馬孟華

(云南省下關(guān)第一中學(xué) 云南省高中數(shù)學(xué)張勇名師工作坊 671000)

解三角形作為高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，主要要求考生通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等,并借助三角函數(shù)中的相關(guān)公式加以綜合與運(yùn)算,包括解決一些簡單三角形的度量問題及一些與測量和計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題等.解三角形與三角函數(shù)知識大多運(yùn)算量大、公式應(yīng)用多,這就要求考生不僅要具有較高的運(yùn)算能力、較強(qiáng)的應(yīng)變能力和較好的記憶能力,還要善于分析與總結(jié),形成解決此類問題的系統(tǒng)方法.實(shí)際上這類題型在高考中不僅具備選拔功能，而且對考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了較高的要求，也就倒逼教師在課堂教學(xué)中應(yīng)該重視和強(qiáng)化對解三角形問題的處理和系統(tǒng)認(rèn)識，從而提升學(xué)生的應(yīng)變能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面從解三角形中“已知一角及一邊”的問題展開對相關(guān)問題的深入探究和系統(tǒng)認(rèn)知.2010—2019年全國新課標(biāo)高考試題中，“已知一角及其對邊”是高頻考點(diǎn)，與三角函數(shù)綜合考查并作為壓軸題的情況屢屢出現(xiàn).我們先來看看這個模型.

模型1已知三角形的一角及其對邊

圖1

如圖1，在△ABC中，已知的三個內(nèi)角為A，B，C，其對應(yīng)的三邊為a,b,c，且A=60°，a=2(即已知三角形一角及其對邊)，則根據(jù)三角形的邊角關(guān)系就可得到以下三個隱含的解題條件：

變形：4=(b+c)2-3bc.

以上三個隱含的解題條件深刻揭示了解三角形中“已知一角及其對邊”的本質(zhì)：角的關(guān)系(內(nèi)角和定理)、邊角的關(guān)系(正余弦定理)．掌握這個本質(zhì)就可解決多種不同類型的問題，進(jìn)而得到解決此類問題的系統(tǒng)方法.

例如，在上述條件下可求：(1)B+C；(2)△ABC外接圓的半徑；(3)sinB+ sinC的取值范圍(擴(kuò)展到求t1sinB+t2sinC(t1t2≠0)的最值)；(4)b+c的取值范圍(擴(kuò)展到求λb+μc(λμ≠0)的最值)；(5)△ABC周長的最大值(即求a+b+c的最大值)；(6)△ABC面積的最大值.

結(jié)合“已知三角形一角及其對邊”的三個隱含條件可知以上6個問題的解答為:

(1)(2)略.

(5)△ABC的周長為a+b+c=2+b+c，轉(zhuǎn)化為問題(4)，可得周長的最大值為6．

評析以上6個問題的求解過程深刻地展現(xiàn)了解三角問題中已知一角及其對邊的處理方法，揭示了三角形中邊角之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系要靠正余弦定理來實(shí)現(xiàn).該系統(tǒng)總結(jié)不僅強(qiáng)化了對解三角形中邊角關(guān)系的理解，而且求解過程中使用了三角恒等變換化簡三角函數(shù)式，利用三角函數(shù)圖象求解范圍的方法更是提升了學(xué)生對三角函數(shù)模塊的掌握和使用，鍛煉了學(xué)生的整體思維品質(zhì)，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力.

下面我們再以模型1的問題(4)為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合高考試題的考查方向和特點(diǎn)，繼續(xù)深入探究解三角形中已知一角及其對邊模型的通性通法.

例在△ABC中，已知△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，其對應(yīng)的三邊為a，b，c，且A=60°，a=2，求b+c的取值范圍.

當(dāng)然，如果采用一些技巧也可快速解決問題.我們來看看巧解并與通法進(jìn)行對比.

評析顯然，巧法利用不等式放縮快速解決了問題．乍一看非常完美實(shí)用，但如果稍加改變問題中的條件或結(jié)果，那么巧法將黯然失色.請看下面的變式.

變式1 在△ABC中，已知△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，其對應(yīng)的三邊為a，b，c，且A=60°，a=2，求2b+c的取值范圍.

變式2 在銳角三角形ABC中，已知△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，其對應(yīng)的三邊為a，b，c，且A=60°，a=2，求b+c的取值范圍.

更一般的有以下變式：

變式3 在△ABC中，已知△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，其對應(yīng)的三邊為a，b，c，且A=60°，a=2，求λb+μc(λμ≠0)的取值范圍.

值得關(guān)注的是，2012年全國課標(biāo)卷文理科17題、2010年全國課標(biāo)卷理科16題、2014年全國課標(biāo)卷Ⅰ理科16題、2013年全國課標(biāo)卷理科18題、2016年全國課標(biāo)卷Ⅰ理科18題、2017年全國課標(biāo)卷Ⅰ理科18題都在考查解三角形中“已知一角及其對邊”的模型，而且均在模型1的問題(1)～(6)中進(jìn)行考查.如果我們一線教師在教學(xué)中結(jié)合以上經(jīng)驗(yàn)，帶領(lǐng)學(xué)生深入探究思考，在解三角形模型1的基礎(chǔ)上提出問題：將模型1中的“已知一角及其對邊”更改為“已知一角及其一條鄰邊”，會出現(xiàn)什么樣的新問題呢？2019年高考全國新課標(biāo)卷Ⅲ文理科的18題就給了我們答案！

模型2已知三角形的一角及其一條鄰邊

圖2

此題也可使用余弦定理求解，方法如下．

方法2看似簡潔實(shí)則計(jì)算龐大冗長，且在全用邊的不等式求解邊范圍的過程中容易出錯．故此法雖巧，但操作性不強(qiáng)，也不能深刻揭示出問題的本質(zhì)， 故不宜用于解題教學(xué)，通法才是解決該問題的最佳方法.

通過模型1和模型2的通法討論，我們可以總結(jié)得到：在三角形中已知一邊和一角的系統(tǒng)求解策略是：將邊的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)進(jìn)行處理，這是通法. 而已知三角形的“一角兩邊”“兩角一邊” “三邊”等模型均可直接使用正余弦定理解三角形，且三角形是確定的，也就不存在求解范圍的問題了！這樣一來，解三角形中已知“一角一邊”的問題就得到了系統(tǒng)的認(rèn)識，學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下也就形成了解決三角形問題中已知邊角問題的整體解決方案，當(dāng)然也就形成了解決一類問題的系統(tǒng)方法.可以想象，2020年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)卷中解三角形問題仍將會是“寵兒”，希望以上的論述能夠給予備考的師生一些 幫助.