李 凡

(榆林學(xué)院 能源工程學(xué)院，陜西 榆林 719000)

斑圖(Pattern)是指在空間或時(shí)間上具有某種規(guī)律性分布的宏觀結(jié)構(gòu)，它具有非均勻性。斑圖廣泛地存在于自然界，如水面上的波紋，天空中的云圖，宇宙中的星云圖，動(dòng)物表面的花紋，沙丘狀的斑圖，化學(xué)反應(yīng)中的斑圖以及氣體放電中的斑圖等[1]，如圖1所示。

圖1 自然界中存在的時(shí)空斑圖

1 斑圖及斑圖動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)介

事實(shí)上，最初人們對(duì)于此種斑圖形成的機(jī)理和演化規(guī)律是不清楚的。因?yàn)閺臒崃W(xué)角度去分析，有的斑圖是在熱力學(xué)平衡態(tài)條件下形成的，如化學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)，這種斑圖可以應(yīng)用經(jīng)典的熱力學(xué)原理來解釋。但是大部分斑圖是在遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)下產(chǎn)生的，如動(dòng)物的花紋、生物細(xì)胞中鈣離子的分布等，對(duì)于這種在遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)下產(chǎn)生的斑圖，經(jīng)典熱力學(xué)原理就不適用了。因此，斑圖動(dòng)力學(xué)就是在這背景下，為了解釋這類斑圖的產(chǎn)生原理及演化規(guī)律而形成的學(xué)科。

正如上所述，斑圖存在于各種各樣的系統(tǒng)，生態(tài)、化學(xué)、宇宙、生物等，因此斑圖動(dòng)力學(xué)的研究領(lǐng)域包括數(shù)學(xué)、生物、生態(tài)以及物理和化學(xué)等眾多學(xué)科。斑圖最早出現(xiàn)于1900年，H.Benard在做平行導(dǎo)熱實(shí)驗(yàn)時(shí)，在流體中發(fā)現(xiàn)了有序的空間斑圖[2]，但是并沒有對(duì)此種現(xiàn)象進(jìn)行深入研究，始終認(rèn)為它只是與流體有關(guān)的現(xiàn)象。直到1952年[3]，圖靈在發(fā)表的論文中從數(shù)學(xué)的角度指出空間斑圖在一定條件下可自發(fā)的形成，此外他還嘗試對(duì)動(dòng)物體表的斑紋是如何形成的給出實(shí)驗(yàn)證據(jù)，雖然他沒成功，但是這一發(fā)現(xiàn)引起了人們對(duì)斑圖研究的注意和思考，因而更多的人投入到了斑圖動(dòng)力學(xué)的研究中。1958年，俄國的兩位化學(xué)家別洛索夫(Belousov)和扎鮑廷斯基(Zhabotinskii)首次闡述了在檸檬酸被溴酸鉀氧化時(shí)會(huì)呈現(xiàn)一種化學(xué)振蕩現(xiàn)象，并在其中可觀察到時(shí)空斑圖，這就是反應(yīng)擴(kuò)散反應(yīng)的有名的B-Z反應(yīng)[4]。不過由于當(dāng)時(shí)人們局限于經(jīng)典熱力學(xué)，因此并沒有對(duì)于化學(xué)反應(yīng)中出現(xiàn)的振蕩行為以及斑圖的形成機(jī)理給出解釋。緊接著，歐陽頒教授于1991年首次發(fā)現(xiàn)并證實(shí)了圖靈斑圖與分岔現(xiàn)象的存在[5-6]。隨后，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)很多系統(tǒng)在一定條件下都可以產(chǎn)生斑圖，如流體系統(tǒng)、氣體放電系統(tǒng)，生物細(xì)胞的鈣離子分布，生態(tài)系統(tǒng)中生物之間的捕食等等[1]。至此斑圖動(dòng)力學(xué)的研究得到了蓬勃的發(fā)展，人們也致力于研究斑圖的形成機(jī)制，演化規(guī)律，斑圖的控制及斑圖的應(yīng)用。

2 斑圖的形成機(jī)制及應(yīng)用

豐富多彩，自然瑰麗的斑圖存在于自然界的不同系統(tǒng)中，人們?cè)谛蕾p這些美麗的時(shí)空結(jié)構(gòu)的同時(shí)，內(nèi)心的好奇心也驅(qū)使的人們?nèi)ヌ骄窟@些斑圖產(chǎn)生的機(jī)理和規(guī)律?？偟膩碚f，斑圖產(chǎn)生的原因是系統(tǒng)中的參量以某種方式相互作用而導(dǎo)致宏觀量出現(xiàn)有序分布的狀態(tài)，是一種由系統(tǒng)內(nèi)部決定的，自發(fā)對(duì)稱性破缺引起的系統(tǒng)本身重新自組織的結(jié)構(gòu)。斑圖主要分為空間斑圖和時(shí)空斑圖?？臻g分布的斑圖，在空間上呈周期、有序性地分布，最典型的就是圖靈斑圖；另一種是時(shí)空斑圖，這種斑圖不僅在空間周期、有序，而且在時(shí)間上也呈現(xiàn)周期振蕩，這類斑圖一般被稱為波紋圖，最具有代表性的就是靶波和螺旋波。事實(shí)上，對(duì)于不同種類的斑圖是如何形成，學(xué)者也從數(shù)學(xué)的角度分析了不同種類的斑圖是如何形成。分岔理論是研究斑圖動(dòng)力學(xué)的一種有效工具。研究發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)時(shí)，當(dāng)系統(tǒng)的參量越過某一個(gè)臨界值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)失去穩(wěn)定性，發(fā)生新的自組織行為，最終形成新的時(shí)空結(jié)構(gòu)[7]。在這些數(shù)學(xué)模型中表現(xiàn)為系統(tǒng)的參數(shù)連續(xù)變化經(jīng)過某一個(gè)臨界點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的定性性質(zhì)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化，研究發(fā)現(xiàn)空間斑圖即圖靈斑圖的形成是由于系統(tǒng)經(jīng)歷了Turing分岔，時(shí)間有序斑圖對(duì)應(yīng)的是Hopf分岔，而時(shí)空斑圖的形成則表明系統(tǒng)經(jīng)歷了Turing-Hopf分岔，也就是說Turing分岔可以促使空間有序斑圖的產(chǎn)生，而Hopf分岔使系統(tǒng)產(chǎn)生了關(guān)于時(shí)間的周期振蕩解[1]。因此研究系統(tǒng)在臨界值附近的動(dòng)力學(xué)行為具有非常重要的實(shí)際指導(dǎo)意義，因此系統(tǒng)的演化方向，穩(wěn)定性問題是斑圖研究中的重點(diǎn)內(nèi)容。

圖2 圖靈斑圖[1]

正是斑圖的廣泛存在性和其特殊動(dòng)力學(xué)特性，使其在各個(gè)領(lǐng)域的研究得到了深入開展，研究發(fā)現(xiàn)斑圖動(dòng)力學(xué)非常具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。如在心肌組織中靶波的破裂會(huì)導(dǎo)致螺旋波的產(chǎn)生以及螺旋波的不穩(wěn)定性會(huì)導(dǎo)致心臟跳動(dòng)的失穩(wěn)，甚至引發(fā)猝死。在生態(tài)系統(tǒng)，種群之間的傳染病會(huì)對(duì)人們的生存和生活帶來極大的傷害，對(duì)傳染病動(dòng)力學(xué)演化的研究有助于實(shí)現(xiàn)傳染病防治。生物之間的捕食模型則對(duì)物種的生存和分布會(huì)產(chǎn)生影響，可以用來解釋一些物種的遷移現(xiàn)象，因?yàn)槠涫艿赜驓夂颦h(huán)境，溫度，食物鏈等都諸多因素的影響。此外，生態(tài)系統(tǒng)中的植被斑圖也是非常有趣的研究領(lǐng)域，如在自然界觀察到的各種樣式的植被斑圖，斑點(diǎn)類，迷宮形式等時(shí)空斑圖，相關(guān)研究可以為植被的分布以及風(fēng)沙的防治提供一些指導(dǎo)信息。因此斑圖動(dòng)力學(xué)的研究不僅可以讓人們對(duì)斑圖有更清楚的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步可以促使人們應(yīng)用斑圖動(dòng)力學(xué)中的某些機(jī)制去解決實(shí)際存在的問題，更好的為人類的生存和發(fā)展服務(wù)。

3 研究方法

到目前為止，斑圖的研究方法主要是實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬，其中以實(shí)驗(yàn)展開的研究雖然可以非常真實(shí)、直觀地觀測(cè)到反應(yīng)系統(tǒng)中斑圖形成過程，但是在實(shí)際操作中具有許多困難和約束，如實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，實(shí)驗(yàn)設(shè)備，反應(yīng)時(shí)間、溫度的控制，實(shí)驗(yàn)環(huán)境的控制，準(zhǔn)確性、重復(fù)性以及花費(fèi)等等。數(shù)值模擬則是通過對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，然后求解其檢測(cè)量的動(dòng)力學(xué)演化行為。在數(shù)值模擬過程中，可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)，施加外部刺激，計(jì)算時(shí)間，初值等方法來重現(xiàn)實(shí)際系統(tǒng)的主要?jiǎng)恿W(xué)特性，得到各種時(shí)空斑圖。此外，由于數(shù)學(xué)模型中涉及時(shí)間和空間這兩類變量，所以基于在準(zhǔn)確性，有效性方面的考慮，對(duì)于不同系統(tǒng)數(shù)值求解也會(huì)加以不同的處理[8]。此外，空間的尺寸大小也是數(shù)值模擬過程需要考慮的問題。一般來說，無限大尺寸是采用周期邊界條件，而有限尺寸的空間則采用無流邊界條件。

從動(dòng)力系統(tǒng)角度來講，數(shù)學(xué)模型可以通過預(yù)測(cè)和理解可觀測(cè)變量的非線性振動(dòng)和波動(dòng)，從而為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為變化的研究提供了有效的方法。事實(shí)上，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題通常與非線性振蕩有關(guān)，因此，非線性阻尼和外部驅(qū)動(dòng)被認(rèn)為是振蕩系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)研究。在研究中，通常要提出一些有效的的方法來穩(wěn)定這種振動(dòng)。通常來講，它需要一定的響應(yīng)周期來編碼施加在動(dòng)力系統(tǒng)上的外力，因此，時(shí)間延遲通常是動(dòng)力分析中需要考慮的一個(gè)重要因素，當(dāng)然這種方法也被證實(shí)了其穩(wěn)定振蕩行為的有效性。另一方面，可以施加多個(gè)激子(如外部強(qiáng)迫電流和噪聲)來接近期望的振蕩行為。人們依據(jù)這個(gè)思想對(duì)斑圖動(dòng)力學(xué)展開了多種多樣的研究。

4 螺旋波和靶波的研究進(jìn)展

眾所周知，時(shí)空斑圖可以在不同的系統(tǒng)中觀察到，如反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)[7，9]，光學(xué)、沙盤系統(tǒng)等[10]。因此關(guān)于斑圖的研究范圍非常廣，而由于螺旋波和靶波是最典型的時(shí)空斑圖。因此，本文主要從物理研究角度闡述靶波和螺旋波在振動(dòng)系統(tǒng)和反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)方面的一些研究進(jìn)展。

在斑圖動(dòng)力學(xué)的研究中，人們通?？梢岳梅磻?yīng)擴(kuò)散方程，耦合振子以及耦合的神經(jīng)元模型通過實(shí)驗(yàn)或數(shù)值模擬在二維空間中產(chǎn)生螺旋波和靶波。尤其在神經(jīng)元模型中，由于其具有非常豐富的動(dòng)力學(xué)行為，其不僅在神經(jīng)元?jiǎng)恿W(xué)中有很大的研究意義，而且在斑圖動(dòng)力學(xué)中的研究也具有非常重要的研究，相關(guān)研究可以實(shí)現(xiàn)不同的應(yīng)用，如人們?cè)馐茈姶泡椛鋾r(shí)人們的神經(jīng)元是如何變化的，又如把其應(yīng)用到電路實(shí)現(xiàn)，或人工智能、信號(hào)傳遞，信息編碼等諸多領(lǐng)域，這些都是非常有趣和有實(shí)際研究意義的。

關(guān)于神經(jīng)元模型的提出，最早可以追溯到1952年[11]，神經(jīng)元模型最早是由霍奇金·赫胥黎(Hodgkin，Huxley)通過分析魷魚大軸突上的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，提出的一種生物神經(jīng)元模型(簡(jiǎn)稱為 Hodgkin-Huxley)，這個(gè)神經(jīng)元模型考慮了鈣、鉀、鈉通過嵌入細(xì)胞膜的離子通道進(jìn)行交換所引起的跨膜電流。當(dāng)外界刺激作用于膜上時(shí)，觸發(fā)動(dòng)作電位傳播信號(hào)，完成信息編碼，事實(shí)上，外界壓力可以改變細(xì)胞和介質(zhì)的興奮性，不同的施加方式可以觸發(fā)不同的反應(yīng)，另一方面，通道阻塞和中毒也可以通過改變電導(dǎo)來改變電活動(dòng)的方式。此外，在此神經(jīng)元基礎(chǔ)上，科學(xué)家又得到Hindmarsh-Rose，Morris-Lecar[12], FitzHugh-Nagumo[13]等神經(jīng)元模型。研究發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元模型在不同的參數(shù)下可以展示出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，如混沌態(tài)，尖峰放電，靜息態(tài)等，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)通過改變分岔參數(shù)和噪聲可以實(shí)現(xiàn)電活動(dòng)模式的轉(zhuǎn)變。

在實(shí)際生活中，由于實(shí)際系統(tǒng)都是一個(gè)非常復(fù)雜的系統(tǒng)，因此人們更關(guān)注系統(tǒng)的集體動(dòng)力學(xué)行為的產(chǎn)生機(jī)制和演化規(guī)律。研究表明螺旋波通常可以在規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和小世界網(wǎng)絡(luò)中觀測(cè)到。噪聲和網(wǎng)絡(luò)中長程連接中的重連概率對(duì)網(wǎng)絡(luò)中螺旋波的穩(wěn)定性起著重要的作用。靶波和螺旋波被認(rèn)為是穩(wěn)定的起搏器，可以調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的集體行為。然而，螺旋波往往是自我維持的，是由霍普分岔造成的。在大腦皮層，螺旋波的出現(xiàn)被當(dāng)作是連續(xù)的起搏器來調(diào)節(jié)電活動(dòng)的。由于螺旋波具有自我維持的特性，大腦皮層螺旋波的出現(xiàn)可能會(huì)阻礙信號(hào)交換以及波在大腦中傳播，因此一些研究者認(rèn)為螺旋波應(yīng)該加以控制。此外，大腦中的神經(jīng)元往往會(huì)通過耦合來建立合適的網(wǎng)絡(luò)來討論神經(jīng)疾病的發(fā)生。一般來說，皮層螺旋波的出現(xiàn)會(huì)增強(qiáng)電活動(dòng)的一致性，可以觸發(fā)爆發(fā)性同步誘發(fā)癲癇發(fā)作。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的斑圖的形成和控制可以為預(yù)測(cè)神經(jīng)疾病的發(fā)生提供一些思路。

此外，研究發(fā)現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)集體動(dòng)力學(xué)的主要受節(jié)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)，網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，外界刺激，系統(tǒng)參數(shù)等因素的影響。在研究中，這些模型通常連接為環(huán)網(wǎng)、鏈網(wǎng)、方陣、甚至小世界網(wǎng)絡(luò)來考慮整個(gè)系統(tǒng)在外界刺激下的集體動(dòng)力學(xué)行為[14-15]，這些外界刺激一般為噪聲，周期性外界驅(qū)動(dòng)力，電場(chǎng)和磁場(chǎng)等[16-17]。

關(guān)于螺旋波的控制已有不少優(yōu)秀的工作，如文獻(xiàn)[18-19]證實(shí)pinning螺旋波可以通過在介質(zhì)中產(chǎn)生一個(gè)靶波來移除，阻斷和抑制，而介質(zhì)中產(chǎn)生的靶波只需在介質(zhì)中施加一個(gè)局部外界刺激即可。吳等人[20]解釋可以通過對(duì)介質(zhì)施加一個(gè)向量場(chǎng)來實(shí)現(xiàn)對(duì)行波一種擾動(dòng)，可以使螺旋波發(fā)生漂流。此外，一些學(xué)者也[21]討論了有界噪聲對(duì)螺旋波的形成和不穩(wěn)定性方面的影響。

關(guān)于螺旋波和靶波的形成方面的研究，不少學(xué)者針對(duì)這方面展開了廣泛的討論。研究發(fā)現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)中施加局部周期刺激信號(hào)，具有差異性的外部刺激以及局部介質(zhì)的差異性都可以產(chǎn)生靶波[22-24]，而螺旋波則可通過設(shè)置特殊初始值，設(shè)置缺陷或靶波破裂的碰撞[25]。此外，研究發(fā)現(xiàn)靶波的對(duì)稱性破缺可以通過阻斷神經(jīng)元膜內(nèi)的某些離子通道來誘導(dǎo)螺旋波和多臂螺旋波的出現(xiàn)。事實(shí)上，人工缺陷的出現(xiàn)是誘發(fā)螺旋波的必要條件， 例如，有的研究發(fā)現(xiàn)認(rèn)為神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中螺旋波的形成機(jī)制可能與神經(jīng)元離子通道的局部阻滯有關(guān)[26-27]。當(dāng)然，在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中，自突出神經(jīng)元模型中的負(fù)反饋可以在網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生缺陷，如網(wǎng)絡(luò)中的行波被缺陷阻擋時(shí)，螺旋波會(huì)出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)中[28]。

此外，不少學(xué)者在處理神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中斑圖的形成和控制時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中也考慮星形膠質(zhì)細(xì)胞、自身突觸、激發(fā)性的多樣性以及抑制作用。研究發(fā)現(xiàn)自突出、化學(xué)突觸以及電突觸耦合會(huì)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為產(chǎn)生影響，其中自突觸被編碼為一種延時(shí)反饋。研究結(jié)果表明，電突觸耦合比化學(xué)突觸耦合在調(diào)節(jié)神經(jīng)元模型的整體動(dòng)力學(xué)行為中更快，更有效，但是化學(xué)突觸也具有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)榛瘜W(xué)突觸耦合表示的神經(jīng)元模型之間化學(xué)遞質(zhì)的傳遞。實(shí)際上，神經(jīng)元模型在受到外界刺激的時(shí)候，其細(xì)胞內(nèi)的鉀離子，鈣離子等的濃度會(huì)發(fā)生變化，因而導(dǎo)致細(xì)胞內(nèi)的感應(yīng)電流的產(chǎn)生，最終在神經(jīng)元模型中出現(xiàn)電磁場(chǎng)。因此，一些學(xué)者對(duì)電磁感應(yīng)以及磁場(chǎng)對(duì)神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中的靶波和螺旋波的影響展開了研究。如Lv等人通過考慮的憶阻器效應(yīng)而提出了反應(yīng)電磁輻射的四維變量的Hindmarsh-Rose，研究表明電磁輻射效應(yīng)可以改變電活動(dòng)的放電狀態(tài)以及斑圖的演化模式。此外，研究還發(fā)現(xiàn)兩個(gè)耦合的神經(jīng)元模型中可以通過場(chǎng)耦合實(shí)現(xiàn)相同步[29-30]，以及網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元模型在沒有突觸耦合，只有場(chǎng)耦合時(shí)，不同形式的斑圖可以被觀測(cè)到[31-33]。

另一方面，螺旋波的研究和控制在反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)中也非常重要。例如研究發(fā)現(xiàn)可以在與心臟心律失常有關(guān)的心肌組織中觀察到螺旋波。這是因?yàn)楦]房結(jié)可發(fā)出連續(xù)的電信號(hào)來調(diào)節(jié)細(xì)胞內(nèi)的鈣濃度，鈣離子濃度的急劇變化會(huì)引起心臟適當(dāng)?shù)氖湛s，而及時(shí)釋放鈣可使心臟收縮得到放松。在心臟組織中，從竇房結(jié)發(fā)出的電信號(hào)可以形成靶波，然后波在心臟組織中進(jìn)行傳播。然而，當(dāng)心臟缺血時(shí)，心臟中能夠產(chǎn)生阻礙靶波傳播的缺陷，此時(shí)由于靶波或行波受到缺陷的阻擋而發(fā)生破裂從而誘發(fā)螺旋波的形成。更嚴(yán)重時(shí)，這些新產(chǎn)生的螺旋波會(huì)干擾和阻塞靶波的傳播，從而使心跳被破壞，甚至導(dǎo)致心室顫動(dòng)和心臟死亡。因此，螺旋波的動(dòng)力學(xué)研究變得非常有趣，抑制螺旋波及其的不穩(wěn)定性的研究也變得非常迫切和重要[34]。如Yuan等[35]研究了螺旋波在反常擴(kuò)散介質(zhì)中的動(dòng)力學(xué)，在介質(zhì)邊界施加周期性強(qiáng)迫，連續(xù)脈沖可以抑制螺旋波。Qian[36]探索了可興奮的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中自我持續(xù)振蕩的出現(xiàn)。然后根據(jù)振蕩源的特性，提出了兩個(gè)判據(jù)來解釋可激隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)的時(shí)空動(dòng)態(tài)。

進(jìn)一步，斑圖的形成和網(wǎng)絡(luò)中的同步可以為網(wǎng)絡(luò)中集體動(dòng)力學(xué)的自組織行為和多體系的崩潰提供指導(dǎo)。尤其神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中的螺旋波的形成和失穩(wěn)可以為神經(jīng)疾病的出現(xiàn)和防治提供線索，關(guān)于這方面研究及應(yīng)用也是非常有意義。

5 結(jié)論

基于斑圖動(dòng)力學(xué)的普遍性和重要性。本文主要從斑圖動(dòng)力學(xué)的研究背景，研究方法，其形成機(jī)制以及研究進(jìn)展方面展開了介紹，重點(diǎn)闡述了螺旋波和靶波在振蕩系統(tǒng)和反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的產(chǎn)生方法，以及如何實(shí)現(xiàn)靶波和螺旋波的控制和抑制。此文有助于人們對(duì)時(shí)空斑圖在認(rèn)知科學(xué)、計(jì)算科學(xué)、人工智能、信息科學(xué)和控制理論等方面的研究有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)。