四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (610068) 紀(jì)定春 曾小華 楊登煉

英國(guó)著名數(shù)學(xué)家泰勒于1712年得到泰勒微分中值定理，半個(gè)世紀(jì)后通過(guò)拉格朗日的研究而被大家所知曉．約一個(gè)世紀(jì)后，柯西給出了其收斂性的嚴(yán)格證明，隨后便在復(fù)變函數(shù)的發(fā)展中得到了推廣和應(yīng)用．泰勒定理是高等數(shù)學(xué)微分中值定理的重要理論之一，在高等數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值，也是高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命題點(diǎn)．近年來(lái)，以泰勒定理為切入點(diǎn)命制的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題較多，這些試題可以通過(guò)初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)解決，但是有一定的難度和挑戰(zhàn)性，該類型試題多出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)壓軸題中，這種試題不僅具有基礎(chǔ)性、綜合性、新穎性和創(chuàng)新性等特點(diǎn)，而且在一定程度上，可以考查考生是否具有進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的潛質(zhì)．接下來(lái)，對(duì)泰勒定理作簡(jiǎn)單介紹，并對(duì)泰勒定理在高考數(shù)學(xué)中的命題進(jìn)行分析和評(píng)注，希望對(duì)大家有所幫助．

1.泰勒定理簡(jiǎn)介

當(dāng)x0=0時(shí)，泰勒展開(kāi)式又稱為麥克勞林展開(kāi)式，這可以將(基本)初等函數(shù)用多項(xiàng)式函數(shù)的形式表示出來(lái)，最為直接的應(yīng)用，就是可以借助展開(kāi)的函數(shù)來(lái)估值，這對(duì)估計(jì)無(wú)法直接計(jì)算或難以直接計(jì)算的函數(shù)值具有重要的價(jià)值和意義．

2.泰勒定理在高考數(shù)學(xué)試題中的命題分析

例1 (2014年新課標(biāo)2理科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-e-x-2x．(Ⅰ)略；(Ⅱ)略；

圖1

例3 (2017全國(guó)理科卷Ⅱ第21題)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0．

(Ⅰ)求a；(Ⅱ)略．

解析:顯然函數(shù)f(x)定義域?yàn)閤∈(0,+∞)．因?yàn)閒(x)≥0，所以ax2-ax-xlnx≥0．又因?yàn)閤∈(0,+∞)且x(ax-a-lnx)≥0，所以只需證明ax-a-lnx≥0．考慮分離參數(shù)，然后進(jìn)行分類討論．

圖2

例4 (2017年全國(guó)卷Ⅲ第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx．

(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值；(Ⅱ)略．

分析:對(duì)問(wèn)題(Ⅰ)，要使f(x)≥0，等價(jià)于x-1-alnx≥0．考慮分離參數(shù)a，顯然需要分類討論．

評(píng)注：可見(jiàn)，2017年全國(guó)卷Ⅱ和卷Ⅲ是“姊妹”題，命題的方式都是相同的，只是參數(shù)的位置不相同，但參數(shù)值相同．因此，可以類比例3的分析和解答過(guò)程．

例5 (2018全國(guó)文科卷Ⅰ第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-lnx-1．

圖3

評(píng)注:可見(jiàn)，問(wèn)題(Ⅱ)蘊(yùn)含高等數(shù)學(xué)內(nèi)涵：泰勒定理．從泰勒定理衍生出兩個(gè)重要的不等式“ex≥1+x”和“l(fā)nt≤t-1”．通過(guò)一次函數(shù)，溝通兩個(gè)不等式之間的關(guān)系．站在高等數(shù)學(xué)的視角(或反函數(shù)視角)，可以看出直線y=x是函數(shù)y=ex-1和y=lnx+1的對(duì)稱軸，這條直線將兩個(gè)“凹凸性”相反的函數(shù)分隔開(kāi)．其實(shí)，函數(shù)的凹凸性是高考數(shù)學(xué)命題的重要切入點(diǎn)，這一點(diǎn)是值得研究的．

(Ⅰ)略；(Ⅱ)證明：當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)+e≥0．

解析:對(duì)問(wèn)題(Ⅱ)，當(dāng)a=1時(shí)，欲證f(x)+e≥0，需證ex+1≥1-x-x2．通過(guò)圖4，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=1-x-x2的圖像始終在y=ex+1的下方．當(dāng)x=-1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)值相等，即表明當(dāng)a=1時(shí)，兩函數(shù)有唯一交點(diǎn)．由泰勒定理，可知ex+1≥1+(1+x)=2+x，所以ex+1-(1-x-ax2)≥ax2+2x+1，要使ax2+2x+1≥0成立，則需要a>0且Δ≤0，可得a≥1．

圖4

評(píng)注:問(wèn)題(Ⅱ)是不等式成立問(wèn)題，主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．巧用泰勒定理，將指數(shù)函數(shù)放縮成一次函數(shù)，再利用判別式法，得出參數(shù)的范圍，最終證明不等式成立．

3.教學(xué)啟示

注重?cái)?shù)形結(jié)合、邏輯思維和直覺(jué)思維并重．我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾講：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休．”可見(jiàn)，華羅庚先生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想有很高的評(píng)價(jià)，應(yīng)值得我們仔細(xì)思考．純粹的代數(shù)運(yùn)算，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯運(yùn)算是有益的．直覺(jué)思維的發(fā)展，需要借助幾何圖形的直觀性，而直覺(jué)思維是創(chuàng)新的一種重要思維方式，因此，發(fā)展直覺(jué)思維對(duì)創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是有意義的．現(xiàn)代心理學(xué)和腦科學(xué)研究表明，人腦對(duì)圖片的加工能力遠(yuǎn)超過(guò)對(duì)字母的加工能力，一般來(lái)講，右腦負(fù)責(zé)圖片加工，左腦負(fù)責(zé)語(yǔ)義加工，兩者協(xié)調(diào)，共同完成對(duì)事物的認(rèn)知圖式．因此，在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)結(jié)合圖形(幾何)直觀性來(lái)加深對(duì)代數(shù)(抽象符號(hào))的理解，即數(shù)形結(jié)合．

抓住問(wèn)題本質(zhì)，注重“變式”教學(xué)．本質(zhì)是構(gòu)成問(wèn)題的核心要素．“變式”教學(xué)“變”的是問(wèn)題的非本質(zhì)屬性，抓住并概括出問(wèn)題的本質(zhì)屬性，是數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要途徑．通過(guò)上述的分析，不難發(fā)現(xiàn)“ex≥1+x”和“x-1≥lnx”，就是最本質(zhì)的結(jié)構(gòu)，但對(duì)其進(jìn)行變式，將會(huì)衍生出不同的結(jié)構(gòu)．米勒的組塊理論指出，一個(gè)正常人能夠同時(shí)加工的信息量是“7±2”，即工作記憶的容量大致為5至9個(gè)信息，問(wèn)題的非本質(zhì)屬性占據(jù)的內(nèi)容越多，就不容易形成對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，也不利于工作記憶(短時(shí)記憶)中的信息編碼進(jìn)入長(zhǎng)時(shí)記憶．而變式教學(xué)，變化的是問(wèn)題的非本質(zhì)因素，對(duì)突出問(wèn)題本質(zhì)是有價(jià)值的，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)核心要素的加工和編碼，進(jìn)而促進(jìn)對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．因此，在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)抓住問(wèn)題本質(zhì)，注重變式教學(xué)．