劉 露， 謝 智

(1.中交二航局成都城市建設(shè)工程有限公司， 四川成都 610041； 2. 中交第三航務(wù)工程局有限公司廈門分公司, 福建廈門 361000)

基于現(xiàn)代結(jié)構(gòu)理論和城市建設(shè)的發(fā)展，大跨度混凝土結(jié)構(gòu)具有構(gòu)件截面小，自重彎矩占總彎矩的比例小，優(yōu)越的跨越能力等重要特性，從而使大跨度混凝土板在新建的市政項(xiàng)目應(yīng)用普遍。范康等[1]基于板殼振動(dòng)理論，根據(jù)樓板振動(dòng)舒適度的要求、邊界條件、樓板跨度等因素對(duì)大跨度混凝土板的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。李冬等[2]借鑒歐洲EFNARC標(biāo)準(zhǔn)，利用四邊簡(jiǎn)支方板試驗(yàn)研究了鋼纖維對(duì)玄武巖纖維編織網(wǎng)增強(qiáng)混凝土板雙向彎曲性能的影響。王麗娟等[3]對(duì)水泥混凝土路面固化溫度區(qū)域特征及其對(duì)面板翹曲的影響進(jìn)行了研究。李炎隆等[4]利用平面有限元法分析壩踵混凝土體型對(duì)混凝土面板應(yīng)力變形的影響。韓重慶等[5]為分析不同持荷水平下受約束預(yù)應(yīng)力混凝土空心板整澆樓面的耐火極限變化規(guī)律，進(jìn)行了3塊受約束預(yù)應(yīng)力混凝土空心板整澆樓面試件的耐火極限試驗(yàn)研究。王園園等[6]對(duì)鋼-混凝土組合與疊合雙重作用梁負(fù)彎矩區(qū)剛度和疊合面滑移進(jìn)行了研究。黃春霞等[7]研究單摻纖維和混摻纖維對(duì)活性粉末混凝土抗壓強(qiáng)度和軸向抗拉強(qiáng)度的影響規(guī)律。董毓利等[8]對(duì)火災(zāi)作用下混凝土雙向簡(jiǎn)支板的撓度進(jìn)行了計(jì)算。

混凝土板作為最基礎(chǔ)的建筑構(gòu)件在市政工程中應(yīng)用極為廣泛，如用于路面承重結(jié)構(gòu)、橋梁、樓板，地鐵車站等。同時(shí)由于功能和結(jié)構(gòu)的需要，大跨度混凝土板也常見于市政工程中，深入分析其在面內(nèi)荷載等多種載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)具有理論研究意義和工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。目前，面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲的分析在國(guó)內(nèi)外還鮮見有文獻(xiàn)報(bào)道，因此本文研究面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲問題。首先基于經(jīng)典薄板理論，利用Hamilton原理推導(dǎo)面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲的控制微分方程并進(jìn)行無(wú)量綱化；其次采用微分變換法(DifferentialTransformMethod, 簡(jiǎn)稱DTM)將問題的無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件進(jìn)行變換；最后求解并探討了無(wú)量綱壓力強(qiáng)度、載荷參數(shù)和長(zhǎng)寬比對(duì)于混凝土板自振頻率的影響。

1 控制微分方程及參數(shù)的無(wú)量綱化

考慮如圖1所示的大跨度混凝土板，將其放置在圖示的笛卡爾直角坐標(biāo)系中。板的尺寸為a×b×h且受到垂直于y軸截面上的面內(nèi)分布力Ny=-N0(1-γx/a)，其中N0為x=0處的壓力強(qiáng)度，γ為載荷參數(shù)。這里用λ=a/b表示矩形板的長(zhǎng)寬比，垂直于板面的位移分量為w。y=0和y=b處為簡(jiǎn)支邊界(S)，其余對(duì)邊為簡(jiǎn)支(S)或夾緊(C)邊界。下面在對(duì)納米矩形板四個(gè)直邊的邊界條件表示中，均按x=0、y=b、x=a和y=0處的次序給出。

圖1 面內(nèi)受壓大跨度混凝土板

為了導(dǎo)出大跨度混凝土板自由振動(dòng)控制微分方程，運(yùn)用Hamiltion原理表示如下：

(1)

式中：t表示時(shí)間，δ為變分符號(hào)。U、T和W分別表示板的應(yīng)變能、動(dòng)能和外力勢(shì)能，各量可表示如下：

(2)

(3)

(4)

式中：σx、σy和τxy為三個(gè)應(yīng)力分量，εx、εy和γxy為三個(gè)應(yīng)變分量，ρ為質(zhì)量密度。

板中面應(yīng)變和內(nèi)力分量如下[9]：

(5)

(6)

將式(2)～式(6)代入式(1)可得面內(nèi)受壓大跨度混凝土板的運(yùn)動(dòng)方程為：

(7)

在二維形式的板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下：

(8a)

(8b)

σxy=Gγxy

(8c)

式中：E、G=E/2(1+ν)分別為正交各向同性材料的兩個(gè)彈性模量；v為泊松比。

由式(5)、式(6)和式(8)可得混凝土板的彎矩和扭矩方程：

(9a)

(9b)

(9c)

式中：D=Eh3/[12(1-ν2)]為彎曲剛度。

式(9a)～式(9c)代入式(7)可得面內(nèi)受壓大跨度混凝土板的運(yùn)動(dòng)方程為：

(10)

板的邊界條件在y=0和y=b處若只考慮為簡(jiǎn)支(S)，板的橫向位移函數(shù)可取為：

(11)

Ω2=[12ρ(1-ν2)a2ω2]/EH2,

N0*=[12N0(1-ν2)]/aEH3,

并由式(10)、式(11)可得面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)的控制微分方程為：

(12)

式中：

A1=1，

A2=-2λ2m2π2

A3=γλ2m2π2N0*，

A4=λ4m4π4-λ2m2π2N0*-Ω2

又由彈性穩(wěn)定性理論可知，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的振動(dòng)具有無(wú)限大的振動(dòng)周期，其固有頻率為零[10]，則式(14)中若取Ω=0，則可得到計(jì)算面內(nèi)受壓大跨度混凝土板各階屈曲模態(tài)載荷的控制微分方程，其最小值即屈曲臨界載荷。至于在X=0和X=1邊界處，可為簡(jiǎn)支(S)邊界條件或者固定(C)邊界條件，其無(wú)量綱形式表述如下：

簡(jiǎn)支(S):

(13)

固定(C):

(14)

2 無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件的DTM變換

面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲的無(wú)量綱控制微分方程式(12)為變系數(shù)常微分方程，一般情況下較難求得其解析解，這里采用微分變換法(DTM)[11-14]進(jìn)行求解。DTM是一種能有效將線性或非線性微分方程(組)變換成代數(shù)方程(組)求解的半解析方法，它基于Taylor級(jí)數(shù)展開來(lái)求解微分方程，使用充分可微的多項(xiàng)式形式作為精確解的近似。經(jīng)DTM變換，可將原微分方程(組)和系統(tǒng)邊界條件轉(zhuǎn)化為由離散函數(shù)構(gòu)成的代數(shù)方程(組)，非常適合計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行求解。對(duì)于原函數(shù)f(x)，根據(jù)函數(shù)的Taylor公式，經(jīng)過DTM變換后的函數(shù)F[k]定義為[20]：

(15)

F(k)的逆變換為：

(16)

或者：

(17)

在實(shí)際應(yīng)用中，函數(shù)f(x)只考慮級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)，式(14)可重寫為：

(18)

式中:正整數(shù)m表示Taylor級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)。通常情況下可通過增大m的值來(lái)提高解的精度。

運(yùn)用DTM對(duì)面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲問題進(jìn)行求解時(shí)，首先需要將其無(wú)量綱控制微分方程和邊界條件經(jīng)DTM轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的由離散函數(shù)組成的代數(shù)方程。這里用F表示式(12)中W經(jīng)DTM變換后的離散值，則式(12)由DTM可變換為：

B1F[k+4]+B2F[k+2]+B3F[k]+B4F[k-1]=0

(19)

式中：

B1=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4),

B2=-2λ2m2π2(k+1)(k+2),

B3=λ4m4π4-Ω2-λ2m2π2N0*

B4=γλ2m2π2N0*

邊界條件變換如下：

在X=0處，簡(jiǎn)支(S)邊界條件：

F[0]=F[2]=0

(20)

固定(C)邊界條件：

F[0]=F[1]=0

(21)

在X=1處，簡(jiǎn)支(S)邊界條件：

(22)

固定(C)邊界條件：

(23)

將式(19)分別代入式(20)和式(22)，式(20)和式(23)，可分別求得四邊簡(jiǎn)支(SSSS)和三邊簡(jiǎn)支一邊固定(SSCS)的頻率特征方程如下：

S11(n)(Ω)F[1]+S12(n)(Ω)F[3]=0

S21(n)(Ω)F[1]+S22(n)(Ω)F[3]=0

(24)

式中S11(n),S12(n),S21(n),S22(n)是迭代n次求出的含有未知量無(wú)量綱固有頻率Ω的多項(xiàng)式，寫成矩陣的形式：

(25)

要使式(25)有非零解，則：

(26)

令無(wú)量綱固有頻率Ω=0，給定參數(shù)可以求解出臨界屈曲載荷Ncr。Ncr的求解過程類似于Ω的求解過程，同理可得：

(27)

在對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固定(CSCS)、一邊固定三邊簡(jiǎn)支(CSSS)的邊界條件下，同理可求出含有未知量無(wú)量綱固有頻率Ω以及臨界屈曲載荷Ncr特征方程：

(28)

(29)

由式(26)～式(29)，SSSS、SSCS、CSCS、CSSS邊界條件下的無(wú)量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr可求出。為了控制求出的無(wú)量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的精度和研究其收斂性，則有：

|Ωj(n)-Ωj(n-1)|≤η1, |Ncrj(n)-Ncrj(n-1)|≤η2

(30)

式中：η1、η2為迭代誤差限，這里取η1=η2=0.000001。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

通過編寫MATLAB程序可獲得由DTM求解面內(nèi)受壓大跨度混凝土板屈曲和振動(dòng)特征值問題的臨界載荷Ncr和無(wú)量綱頻率Ω。這里選擇C35混凝土進(jìn)行計(jì)算。材料參數(shù)如下[1][24]：ν=0.2,E=3.15×104N/mm2,ρ=25kN/m2。

圖2為N0*=30,m=1,H=0.1時(shí)，在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無(wú)量綱固有頻率Ω與載荷參數(shù)γ的關(guān)系曲線。各邊界下的Ω都隨γ的增大而增大；約束較強(qiáng)邊界下Ω較大(順序：CSCS邊界下頻率值>CSSS邊界下頻率值或SSCS邊界下頻率值>SSSS邊界下頻率值)。

(a)CSCS邊界條件

(b)CSSS邊界條件

(c)SSCS邊界條件

(d)SSSS邊界條件

圖3為N0*=30,m=1,H=0.1時(shí)，在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無(wú)量綱固有頻率Ω與載荷參數(shù)λ的關(guān)系曲線。各邊界下的Ω都隨λ的增大而增大；約束較強(qiáng)邊界下Ω較大(順序：CSCS邊界下頻率值>CSSS邊界下頻率值或SSCS邊界下頻率值>SSSS邊界下頻率值)。

圖4給出了不同參數(shù)下在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無(wú)量綱固有頻率Ω與X=0處無(wú)量綱壓力強(qiáng)度N0*的關(guān)系曲線。由圖可見：當(dāng)γ、λ，一定和H=0.1時(shí)，各邊界下的Ω都隨N0*的增大而減小且減小至0；當(dāng)γ、λ及H=0.1、Ω=0時(shí)，N0*即為臨界屈曲載荷Ncr并且約束較強(qiáng)邊界下臨界屈曲載荷Ncr較大(順序：CSCS邊界下臨界屈曲載荷值>CSSS邊界下臨界屈曲載荷值或SSCS邊界下臨界屈曲載荷值>SSSS邊界下臨界屈曲載荷值)。

(a)CSCS邊界條件

(b)CSSS邊界條件

(c)SSCS邊界條件

(d)SSSS邊界條件

(a)CSCS邊界條件

(b)CSSS邊界條件

(c)SSCS邊界條件

(d)SSSS邊界條件

4 結(jié)論

本文基于經(jīng)典薄板理論，利用Hamilton原理推導(dǎo)了面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和的控制微分方程并進(jìn)行無(wú)量綱化，采用DTM求解并研究了大跨度板的自由振動(dòng)?？紤]各參數(shù)對(duì)不同邊界條件下大跨度板的自振頻率Ω的影響。主要結(jié)論如下：

(1)隨著載荷參數(shù)γ的增大導(dǎo)致了混凝土板系統(tǒng)受到垂直于y軸截面上的面內(nèi)分布力Ny減小，從而使得大跨度混凝土板的自振頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr都增大。

(2)隨著壓力強(qiáng)度N0*的增大，從而使得基頻Ω減小，當(dāng)基頻Ω=0時(shí)，意味著混凝土板系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)，此時(shí)的N0*為最危險(xiǎn)的載荷，即為臨界屈曲載荷Ncr；各邊界條件下基頻Ω都隨長(zhǎng)寬比λ的增大而增大，并且增大速率逐漸變大且較強(qiáng)約束的邊界條件下自振頻率Ω較大。

(5)本文深入分析大跨度混凝土板在面內(nèi)荷載等多種載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)具有理論研究意義和工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。為路面混凝土結(jié)構(gòu)、橋梁、樓板和地鐵車站設(shè)計(jì)以及現(xiàn)場(chǎng)施工提供可靠的依據(jù)。