功率流值發(fā)生大幅改變。功率跳躍現(xiàn)象提示面齒輪分流傳動系統(tǒng)設計者,要改變系統(tǒng)結構避開這些“頻率跳躍點”,避免振動沖擊現(xiàn)象的發(fā)生。

圖3 n=3000r/min時功率流譜圖4 n=1000r/min時功率流譜圖5 n=2000r/min時功率流譜Fig.3 Powerflowspectrumatn=3000r/minFig.4 Powerflowspectrumatn=1000r/minFig.5 Powerflowspectrumatn=2000r/min

對比不同轉速下的圖形曲線可以看到,轉速升高會顯著提升面齒輪分流傳動系統(tǒng)的中頻段1.5～2.0之間的功率流峰值,高頻段處的功率流峰值反而隨著轉速的提升而下降;轉速越低,系統(tǒng)功率流的“頻率跳躍點”越多,但功率跳躍幅值越小,轉速越高,系統(tǒng)功率流的“頻率跳躍點”越少,但功率跳躍幅值越大。

2.2 圓柱齒輪轉速對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響

以下固定圓柱齒輪轉速n=2 000 r/min,圓柱齒輪傳遞功率值P=50 kW,齒側間隙b=72 μm,考察靜傳遞誤差幅值Ael對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響,分別如圖6～8所示。

通過圖形曲線可以看到:靜傳遞誤差幅值Ael對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響非常顯著,較大的誤差幅值對應較大的振動功率流輸入,尤其是中頻段和低頻段處的功率流峰值增加明顯。較大的誤差幅值同時也會帶來跟更加明顯的功率流“突跳”現(xiàn)象。。

圖6 Ael=20μm時功率流譜圖7 Ael=50μm時功率流譜圖8 Ael=3.6μm時功率流譜Fig.6 PowerflowatAel=20μmFig.7 PowerflowspectrumatAel=50μmFig.8 PowerflowspectrumatAel=3.6μm

2.3 傳遞功率對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響

以下固定圓柱齒輪轉速n=2 000 r/min,靜傳遞誤差幅值Ael=36 μm,齒側間隙b=72 μm,考察圓柱齒輪傳遞功率值對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響,仿真結果分別如圖7～9所示。

圖9 P=75kW時功率流譜圖10 P=100kW時功率流譜圖11 P=20kW時功率流譜Fig.9 PowerflowspectrumatP=75kWFig.10 PowerflowspectrumatP=100kWFig.11 powerflowspectrumatP=20kW

通過圖形曲線可以看到,系統(tǒng)傳遞功率對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響主要表現(xiàn)在1～2之間的中頻區(qū)段,在該中頻區(qū)段內(nèi)系統(tǒng)的傳遞功率越小,系統(tǒng)的振動輸入功率流峰值反而越大;在高頻區(qū)段內(nèi),較高的傳遞功率值會導致系統(tǒng)的振動輸入功率值略有增加。

3 結論

本章建立面齒輪分流傳動系統(tǒng)的非線性動力學模型,研究了系統(tǒng)重要設計參數(shù)對振動輸入功率流的影響規(guī)律。

轉速升高會顯著提升面齒輪分流傳動系統(tǒng)的中頻段1.5～2.0之間的功率流峰值,高頻段處的功率流峰值反而隨著轉速的提升而下降;轉速越低,系統(tǒng)功率流的“頻率跳躍點”越多,但功率跳躍幅值越小,轉速越高,系統(tǒng)功率流的“頻率跳躍點”越少,但功率跳躍幅值越大。

靜傳遞誤差幅值Ael對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響非常顯著,較大的誤差幅值對應較大的振動功率流輸入,尤其是中頻段和低頻段處的功率流峰值增加明顯。較大的誤差幅值同時也會帶來跟更加明顯的功率流“突跳”現(xiàn)象。

系統(tǒng)傳遞功率對面齒輪分流傳動系統(tǒng)振動輸入功率的影響主要表現(xiàn)在1～2之間的中頻區(qū)段,在該中頻區(qū)段內(nèi)系統(tǒng)的傳遞功率越小,系統(tǒng)的振動輸入功率流峰值反而越大;在高頻區(qū)段內(nèi),較高的傳遞功率值會導致系統(tǒng)的振動輸入功率值略有增加。