蔣宇洪，楊 娜，白 凡

(北京交通大學(xué)土木工程系，北京 100044)

采用均質(zhì)化方法對復(fù)合材料進(jìn)行研究時，可引入一個微元，通過該微元上的微觀結(jié)構(gòu)獲得復(fù)合材料的宏觀等效性能，從而將結(jié)構(gòu)計算和復(fù)合材料的等效性能計算解耦，該微元即為代表性體積單元[1](representative volume element，簡稱RVE單元)。該方法在巖土材料[2]、水泥基材料[3]、纖維復(fù)合材料[4]等方面的研究較多，而在砌體材料方面的研究相對較少。國外對砌體均質(zhì)化的研究起步較早，近幾年的研究主要圍繞砌體結(jié)構(gòu)彈塑性行為分析和大型砌體結(jié)構(gòu)評估開展。Tiberti 等[5]將砌體的RVE 單元粗化地切分成剛塑性三角形單元，提出了砌體極限分析法。Kujawa 等[6]基于RVE 單元的細(xì)觀力學(xué)解析，提出了一種砌體結(jié)構(gòu)整體式模型的建模方法。Silva 等[7]基于均質(zhì)化方法，分別利用三角形單元-接觸面模型和剛體單元-彈簧單元模型[8]對砌體結(jié)構(gòu)從細(xì)觀和宏觀層面進(jìn)行力學(xué)分析。國內(nèi)對砌體均質(zhì)化的研究起步較晚，多數(shù)是對彈性性質(zhì)的研究。吳雅穎[9]基于契合理論對RVE 單元的選取進(jìn)行了研究。一些學(xué)者通過對RVE 單元直接施加位移[10]或者荷載[11]，得到等效彈性模量，但是沒有考慮邊界條件對等效模量的影響。倪玉雙[12]考慮了砌塊、砂漿的幾何特性、材料參數(shù)，建立了砌體三維均質(zhì)化單元的等效彈性模量計算公式。滕東宇等[13]通過兩步法得到了藏式石砌體結(jié)構(gòu)外葉墻的等效彈性模量。上述方法均將砌體看作周期性結(jié)構(gòu)，即假定砌塊和砂漿均具有相同的尺寸大小、力學(xué)特性，并且這些組元滿足幾何周期性的分布，但大多數(shù)古建筑砌體結(jié)構(gòu)的組元分布、材料屬性存在一定的隨機(jī)性，很難滿足這個要求。

為了將均質(zhì)化方法應(yīng)用在古建筑砌體結(jié)構(gòu)上，一些學(xué)者[14-16]將古建筑砌體結(jié)構(gòu)看作是準(zhǔn)周期性結(jié)構(gòu)。Cluni 等[16-17]基于有限尺度測試窗法，提出了一種能得到準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)等效彈性模量的均質(zhì)化方法。許多學(xué)者[14,17-21]基于準(zhǔn)周期性或非周期性砌體結(jié)構(gòu)的幾何特征參數(shù)，進(jìn)行概率統(tǒng)計分析，建立了包含砌體結(jié)構(gòu)紋理信息的隨機(jī)模型。部份學(xué)者[11,14-16]將隨機(jī)模型與均質(zhì)化方法結(jié)合，提出了適用于準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)的均質(zhì)化方法。

石砌體結(jié)構(gòu)是藏式建筑的一種主要結(jié)構(gòu)形式，不僅常見于布達(dá)拉宮、大昭寺、小昭寺等歷史文物建筑中，在現(xiàn)代的藏區(qū)民用建筑也十分常見。目前，國內(nèi)外關(guān)于藏式石砌體結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的研究成果較少。滕東宇和楊娜[22]通過對小型試件進(jìn)行抗壓試驗，得到了藏式石砌體受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線，但小型試件的力學(xué)行為與砌體結(jié)構(gòu)有較大的差距。吉喆等[23]對藏式民居石墻模型進(jìn)行了抗壓試驗，但其墻體模型的構(gòu)造與常見的藏式古建石墻有較大差距。對藏式古建石砌體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能進(jìn)行深入研究對保護(hù)藏式歷史文化建筑和特色民用建筑有重要的意義。

本文基于Cluni 等[16-17]的有限尺度測試窗法，提出了一種選擇砌體結(jié)構(gòu)RVE 單元的方法，并以所選RVE 單元為基礎(chǔ)，提出了砌體結(jié)構(gòu)均質(zhì)化模型和整體式模型的建模方法。本文利用該選擇方法選取藏式古建石砌體墻的RVE 單元，得到該結(jié)構(gòu)的多向等效模量，并以所選單元和等效模量為基礎(chǔ)，分別建立了藏式古建石砌體結(jié)構(gòu)均質(zhì)化模型和整體式模型，與精細(xì)化模型進(jìn)行對比分析，證明兩種建模方法分別在模擬局部結(jié)構(gòu)受力和整體結(jié)構(gòu)變形的方面，可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的完整砌體結(jié)構(gòu)精細(xì)化建模。

1 砌體RVE 單元的選擇方法

1.1 周期性和準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)

如圖1 所示，周期性砌體結(jié)構(gòu)的砌塊、砂漿等組元按一定規(guī)律呈周期性分布。而準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)[16]任一橫排的砌塊的高度基本一致，但是同一排砌塊的寬度以及不同排砌塊的高度可能發(fā)生變化。

圖1 周期性和準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)Fig. 1 Periodic and quasi-periodic masonry structure

通常，周期性砌體結(jié)構(gòu)根據(jù)幾何周期性指定RVE 單元，即所選RVE 單元需要滿足：通過平移復(fù)制該RVE 單元就可以得到完整的結(jié)構(gòu)。而準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)在幾何構(gòu)造上存在一定的隨機(jī)性，很難在該類砌體結(jié)構(gòu)上找到滿足幾何周期性要求的RVE 單元。因此本文提出根據(jù)RVE 單元的力學(xué)性能是否能代表完整砌體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，判定該RVE 單元是否合理。本文將RVE 單元的等效模量(也稱有效模量)看作是衡量其力學(xué)性能的指標(biāo)，基于復(fù)合材料力學(xué)，提出一個求解砌體RVE 單元等效模量的方法。

1.2 復(fù)合材料的等效模量

1.3 等效模量的求解

1.4 RVE 單元的選擇步驟

顯然，所取的RVE 單元尺寸越大，越接近完整結(jié)構(gòu)，其力學(xué)性能將越接近完整結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。對于準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)，存在一個小于完整結(jié)構(gòu)的尺寸：當(dāng)RVE 單元的尺寸等于或大于該尺寸后，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)，RVE 單元的幾何構(gòu)造與砌體結(jié)構(gòu)內(nèi)任一尺寸相同的部分的幾何構(gòu)造一致[24]。因此，可以將完整砌體結(jié)構(gòu)看作是由這種幾何構(gòu)造統(tǒng)計特征一致的RVE 單元組成的連續(xù)體，此時，完整砌體結(jié)構(gòu)和RVE 單元的力學(xué)性能基本是相同的。

Huet[24]指出當(dāng)所取RVE 單元的尺寸等于或大于一定范圍時，CiVj、CiRj會逐漸收斂于結(jié)構(gòu)真實的等效模量。當(dāng)兩種邊界條件下的等效模量收斂到一定程度時，即可認(rèn)為該RVE 單元的性質(zhì)可以代表復(fù)合材料的性質(zhì)?；谠摻Y(jié)論，并結(jié)合有限元模型，可以得到適用于周期性、準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)的RVE 單元選擇步驟，如下所示：

1) 在砌體墻上選擇多個方形區(qū)域，即有限尺度測試窗(finite size test-windows)，作為RVE 單元的備選形式。如圖2 所示，對于周期性砌體結(jié)構(gòu)，選擇可以通過復(fù)制得到完整結(jié)構(gòu)的區(qū)域作為窗口；對于準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)，選取不同區(qū)域內(nèi)的多個相同尺寸的窗口，以消除紋理分布不均勻造成的影響。

2 有限元模型及驗證

2.1 有限元建模

2.2 建模方法和RVE 單元選擇方法的驗證

本文所得的結(jié)果與Drougkas 等[25]的結(jié)果對比如表1 所示?？梢钥闯?，本文所得的豎向等效模量與Drougkas 的試驗和數(shù)值模擬所得的模量接近，說明本文建模方法模擬周期性砌體結(jié)構(gòu)等效模量的有效性。隨著RVE 的單元尺寸增大，收斂幅值逐漸變小，等效模量預(yù)估值向完整結(jié)構(gòu)的等效模量逐漸接近，但不同RVE 單元等效模量預(yù)估值的差距較小。這是因為所選RVE 單元形式均滿足幾何周期性，與完整砌體結(jié)構(gòu)有較為接近的幾何構(gòu)造統(tǒng)計特征，但該方法仍能找到更接近完整砌體結(jié)構(gòu)性能的RVE 單元形式。

2.2.2 準(zhǔn)期性砌體結(jié)構(gòu)

準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)的等效模量試驗研究較少，因此利用Cluni 等[16]的有限元結(jié)果進(jìn)行驗證。模型和所選取的RVE 單元形式如圖5 所示。

本文所得的結(jié)果與Cluni 等[16]的結(jié)果對比如表2 所示。可以看出，整體結(jié)構(gòu)的等效模量與Cluni 等[16]的數(shù)值模擬結(jié)果結(jié)果較為接近，說明了本文建模方法在模擬準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)等效模量的有效性。按照本文的選擇方法，E 形式RVE 單元的收斂程度最高，E 形式RVE 單元的力學(xué)性能應(yīng)最為接近完整墻體模型的力學(xué)性能。將備選RVE 單元的等效模量預(yù)估值進(jìn)行對比，E 形式RVE 單元的等效模量與完整墻體模型的等效模量最為接近，表明E 形式RVE 單元的力學(xué)性能與完整墻體模型的力學(xué)性能接近。這說明本文選擇方法對于準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)的有效性。

表1 周期性砌體墻的豎向等效模量對比Table 1 Comparison of vertical effective modulus on periodic masonry walls

圖5 Cluni 等[16]的幾何模型及RVE 單元備選形式Fig. 5 Geometrical model and alternative RVE of Cluni et al[16]

表2 準(zhǔn)周期性砌體墻的豎向等效模量對比Table 2 Comparison of vertical effective modulus of quasiperiodic masonry walls

3 藏式古建石砌體RVE 單元的選擇

3.1 藏式古建石砌體

如圖6(a)所示，藏式古建石砌體結(jié)構(gòu)中最常見的形式是一種以花崗巖石材為砌塊，天然黃泥為砂漿的墻體。從圖6 可以看出，該類藏式古建石砌體墻的典型特征與歐洲古建筑中常見的三葉墻的基本一致，均是由兩片砌塊較大且規(guī)整的外葉墻夾著中間一片由較為松散的材料組成的內(nèi)葉墻。因此，可以把該類藏式古建石砌體看作為一種具備特定砌筑材料和砌體紋理構(gòu)造的三葉墻。

圖6 藏式古建石墻和歐洲三葉墻的對比Fig. 6 Comparison of Tibetan ancient stone wall and European three-leaf wall

如圖7 所示，藏式古建石砌體墻除擁有比較明顯的三葉墻特征外，還有其他自身獨特的工藝特征：在外葉墻上，占據(jù)大部分體積并且形狀比較規(guī)則的石塊被稱為塊石。塊石周圍往往會有呈扁平狀的石片和較小的石塊；這些小石片、石塊被稱為片石，主要起到填充縫隙以及砌筑過程中的找平作用。內(nèi)葉墻是偏小的石塊、碎石和黃泥的混合物。石砌體墻通常是藏式建筑的主要承重結(jié)構(gòu)之一，為承擔(dān)上部結(jié)構(gòu)的重量，厚度往往較大；同時為保持穩(wěn)定，降低重心，部分石砌體墻的外側(cè)墻面會向內(nèi)收分。

圖7 藏式古建石砌體構(gòu)造示意圖Fig. 7 Geometrical structure of Tibetan ancient stone masonry

3.2 有限元模型的參數(shù)設(shè)計

經(jīng)過實地調(diào)研，得到了某藏式古建筑內(nèi)的大量石墻的幾何尺寸，以此為依據(jù)設(shè)定了砌體組件的幾何參數(shù)。同時為了簡化模型，提出假定：石塊和石塊之間的灰縫內(nèi)均為均勻連續(xù)的泥土；豎向灰縫、水平向灰縫的材性一致；砌體中除石塊和泥土外的部分均為內(nèi)葉墻；完整塊石和片石的尺寸大小保持不變；塊石呈全順形式分布；不同層片石的分布有所變化。根據(jù)上述內(nèi)容，建立相應(yīng)砌體墻模型，有限元模型和詳細(xì)尺寸如圖8所示。

本文所采用的RVE 單元選擇方法只關(guān)注彈性階段的應(yīng)力、應(yīng)變分量，并且假定石材、黃泥均為各向同性材料，因此只需要確定各材料的彈性模量E、泊松比ν，即可建立有限元模型。參考規(guī)范[27]附錄A 的試驗方法，對28 個藏式建筑所用花崗巖試件進(jìn)行了抗壓試驗，試驗結(jié)果顯示試件抗壓強(qiáng)度平均值 fc為103.2 MPa；該值與Vasconcelos[28]的Ponte de Lima(PTA)花崗巖抗壓強(qiáng)度接近，參考其試驗結(jié)果，制定石材的彈性模量、泊松比。參考規(guī)范[29]，對，對3 個黃泥棱柱體進(jìn)行了抗壓試驗，平均彈性模量為295 MPa；泥土泊松比參考堅硬狀態(tài)下的粉質(zhì)粘土推薦泊松比[30]。內(nèi)葉墻本身是由碎石、小石塊、黃泥多種介質(zhì)組成的部分，組成的隨機(jī)性導(dǎo)致了材料性質(zhì)的不確定性，但一些學(xué)者[31-32]建模時仍將內(nèi)葉墻簡化成均勻統(tǒng)一的各向同性材料。參考Binda等[31]以Serena 石材砌筑的內(nèi)葉墻抗壓試驗結(jié)果進(jìn)行內(nèi)葉墻參數(shù)設(shè)置。上述本構(gòu)模型參數(shù)如表3 所示。

圖8 藏式古建石砌體墻幾何模型及詳細(xì)尺寸 /mm Fig. 8 Geometrical model and detailed dimensions of Tibetan stone masonry wall

表3 藏式古建石砌體的材料本構(gòu)模型參數(shù)Table 3 Material constitutive model parameters of Tibetan ancient stone masonry

3.3 RVE 單元模型

考慮到所建模型的幾何構(gòu)造周期性程度較高，采用的是針對周期性砌體結(jié)構(gòu)的選取方法：忽略片石分布，僅考慮塊石分布，選取可以通過復(fù)制得到完整結(jié)構(gòu)的區(qū)域作為窗口。為了尋找有推廣價值的三葉墻RVE 單元，參考砌體單葉墻的常見RVE 單元[33]，選取了九種藏式古建石砌體RVE單元，如圖9 所示。備選的RVE 單元考慮了RVE單元的尺寸及組元分布對RVE 單元的力學(xué)性能造成的影響，相應(yīng)的幾何參數(shù)如表4 所示。

圖9 藏式古建石砌體備選RVE 單元示意圖Fig. 9 Alternative RVEs of Tibetan ancient stone masonry

表4 備選RVE 單元幾何參數(shù)Table 4 Geometrical parameters of alternative RVEs

4 等效模量的對比分析

4.1 等效模量計算結(jié)果

圖10 RVE 單元等效模量和收斂幅值Fig. 10 Effective modulus and convergence amplitude of RVEs

明I 形式RVE 單元的力學(xué)性能與完整墻體模型的力學(xué)性能接近，是較為理想的RVE 單元。

4.2 體積大小對等效模量的影響分析

從圖11(a)和圖11(b)可以看出，隨著選取的單元尺寸逐漸擴(kuò)大，多數(shù)的等效模量預(yù)估值在向完整結(jié)構(gòu)的等效模量預(yù)估值逐漸接近，說明砌體RVE 單元的材料性質(zhì)在逐漸向完整結(jié)構(gòu)的性質(zhì)接近；等效模量預(yù)估值的變化主要集中在14.85m3～118.8 m3階段，而在118.8 m3～3920.4 m3階段，數(shù)值變化很??；這說明等效模量的變化是一個由快至緩的過程。不同體積的RVE 單元的等效模量預(yù)估值有一定差距，但差距較小。這是由于本文假定內(nèi)葉墻是連續(xù)均勻統(tǒng)一的材料而造成的；在外、內(nèi)葉墻的協(xié)同受力下，體積變化對RVE 單元等效模量的影響有限。

從圖11(c)可以看出等效模量呈較為明顯的收斂趨勢。六個等效模量分量按受到RVE 單元體積大小的影響程度不同，可以分為以下三組：1) 受影響最大， C11、 C33； 2) 受影響較小， C12、 C23；3)幾乎不受影響， C22。即RVE 單元體積對面內(nèi)的水平向、豎向軸向模量影響最大，對面內(nèi)剪切模量影響較大，對另外兩個面外的剪切模量影響較小，對厚度方向的軸向模量幾乎沒有影響。這是由于RVE 單元形式的不同在于尺寸大小以及單元范圍內(nèi)的組元分布，尺寸大小和組元分布的變化主要集中于砌體結(jié)構(gòu)的平面上，而沿厚度方向上，單元無尺寸變化并且組元分布的改變較小。當(dāng)單元的體積處于14.85 m3～118.8 m3時，單元的兩種等效模量收斂趨勢明顯，收斂速度較塊；當(dāng)單元的體積處于118.8 m3～3920.4 m3時，單元的兩種等效模量收斂趨勢變小，收斂速度變緩，部分等效模量分量的收斂幅值幾乎沒有變化。這說明隨著單元體積的增加，RVE 單元的Voigt、Reuss等效模量的收斂是一個由快至緩的過程。

4.3 組元的分布對等效模量的影響分析

由表4 可知，在備選RVE 單元形式中，有相同大小的單元體積，但組元(砌塊、砂漿、內(nèi)葉墻)分布不同的RVE 單元形式有三組，分別為：1) B、C、D；2) E、F；2) G、H。其等效模量預(yù)估值、收斂幅值δij如圖12 所示。

從圖12(a)和圖12(b)可以看出，對于有相同體積大小但組元分不同的單元，其等效模量有一定程度上的不同，但差距較小。這是因為本文的研究對象是三葉墻，備選單元形式對外葉墻上的砌塊、砂漿的分布的影響較大，而對內(nèi)葉墻分布的影響較小。在外、內(nèi)葉墻的協(xié)同作用下，組元分布對RVE 單元等效模量的影響有限。

圖11 RVE 單元等效模量、收斂幅值隨單元體積的變化Fig. 11 Change of effective modulus and convergence amplitude with elements’ volume for RVEs

從圖12(c)可以看出，同等體積大小的RVE單元的 δij有一定的區(qū)別，說明等效模量的收斂程度受到組元分布的影響。將3 組RVE 單元的 δij進(jìn)行比較，可以看出除基本不受影響的 δ22外，體積更大的分組中 δij的相互差距更小。這是因為體積較小時，組元分布對等效模量收斂程度的影響較顯著，使得組元分布不同的RVE 單元的等效模量收斂程度會有所差異；隨著單元體積的增加，體積對等效模量收斂程度的影響逐漸增加；當(dāng)體積大到一定程度后，體積造成的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過組元分布造成的影響，這使得組元分布不同的RVE 單元的等效模量收斂程度很接近。

圖12 同等體積RVE 單元的等效模量及收斂幅值對比分析Fig. 12 Comparison of effective modulus and convergence amplitude for RVEs with same volume

5 基于RVE 單元的建模方法

根據(jù)本文的方法可以得到與完整砌體結(jié)構(gòu)力學(xué)性能接近的RVE 單元，基于該RVE 單元，可以采用兩種建模途徑代替對完整結(jié)構(gòu)的精細(xì)化建模：1)建立均質(zhì)化模型，直接對RVE 單元進(jìn)行力學(xué)性能分析；2)根據(jù)RVE 單元的性能參數(shù)建立整體式模型。兩種途徑均可以大量地減少計算時間和收斂難度，能作為研究砌體結(jié)構(gòu)的工具。

5.1 均質(zhì)化模型

為了證明均質(zhì)化模型的有效性，分別建立均質(zhì)化模型和完整墻體模型?？紤]到藏式石砌體結(jié)構(gòu)長期服役過程中，自重和上部傳遞的壓力為主要荷載；本文所得的等效模量參數(shù)僅適用于彈性階段，只能分析較小荷載下的結(jié)構(gòu)狀態(tài)。因此，比較二者在承受1 MPa 均勻豎向壓應(yīng)力作用下的反應(yīng)。均質(zhì)化模型的幾何模型與圖9 的I 形式相同；完整墻體模型的幾何模型與圖8 所示墻體相同；均質(zhì)化模型和完整墻體模型的本構(gòu)模型參數(shù)如表3 所示，邊界條件與圖3(a)所示一致。

圖13 為完整墻體模型的Mises 應(yīng)力分布，可以看出墻體在受均勻荷載時，除了受到邊界條件影響的墻體邊緣，大部分區(qū)域的應(yīng)力分布可以看作以一定的規(guī)律周期性復(fù)制而成。周期性的應(yīng)力分布說明通過研究該類砌體結(jié)構(gòu)局部區(qū)域的力學(xué)行為就能達(dá)到研究其完整結(jié)構(gòu)的目的。

將均質(zhì)化模型的Mises 應(yīng)力云圖和完整墻體模型上同一位置的部分進(jìn)行對比，如圖14 所示，可以看出兩個模型的應(yīng)力分布較為接近。說明在受均勻荷載時，該均質(zhì)化模型的力學(xué)行為與完整結(jié)構(gòu)的同等大小區(qū)域的部分有著較為接近的力學(xué)行為，但均質(zhì)化模型受到邊界約束的影響，使得與邊界相接近的區(qū)域應(yīng)力分布有較小的差異。在后續(xù)的研究中，可以考慮對均質(zhì)化模型施加更加合理的邊界條件，比如周期性邊界條件，進(jìn)而得到更為準(zhǔn)確的分析。

圖13 完整墻體模型Mises 應(yīng)力分布 /MPa Fig. 13 Mises stress distribution for a whole wall subjected to uniform compression stress

圖14 Mises 應(yīng)力分布對比分析 /MPa Fig. 14 Comparison of Mises stress distribution for a wall subjected to uniform compression stress

接下來，基于均質(zhì)化模型，分析研究藏式古建石砌體的受壓行為。圖15 為RVE 單元模型正面的豎向壓力云圖，可以看出，在塊石層，塊石所受壓應(yīng)力最大，片石以及周圍的泥土所受壓應(yīng)力較小，這是由于片石所在部分的泥土豎向厚度更大，使得豎向剛度較小。在片石層，片石和周圍的泥土的應(yīng)力分布差距較小，這是因為扁長的片石分散了豎向應(yīng)力。

圖15 RVE 單元模型正面豎向應(yīng)力 /MPa Fig. 15 Vertical stress for vertical face of RVE model

考慮不同位置的紋理構(gòu)造，選取RVE 內(nèi)部的兩個橫截面，作出相應(yīng)的豎向應(yīng)力云圖，如圖16所示?？梢钥闯觯谟蓧K石組成外葉墻的區(qū)域，最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在塊石內(nèi)側(cè)的豎向邊緣上，與該邊緣相鄰的塊石內(nèi)側(cè)部分所受的壓應(yīng)力比塊石外側(cè)部分的更大；此外，與該邊緣相鄰的內(nèi)葉墻的壓應(yīng)力比其余內(nèi)葉墻的更小。這說明，在由塊石組成外葉墻的區(qū)域，石砌體墻處于一個偏心受壓的狀態(tài)，這是由于內(nèi)葉墻的豎向剛度比外葉墻的小，在傳遞豎向荷載時，內(nèi)葉墻有向下凹陷的趨勢，外葉墻為了平衡這個趨勢，使得外葉墻的內(nèi)側(cè)部分承擔(dān)了更多的壓力，并且減小了相鄰內(nèi)葉墻的壓應(yīng)力。而在由片石組成外葉墻的區(qū)域，外葉墻的豎向壓應(yīng)力仍比內(nèi)葉墻的大，但相差較小，呈現(xiàn)一個偏心程度較小的偏心受壓，同時，內(nèi)葉墻應(yīng)力分布更為均勻；這是因為由片石組成的外葉墻的豎向豎向剛度仍然比內(nèi)葉墻的大，但差距相對較小。通過上述分析，可作出厚度方向上，藏式古建石砌體墻受壓時的應(yīng)力分布，如圖17所示。

圖16 均質(zhì)化模型豎向應(yīng)力 /MPa Fig. 16 Vertical stress for cross sections of RVE model

5.2 整體式模型

為了證明本文所提的整體式模型建模方法的有效性，分別建立整體式模型和精細(xì)化分離式三葉墻模型，進(jìn)行壓剪試驗?zāi)M的對比分析。

分離式和整體式模型的幾何尺寸與圖8 所示的墻體相同；分離式模型的本構(gòu)參數(shù)如表3 所示；整體式模型為正交各向異性的彈性本構(gòu)，參數(shù)設(shè)定為I 形式RVE 單元的等效模量預(yù)估值，缺少的三個與泊松比有關(guān)的模量均假定為0；兩模型均采用C3D8R 單元。如圖18 所示，兩模型下端均設(shè)置為固結(jié)，上端設(shè)置一剛性板(2500 mm×700 mm×150 mm)，與墻體設(shè)置接觸對。接觸對的法向接觸為剛性接觸，剪切向接觸為懲罰剛度，摩擦系數(shù)為0.45。開始，對剛性板上部施加0.5 MPa的均勻壓應(yīng)力，然后保持壓力不變，再對剛性板的一端中點施加集中力10 kN。

對于分離式模型，外、內(nèi)葉墻的應(yīng)力和變形具有明顯的差異，因此選取厚度方向上，外、內(nèi)葉墻中心處的A-A、B-B 兩個截面，代表主要受力的墻體內(nèi)部核心區(qū)域，截取其應(yīng)力和變形云圖；對于整體式模型，由于其材性均勻，應(yīng)力和變形沿厚度方向上的應(yīng)力和變形沒有變化，故取其厚度中心的截面進(jìn)行對比。

圖17 藏式古建石砌體墻豎向應(yīng)力分布Fig. 17 Vertical stress distribution for Tibetan ancient stone masonry walls

圖18 壓剪三葉墻模型示意圖Fig. 18 Model of three-leaf wall to uniform compressive stress and shear loads

圖19 為分離式和整體式模型受壓剪荷載作用下的Mises 應(yīng)力云圖。可以看出，分離式模型的外葉墻呈現(xiàn)一個較為復(fù)雜、不均勻的狀態(tài)：在占大部分面積的塊石中部區(qū)域，Mises 應(yīng)力在0.5 MPa～0.7 MPa 范圍內(nèi)；在靠近塊石邊緣的位置，Mises應(yīng)力主要在0.7 MPa～1.0 MPa 范圍內(nèi)；在塊石角點處出現(xiàn)應(yīng)力集中，甚至出現(xiàn)了3 MPa 以上的Mises應(yīng)力；在片石區(qū)域，Mises 應(yīng)力主要在0 MPa～0.3 MPa 范圍內(nèi)。分離式模型的內(nèi)葉墻呈現(xiàn)一個較為均勻的狀態(tài)，僅左右兩側(cè)應(yīng)力分布有少量差別，Mises 應(yīng)力基本在0.3 MPa～0.5 MPa 范圍內(nèi)；整體式模型的絕大部分區(qū)域呈現(xiàn)較為均勻的狀態(tài)，僅在左右兩個底角出現(xiàn)了反對稱的應(yīng)力分布，Mises 應(yīng)力基本在0.5 MPa～0.6 MPa 范圍內(nèi)。將兩個模型應(yīng)力數(shù)值大小進(jìn)行對比，可以看出，受限于邊界條件、模型精細(xì)程度，整體式模型和分離式模型在主要區(qū)域的應(yīng)力有一定程度的差距，但整體式模型的應(yīng)力可以看作是分離式模型外葉墻、內(nèi)葉墻應(yīng)力進(jìn)行綜合并平均后的結(jié)果。兩個模型的應(yīng)力分布均體現(xiàn)了墻體模型受壓剪作用時的受力特征：水平向剪力荷載使墻體左端產(chǎn)生了豎向拉應(yīng)力，右端產(chǎn)生了豎向壓應(yīng)力；反對稱的拉、壓應(yīng)力再與墻體整體所受的均勻壓應(yīng)力疊加。另外，整體式模型的材性均勻統(tǒng)一且沒有考慮泊松比，不能表現(xiàn)細(xì)觀的應(yīng)力分布。

圖20 為分離式和整體式模型在壓剪作用下的位移云圖，可以體現(xiàn)模型的變形。對比可以看出，兩個模型的位移數(shù)值大小較為接近，位移分布近似，均可以表現(xiàn)墻體模型受壓剪作用時的變形特征：水平向剪力荷載使墻體左端產(chǎn)生了豎向受拉變形，右端產(chǎn)生了豎向受壓變形；反對稱的拉、壓變形再與均勻壓應(yīng)力造成的受壓變形疊加。表5 為分離式和整體式模型在壓剪作用下的頂部壓縮位移 Δv、 水平位移 Δu，可以看出兩個模型在關(guān)鍵部位上的變形是十分接近的。在宏觀尺度上，模型往往關(guān)注的是結(jié)構(gòu)的整體變形，本文的整體式模型可滿足此需求。

圖19 墻體Mises 應(yīng)力分布對比分析 /MPaFig. 19 Comparison of Mises stress distributions for wall subjected compression and shear loads

圖20 墻體位移對比分析(橫向位移擴(kuò)大1000 倍) /mm Fig. 20 Comparison of deformation for wall subjected compression and shear loads(Horizontal deformation is scaled up by 1000 times)

表5 墻體頂部壓縮位移和水平位移Table 5 Compressive and horizontal displacement on top of wall

6 結(jié)論

(1)本文基于有限尺度測試窗法，提出了選擇周期性、準(zhǔn)周期性砌體結(jié)構(gòu)RVE 單元的方法，通過該方法可以選出力學(xué)性能接近完整砌體結(jié)構(gòu)的RVE 單元，并能得到砌體結(jié)構(gòu)的各向等效模量。

(2)通過探討RVE 單元的尺寸大小和所包含的組元分布對等效模量的影響，得知RVE 單元尺寸的增大會使得Voigt、Reuss 等效模量向完整結(jié)構(gòu)的模量接近，呈現(xiàn)先快后慢的變化趨勢；組元分布的不同會使得等效模量的收斂程度發(fā)生改變，但在較大尺寸的RVE 單元上，組元分布的影響將被體積造成的影響抵消。

(3)本文基于所選的RVE 單元建立了均質(zhì)化模型和整體式模型，分別與完整結(jié)構(gòu)的精細(xì)化模型進(jìn)行對比分析，證明了這兩種建模方法分別在模擬局部結(jié)構(gòu)受力和整體結(jié)構(gòu)變形的方面，可以代替?zhèn)鹘y(tǒng)的精細(xì)化模型。

(4)通過基于所選RVE 單元建立的均質(zhì)化模型進(jìn)行分析，獲得了藏式古建石砌體結(jié)構(gòu)在受壓時的微觀應(yīng)力分布規(guī)律，可供藏式古建石砌體文物保護(hù)研究人員參考。