周澤友, 萬冬梅, 徐海濤

(1.清華大學(xué) 燃燒能源中心, 北京 100084; 2.清華大學(xué) 能源與動(dòng)力工程系, 北京 100084; 3.清華大學(xué) 航天航空學(xué)院, 北京 100084)

0 引 言

當(dāng)液體中加入表面活性劑后，由于表面活性劑分子的存在，液體的表面張力降低，可以形成比一般液膜更穩(wěn)定、更薄的皂膜。皂膜已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)研究，例如，Cohen等[1]研究了重力作用下超大皂膜泡的形狀，并據(jù)此提出了類似帳篷、氣膜館等膨脹結(jié)構(gòu)的一種優(yōu)化外形；Couder等[2]開創(chuàng)性地提出利用平面皂膜模擬二維流動(dòng)；Chomaz等[3]系統(tǒng)分析了平面皂膜流動(dòng)與二維流動(dòng)的相似性。皂膜流動(dòng)還被廣泛應(yīng)用于研究二維繞流[4-6]、湍流流動(dòng)[7-17]以及流固耦合等問題[18]；此外，由于皂膜中的擾動(dòng)以表面張力控制的表面波形式傳播，傳播速度較小，容易產(chǎn)生流速大于波速的“超聲速”狀態(tài)，利用皂膜流動(dòng)這一特點(diǎn)，可以研究激波傳播以及超聲速流動(dòng)問題[19-22]。

國內(nèi)學(xué)者也廣泛開展了皂膜流動(dòng)實(shí)驗(yàn)，針對二維流動(dòng)[23-24]、流固耦合[25]、表面張力梯度導(dǎo)致的對流[26]、表面活性劑對皂膜流動(dòng)的影響[27-28]以及皂膜與激波相互作用[29]等問題進(jìn)行了研究。

雖然皂膜流動(dòng)實(shí)驗(yàn)已被大量開展，但在單一實(shí)驗(yàn)中，極少會(huì)對皂膜流動(dòng)參數(shù)進(jìn)行全面評(píng)估。例如，在利用皂膜流動(dòng)開展二維擾流或二維湍流研究時(shí)，其關(guān)注點(diǎn)往往僅限于流場，而對其他參數(shù)(如皂膜表面張力系數(shù)、皂膜厚度等)的影響，通常予以忽略。在利用皂膜進(jìn)行激波或超聲速研究時(shí)，表面張力系數(shù)通常借用半無限深流體表面張力系數(shù)分析的結(jié)果，同時(shí)假設(shè)皂膜厚度均勻[20]，由此得到一個(gè)“聲速”，并認(rèn)為其在皂膜內(nèi)處處相等。但是，通過紅外吸收法測量得到的皂膜厚度顯示：即使對于穩(wěn)定流動(dòng)，皂膜厚度也并非處處一致，且厚度剖面還會(huì)隨總流量的變化而變化[30]。此外，對于皂膜這一類極薄液體層，表面張力系數(shù)也取決于皂膜厚度[2]。在此情形下，很難認(rèn)為皂膜內(nèi)的擾動(dòng)波傳播速度是均勻的。

根據(jù)界面所處的狀態(tài)，表面張力系數(shù)測量方法主要分為兩類：靜態(tài)測量方法和動(dòng)態(tài)測量方法。前者基于界面上的力平衡間接測量表面張力系數(shù)，包括平板法、掛環(huán)法、毛細(xì)管上升法、體積法和懸滴法等[31-32]；后者則是在界面動(dòng)態(tài)變化時(shí)對其表面張力系數(shù)進(jìn)行測量，包括最大氣泡壓力法、振動(dòng)液滴法、振動(dòng)射流法和氣泡射流法等[33]。這些方法都需要另外構(gòu)造實(shí)驗(yàn)裝置，并不是流動(dòng)皂膜的直接測量方法。

本文基于皂膜邊界上的力平衡嚴(yán)格推導(dǎo)了豎直皂膜的邊界形狀方程，證明了新近文獻(xiàn)中的一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式[34]，并提出了一種新的、更簡便易行的皂膜表面張力系數(shù)測量方法。對于流動(dòng)皂膜的厚度，一般采用光學(xué)手段進(jìn)行測量(比如利用皂膜對多個(gè)波長可見光的干涉[35-36]，或利用皂膜對特定波長紅外輻射的吸收)，并假定皂膜和水的吸收特性一致[30,37]。本文結(jié)合測得的速度剖面，發(fā)展了一種新的皂膜厚度的干涉測量法，在不需假定皂膜吸收特性的前提下以單個(gè)波長光源實(shí)現(xiàn)厚度測量。在自主搭建的重力驅(qū)動(dòng)平面流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)裝置上，利用本文提出的方法測量了皂膜的表面張力系數(shù)、厚度和流動(dòng)速度。

1 重力驅(qū)動(dòng)平面流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)裝置

搭建的平面流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。參考文獻(xiàn)[12-13]，并經(jīng)反復(fù)嘗試，本文采用質(zhì)量比為2∶10∶88的Dawn牌商用洗碗液+甘油+去離子水混合配制皂液。洗碗液中含有表面活性劑十二烷基硫酸鈉，可以降低水的表面張力系數(shù)，使皂膜富有彈性，從而具有一定的抗干擾能力[27-28]；甘油可以增強(qiáng)混合液的黏性，減緩皂膜內(nèi)部相對運(yùn)動(dòng)，使之更加穩(wěn)定。

圖1 豎直平面流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)裝置圖

如圖1(a)所示，配制的皂液盛于上水箱中，經(jīng)一個(gè)狹長的出水管流出，進(jìn)入一個(gè)由兩根直徑為0.32 mm的尼龍繩構(gòu)成的豎直平面流道(實(shí)驗(yàn)中，尼龍繩一直處于下方砝碼施加的張力作用下)。緊接出水管口的流道為漸擴(kuò)的擴(kuò)張段，其下為流道寬度不變的實(shí)驗(yàn)段和流道逐漸收窄的收縮段(在本文實(shí)驗(yàn)中，擴(kuò)張段長度X1=45 cm；實(shí)驗(yàn)段長度X2=86 cm，實(shí)驗(yàn)段入口寬度W=5 cm)。在擴(kuò)張段，皂液在重力驅(qū)動(dòng)下加速，當(dāng)重力和空氣阻力平衡時(shí)充分發(fā)展，最終在實(shí)驗(yàn)段達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)，之后經(jīng)收縮段流入下水箱，再被泵回至上水箱，形成往復(fù)循環(huán)。

實(shí)驗(yàn)啟動(dòng)時(shí)，兩根尼龍繩貼合在一起；尼龍繩被皂液完全浸潤后，緩慢向兩側(cè)移動(dòng)B、C、D和E點(diǎn)的掛鉤，分開尼龍繩至指定寬度，在兩繩之間形成穩(wěn)定流動(dòng)的皂膜。皂膜的平均速度和平均厚度可以通過調(diào)節(jié)泵的流量加以控制。當(dāng)泵的流量Q=5～60 mL/min時(shí)，可以得到平均速度u=1～4 m/s、平均厚度h=3～9 μm的穩(wěn)定豎直流動(dòng)的平面皂膜。

下文對該平面流動(dòng)皂膜進(jìn)行力平衡分析，并由此推導(dǎo)出一種測量皂膜表面張力系數(shù)的方法；利用激光干涉法測量皂膜厚度，并簡要介紹皂膜速度的測量。

2 皂膜表面張力系數(shù)測量

由于皂膜厚度很小，其表面張力系數(shù)不能簡單采用對半無限深液體表面張力系數(shù)分析的結(jié)果[2]。Sane等[34]通過皂膜的力平衡分析得到一種測量皂膜表面張力系數(shù)的簡便方法，但在推導(dǎo)中多處采用了近似方法。本文給出一個(gè)嚴(yán)格推導(dǎo)，得出確切結(jié)論，并通過后文介紹的平面流動(dòng)皂膜測量結(jié)果對該結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)，證明推導(dǎo)的正確性；在此基礎(chǔ)上，計(jì)算皂膜的表面張力系數(shù)。

如圖1(a)所示，尼龍繩BE和CD下方懸掛質(zhì)量為m的砝碼以施加張力、保持流道穩(wěn)定。當(dāng)沒有皂液流動(dòng)時(shí)，尼龍線BE和CD在砝碼作用下保持鉛直；當(dāng)皂液流入流道形成皂膜，尼龍繩BE和CD在皂膜表面張力的作用下向皂膜側(cè)略微收縮，形成微微內(nèi)凹的流道(圖中對內(nèi)凹程度有所放大)。從力平衡的角度出發(fā)，推導(dǎo)出該內(nèi)凹曲線的形狀與皂膜表面張力系數(shù)的關(guān)系，可以給出一種測量流動(dòng)皂膜表面張力系數(shù)的方法。

選取尼龍繩BE的中點(diǎn)O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，x軸為重力方向。設(shè)A為尼龍繩OB段上任一點(diǎn)，坐標(biāo)為(xA,yA)，對尼龍繩段OA進(jìn)行受力分析。簡單的受力大小估計(jì)表明：當(dāng)皂膜流向方向的尺寸在1 m量級(jí)、砝碼自重在1 kg量級(jí)時(shí)，尼龍繩自重、流動(dòng)皂膜對尼龍繩的動(dòng)壓力、黏性力等都至多為尼龍繩張力的1/104，在后續(xù)分析中忽略它們對尼龍繩力平衡的影響。因此，尼龍繩受到點(diǎn)O、點(diǎn)A的拉力FO、FA以及尼龍繩上各微元段ds=dx/cosθ(x)的表面張力，其中，θ(x)表示尼龍繩上一點(diǎn)x處切向方向與重力方向的夾角。由于對稱性，在中點(diǎn)O處θ(0)=0。因此，尼龍繩段OA在水平和豎直方向的受力平衡關(guān)系式分別為：

(1)

(2)

在推導(dǎo)式(1)和(2)時(shí)，假設(shè)皂膜邊界上的表面張力系數(shù)γ不隨位置而變化(對于充分發(fā)展達(dá)到穩(wěn)定流動(dòng)的皂膜，此假設(shè)是合理的)；式中的系數(shù)“2”是考慮到皂膜前后表面都會(huì)對尼龍繩產(chǎn)生表面張力。

將式(1)和(2)相除，并注意到點(diǎn)A的任意性，可以得到描述流道內(nèi)凹形狀的曲線方程：

(3)

對式(3)積分，并結(jié)合邊界條件y(x=0)=0，得到曲線方程如下：

(4)

式(4)中包含未知參數(shù)FO(即尼龍繩中點(diǎn)O處的拉力)，其值可以通過將式(2)應(yīng)用于B點(diǎn)，并代入B點(diǎn)處尼龍繩的力平衡關(guān)系FBcosθ(xB)=mg/2得到：

(5)

式中，L為BE段尼龍繩長度，推導(dǎo)式(5)時(shí)使用了xB=L/2。式(4)可稍加整理為：

(6)

其中，參數(shù)2γL/FO的值為：

(7)

式(6)和(7)即為邊界曲線形狀的準(zhǔn)確方程。在推導(dǎo)方程的過程中，除物理上的簡單假設(shè)(如忽略尼龍繩自重)外，未作任何數(shù)學(xué)上的近似。

與懸掛物(砝碼)的重力相比，表面張力通常很小。例如，當(dāng)L=1 m、m=1 kg時(shí)，取純水的表面張力系數(shù)γ=72 mN/m，得到2γL/(mg)≈1.5×10-2，代入式(7)得到2γL/FO≈3.0×10-2。記ε=2γL/FO，ε′=2γL/(mg)，則ε和ε′為同階遠(yuǎn)小于1的小量。因此，對式(6)關(guān)于ε進(jìn)行小參數(shù)展開可得：

(8)

式(8)表明：流道邊界曲線方程可以很好地用拋物線來近似(因?yàn)橄乱浑A修正項(xiàng)為ε3項(xiàng))，并且給出了確切的系數(shù)，可以據(jù)此測出皂膜的表面張力系數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用ε′?1對其進(jìn)一步簡化得到：

(9)

或

(10)

為驗(yàn)證曲線方程(10)，在砝碼質(zhì)量m=0.2 kg、皂液流量Q=35 mL/min時(shí)，實(shí)測了穩(wěn)態(tài)流動(dòng)皂膜狀態(tài)下尼龍繩的位置坐標(biāo)，如圖2中的離散點(diǎn)所示。尼龍繩位置通過照相得到，為獲得較大范圍內(nèi)的圖像，采用的放大倍數(shù)為1個(gè)像素對應(yīng)0.35 mm的物理尺寸。對尼龍繩圖像在水平方向的光強(qiáng)分布進(jìn)行高斯函數(shù)擬合以獲得亞像素的定位精度[38]。圖2中的光滑曲線是采用式(10)進(jìn)行擬合的結(jié)果，與實(shí)測曲線吻合良好，驗(yàn)證了分析的正確性。利用已知的砝碼質(zhì)量，可以進(jìn)一步得到表面張力系數(shù)γ=27.5 mN/m。值得注意的是：當(dāng)砝碼質(zhì)量很小時(shí)，表面張力引起的流道收縮很大(在中點(diǎn)O處達(dá)到最大值12%)，為避免由此帶來的流速和厚度場改變，在流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)中一般使用m=2 kg的砝碼。

圖2 流道邊界實(shí)測值(紅色點(diǎn))與理論分析(藍(lán)色線)對比

Sane等[34]推導(dǎo)了表面張力系數(shù)與尼龍繩曲線方程的關(guān)系，但并未獲得曲線方程的精確解，而是采用高階多項(xiàng)式對實(shí)測曲線進(jìn)行擬合，發(fā)現(xiàn)選取二階多項(xiàng)式可以得到較好的結(jié)果，從而也獲得了式(10)，并通過擬合系數(shù)得到了表面張力系數(shù)。本文的嚴(yán)格推導(dǎo)說明：流道邊界曲線是拋物線加上高兩階小量的修正。圖(2)也證明了這一推導(dǎo)結(jié)論的正確性。

采用測量邊界曲線形狀的方式來獲得表面張力系數(shù)，在實(shí)驗(yàn)上存在一處困難：通常邊界曲線曲率較小，為測出其具體形狀必須拍攝較大范圍；對于幅面大小一定的相機(jī)，這意味著空間分辨率的降低，給準(zhǔn)確確定邊界曲線帶來了一定困難。因此，本文提出一種新的、更簡便易行的表面張力系數(shù)測量方法。

根據(jù)式(10)，可以給出流道中點(diǎn)O在有皂膜流動(dòng)時(shí)相對于無皂膜流動(dòng)時(shí)(即尼龍繩為豎直狀態(tài)時(shí))的位移：

(11)

因此，通過測量給定砝碼質(zhì)量下流道中點(diǎn)O的位移，就可以很方便地使用式(11)得到皂膜的表面張力系數(shù)。此方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是：無需拍攝大范圍的尼龍繩圖像，照相時(shí)可以采用較大的放大倍數(shù)，獲得較高的空間分辨率。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，本文采用了每像素對應(yīng)0.01 mm物理尺寸的分辨率。根據(jù)式(11)，γ≈2mgyO/L2，砝碼質(zhì)量m=(500±1)g和尼龍繩長度L=(500±1)mm的測量都可以控制在0.2%的測量偏差范圍內(nèi)。當(dāng)yO=(1±0.01)mm的測量偏差范圍降低至1%，實(shí)現(xiàn)了僅有2%左右不確定度的表面張力系數(shù)測量。

圖3給出了在同一皂液流量Q= 35 mL/min下測得的流道中點(diǎn)O的位移隨砝碼質(zhì)量的變化以及根據(jù)式(11)擬合的直線。所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都很好地落在過原點(diǎn)的擬合直線上，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的正確性。根據(jù)直線斜率測得的表面張力系數(shù)γ=27.1 mN/m，與前述拋物線擬合法得到的結(jié)果相近。

圖3 流道中點(diǎn)O在有/無皂膜流動(dòng)時(shí)的位移量隨砝碼質(zhì)量的變化

利用這一方法，還測量了表面張力系數(shù)隨皂液流量的變化關(guān)系，如圖4所示。圖中曲線并非如部分文獻(xiàn)報(bào)道的“表面張力系數(shù)隨皂液流量增加而單調(diào)下降”[34]，這可能是由于表面張力系數(shù)隨皂膜厚度變化而有所變化[2]、且實(shí)驗(yàn)中皂膜厚度并非均勻分布導(dǎo)致的。

圖4 表面張力系數(shù)隨皂液流量的變化

3 皂膜厚度測量

對流動(dòng)皂膜的厚度場進(jìn)行測量，無法采用接觸式方法，主要采用光學(xué)測量手段，比如利用皂膜對不同波長可見光的干涉[35-36]，或利用皂膜對特定波長紅外輻射的吸收[30,37]。本文提出一種與速度場測量相結(jié)合的、基于薄膜干涉的光學(xué)測量方法。

如圖5所示，在波長為λ=532 nm的單色激光照射下，流量Q=40 mL/min的皂膜表面形成了明暗相間的干涉條紋。可以發(fā)現(xiàn)：干涉條紋基本為豎直條紋，表明皂膜厚度在水平方向的變化遠(yuǎn)大于在豎直方向的變化，即，對于豎直方向流動(dòng)的穩(wěn)定皂膜，水平方向的質(zhì)量輸運(yùn)很弱，厚度在豎直方向上幾乎不變。另外，皂膜邊界幾乎處于同一豎直干涉條紋上，說明其厚度變化很小，由于厚度不同而可能導(dǎo)致的表面張力沿邊界的變化也很小，這也間接支持了前文作出的邊界處表面張力相同的假設(shè)。本文忽略豎直方向的皂膜厚度變化，僅分析水平方向的厚度變化造成的干涉現(xiàn)象。

圖5 皂膜表面干涉條紋

圖6為皂膜橫剖面內(nèi)的光路圖，上、下藍(lán)線分別表示z方向的皂膜前后表面。平行光oa和jf以入射角θ1入射至皂膜的前表面af，由于空氣折射率n1和皂液折射率n2不同，入射光在前表面af發(fā)生折射及反射；oa的折射光ad到達(dá)皂膜的后表面bd后，再次發(fā)生折射與反射，考慮其反射光df恰好到達(dá)f點(diǎn)，將與入射光jf發(fā)生疊加，其結(jié)果取決于光線o-a-d-f與j-f的光程差。

圖6 皂膜橫剖面內(nèi)的光路圖

(12)

記光線在a點(diǎn)的折射角為θ2，則：

(13)

(14)

其中，α=arctan(?h/?y)為皂膜外法線與z方向的夾角。將式(13)和(14)代入式(12)，可得：

Δl=2hn2(cosθ2-2sin(θ2+α/2)sin(α/2))

(15)

其中，最后一個(gè)等式是基于α≈Δh/Δy≈1×10-4而作的簡化。值得注意的是，當(dāng)光從低折射率n1的空氣入射到高折射率n2的皂膜中，會(huì)發(fā)生180°的相位變化[39]，因此，當(dāng)Δl=(k-0.5)λ,k=1, 2, 3,…時(shí)會(huì)產(chǎn)生相長干涉，而當(dāng)Δl=kλ,k=1, 2, 3,…時(shí)則會(huì)產(chǎn)生相消干涉。

根據(jù)式(15)，干涉條紋可以提供沿y方向皂膜厚度的相對變化情況。相鄰的兩個(gè)明條紋(暗條紋)光程差為λ，對應(yīng)的厚度變化為δh=λ/(2n2cosθ2)。假設(shè)尼龍繩邊界處皂膜厚度為h(y=0)=h0，則根據(jù)流動(dòng)皂膜的質(zhì)量守恒可得：

(16)

其中，δh(y)=h(y)-h0為皂膜內(nèi)部一點(diǎn)處與邊界處的相對厚度，可通過干涉條紋的個(gè)數(shù)及插值計(jì)算得出。因此，對于給定的皂液流量Q，若實(shí)驗(yàn)測得皂膜水平截面上的速度剖面u(y)，則可以通過式(16)確定邊界處的厚度h0，進(jìn)而獲得皂膜水平方向的厚度剖面h(y)。

采用粒子圖像測速法(Particle Image Velocimetry, PIV)對皂膜的速度場進(jìn)行測量。在皂液中加入直徑1 μm的聚苯乙烯塑料珠作為流動(dòng)示蹤顆粒，以重復(fù)頻率5000 Hz、功率100 W的高頻高功率脈沖激光照亮示蹤顆粒，通過與激光器同步的高速相機(jī)拍攝瞬時(shí)顆粒圖像，再采用標(biāo)準(zhǔn)的互相關(guān)算法來獲取流動(dòng)速度剖面u(y)。

圖7為x=0處(即實(shí)驗(yàn)段中心位置)、皂液流量Q=35 mL/min時(shí)的皂膜流動(dòng)速度剖面(僅顯示對稱的右半部分剖面；在表面張力的拉伸作用下，x=0處的皂膜寬度略小于實(shí)驗(yàn)段入口處寬度5 cm，約為4.85 cm)。從圖中可見，皂膜速度在中心處較大，而在靠近邊界處(尼龍繩處)速度較小。

圖7 皂膜流動(dòng)的速度剖面

根據(jù)實(shí)測的速度剖面，利用式(15)計(jì)算得到的皂膜厚度剖面如圖8所示(僅顯示右半部分剖面)?？梢钥闯觯愃朴谒俣绕拭?，皂膜厚度在中心處較大，向邊界處逐漸變薄。在本文實(shí)驗(yàn)工況下，測得的皂膜內(nèi)平均速度u=1～4 m/s，皂膜平均厚度h=3～9 μm，這與Wu等[30]針對類似流動(dòng)皂膜進(jìn)行測量的結(jié)果基本一致。

圖8 皂膜流動(dòng)的厚度剖面

4 結(jié) 論

本文搭建了一個(gè)重力驅(qū)動(dòng)的平面流動(dòng)皂膜實(shí)驗(yàn)裝置，能夠得到皂液流量Q=5～60 mL/min、平均速度u=1～4 m/s、平均厚度h=3～9 μm的穩(wěn)定豎直流動(dòng)的皂膜。為測量皂膜的表面張力系數(shù)，基于皂膜邊界上的力平衡方程推導(dǎo)得到流動(dòng)皂膜邊界曲線方程的精確解。實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了本文推導(dǎo)，并由此得出表面張力系數(shù)的兩種測量方法。此外，還提出了一種基于光學(xué)干涉的皂膜厚度測量方法。將該方法與皂膜流動(dòng)速度剖面測量相結(jié)合，可以給出皂膜的厚度剖面。本文中提出的皂膜表面張力系數(shù)及厚度的測量方法簡便易行，可以較為全面地測量平面流動(dòng)皂膜并評(píng)估其特性(如擾動(dòng)波在皂膜中的傳播速度)。