谷音,李攀

(福州大學(xué)土木工程學(xué)院,福建福州 350108)

0 引言

暴露在富含氯鹽環(huán)境下的鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)易遭受氯離子腐蝕[1].為了確保鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)服役安全,準(zhǔn)確預(yù)測(cè)鋼筋表面氯離子濃度就顯得十分重要.在氯離子擴(kuò)散模型上,已往的研究往往忽視了截面形狀對(duì)氯離子擴(kuò)散的影響,直接將截面簡(jiǎn)化為一維平板單元[2-3].跨海橋梁和濱海結(jié)構(gòu)墩柱常采用圓形截面形式.相關(guān)研究發(fā)現(xiàn)采用平板擴(kuò)散模型并不都適用于圓形截面[4-5].

文獻(xiàn)[6]考慮了幾何形狀對(duì)氯離子擴(kuò)散的影響,采用二維Fick擴(kuò)散微分方程描述氯離子在矩形和圓形截面上的擴(kuò)散.在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[7]采用有限差分方法求解矩形截面所對(duì)應(yīng)的二維擴(kuò)散微分方程.隨著計(jì)算機(jī)軟件技術(shù)的發(fā)展,有限元分析方法被應(yīng)用于模擬氯離子擴(kuò)散.文獻(xiàn)[8]通過(guò)有限元軟件(Ansys)模擬了氯離子在矩形截面中的擴(kuò)散.然而,影響氯離子在混凝土中擴(kuò)散的因素十分復(fù)雜,鋼筋腐蝕開(kāi)始時(shí)間具有嚴(yán)重離散性.采用有限元方法對(duì)鋼筋開(kāi)始腐蝕時(shí)間進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)效率低且不便.數(shù)學(xué)擴(kuò)散方程表達(dá)式仍被需要.對(duì)于鋼筋混凝土圓形截面,文獻(xiàn)[9]考慮擴(kuò)散系數(shù)為常值,采用分離變量的方法對(duì)極坐標(biāo)下的Fick二維擴(kuò)散方程進(jìn)行求解,獲得圓形擴(kuò)散模型數(shù)學(xué)表達(dá)式.然而,文獻(xiàn)[10]指出隨著混凝土水化作用持續(xù)發(fā)生,導(dǎo)致毛細(xì)孔率逐漸降低,擴(kuò)散系數(shù)隨著服役時(shí)間增加而降低.文獻(xiàn)[11]驗(yàn)證了擴(kuò)散系數(shù)與服役時(shí)間緊密聯(lián)系.因此,考慮擴(kuò)散系數(shù)為常值不再合理.

隨著對(duì)氯離子擴(kuò)散及腐蝕機(jī)理的進(jìn)一步認(rèn)知,基于全概率耐久性設(shè)計(jì)方法被廣泛應(yīng)用.氯離子擴(kuò)散模型作為基本設(shè)計(jì)方程,對(duì)氯鹽環(huán)境下鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)耐久性設(shè)計(jì)結(jié)果有著重要的意義.對(duì)于圓柱,簡(jiǎn)化為一維平板單元是否影響耐久性設(shè)計(jì)結(jié)果需要進(jìn)一步討論.本研究考慮擴(kuò)散系數(shù)為時(shí)間函數(shù),并改進(jìn)了氯離子在混凝土圓形截面中擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型.探討采用平板擴(kuò)散方程對(duì)評(píng)估鋼筋表面氯離子濃度以及耐久性設(shè)計(jì)結(jié)果的影響,給出了不同暴露環(huán)境下鋼筋混凝土圓柱的耐久性設(shè)計(jì)建議.

1 圓形截面氯離子數(shù)學(xué)擴(kuò)散模型

1.1 理論推導(dǎo)

鋼筋混凝土截面假定為均質(zhì)材料,t時(shí)刻擴(kuò)散深度ρ處的氯離子濃度c(ρ,t)滿(mǎn)足極坐標(biāo)下Fick第二定律方程,如下所示：

式中：D表示氯離子擴(kuò)散系數(shù).

初始邊界條件為：①表面氯離子濃度為常值c0,即c(R,t)=c0；②截面濃度分布滿(mǎn)足軸向?qū)ΨQ(chēng),即；③混凝土基質(zhì)中初始氯離子濃度為0,即c(ρ,0)=0.

不考慮外部環(huán)境影響,擴(kuò)散系數(shù)表達(dá)為時(shí)間t的函數(shù)[12]：

其中：Dref為混凝土養(yǎng)護(hù)齡期為tref時(shí)氯離子擴(kuò)散系數(shù)；m為混凝土老化系數(shù).

對(duì) c(ρ,t)進(jìn)行變量分離： c(ρ,t)=φ(ρ)ψ(t).結(jié)合式(2), 方程(1)變?yōu)椋?/p>

這里,λ為常數(shù).對(duì)上述方程(3)進(jìn)行求解,應(yīng)用邊界條件①、②、③,圓形擴(kuò)散模型表達(dá)如下：

式中：c(x,t)表示t時(shí)刻擴(kuò)散深度x處氯離子濃度；R為混凝土圓柱半徑；αn為J0(Rαn)=0方程的零根；J0為零階貝塞爾函數(shù)；J1為一階貝塞爾函數(shù).

若圓形截面簡(jiǎn)化為半無(wú)限平板單元,可采用平板擴(kuò)散模型描述[12].

式中：erf表示高斯誤差函數(shù).

1.2 參數(shù)概率分布

氯離子侵蝕環(huán)境一般分為大氣區(qū)、浪濺潮汐區(qū)和淹沒(méi)區(qū)[13].文獻(xiàn)[14]在氯鹽環(huán)境下耐久性設(shè)計(jì)工作中對(duì)老化系數(shù)m與表面氯離子濃度c0進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,其中c0采用混凝土質(zhì)量分?jǐn)?shù)表示.結(jié)果表明,大氣區(qū)m滿(mǎn)足均值為0.53,標(biāo)準(zhǔn)差為0.08的正態(tài)分布,c0滿(mǎn)足均值為2%,標(biāo)準(zhǔn)差為0.31%的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.浪濺潮汐區(qū)m滿(mǎn)足均值為0.47、標(biāo)準(zhǔn)差為0.028的正態(tài)分布,c0滿(mǎn)足均值為5.4%,標(biāo)準(zhǔn)差為0.82%的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.淹沒(méi)區(qū)m滿(mǎn)足均值為0.44、標(biāo)準(zhǔn)差為0.029的正態(tài)分布,c0滿(mǎn)足均值為4.5%,標(biāo)準(zhǔn)差為0.68%的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.由于擴(kuò)散系數(shù)與最小保護(hù)層厚度均值為設(shè)計(jì)控制對(duì)象,文獻(xiàn)[14]分別采用變異系數(shù)為0.2的對(duì)數(shù)正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)差為5.3 mm的正態(tài)分布來(lái)表示.為了方便后續(xù)內(nèi)容研究,混凝土齡期為28 d所對(duì)應(yīng)的擴(kuò)散系數(shù)均值可通過(guò)水灰比w進(jìn)行預(yù)測(cè)[15],如下式所示：

1.3 擴(kuò)散模型與數(shù)值模型對(duì)比分析

以位于大氣區(qū)半徑為50 cm的混凝土圓柱為例,w為0.5.通過(guò)式(6),28 d時(shí)擴(kuò)散系數(shù)D28的均值為10-10.86m2·s-1.圓柱表面氯離子濃度的質(zhì)量分?jǐn)?shù)c0取2%,混凝土老化系數(shù)m取0.53.首先研究圓形擴(kuò)散模型中第一類(lèi)貝塞爾函數(shù)J0的零根數(shù)量對(duì)氯離子濃度評(píng)估結(jié)果的影響.擴(kuò)散深度為5 cm,該處的氯離子濃度值隨零根數(shù)量變化如圖1所示.圖1結(jié)果表明,當(dāng)零根數(shù)量超過(guò)20,計(jì)算結(jié)果趨向穩(wěn)定.

假定混凝土為均質(zhì)材料,通過(guò)COMSOL軟件模擬截面濃度分布隨擴(kuò)散時(shí)間變化[16].數(shù)值模型與圓形擴(kuò)散模型對(duì)比結(jié)果如圖2所示.顯然,由圖2可見(jiàn),采用圓形擴(kuò)散計(jì)算結(jié)果與數(shù)值模型結(jié)果吻合很好,驗(yàn)證了采用分離變量方法求解出圓形擴(kuò)散模型的正確性.

圖1 J0對(duì)圓形擴(kuò)散模型影響Fig.1 The effect of J0on circular diffusion model

圖2 圓形擴(kuò)散模型與數(shù)值模型對(duì)比分析Fig.2 Comparison between circular diffusion model and numerical model

2 圓形擴(kuò)散模型與平板擴(kuò)散模型對(duì)比

2.1 鋼筋表面氯離子濃度

對(duì)于混凝土圓柱,為了方便評(píng)估采用平板擴(kuò)散模型計(jì)算鋼筋表面濃度所產(chǎn)生的誤差,定義平板擴(kuò)散模型與圓形擴(kuò)散模型的比值ccir/cslab=Q.通過(guò)參數(shù)敏感性分析來(lái)研究模型參數(shù)對(duì)Q的影響.模型參數(shù)變化區(qū)間如表1所示.通過(guò)式(4)～(5),分析結(jié)果如圖3所示.由圖3可見(jiàn),保護(hù)層厚度與半徑對(duì)Q值有顯著影響,而其他模型參數(shù)對(duì)其影響可以忽略不計(jì).保護(hù)層厚度增加與半徑減少都將導(dǎo)致該值增加.

圖3 參數(shù)對(duì)Q的敏感性分析Fig.3 Sensitivity analysis of parameters to Q

表1 模型參數(shù)變化區(qū)間Tab.1 Variation range of model parameters

由圖3結(jié)論,Q可表示為R與x函數(shù).除x外,表1中模型參數(shù)取均值,Q與x的關(guān)系如圖4所示.數(shù)據(jù)回歸分析結(jié)果表明,其可采用x的一元一次函數(shù)來(lái)表示：

式中：k(R)與b(R)為待定表達(dá)式,均為R的函數(shù).

假定一列半徑值R,再次通過(guò)回歸分析,得到不同R所對(duì)應(yīng)的k與b值,對(duì)k(R)與b(R)進(jìn)行擬合,結(jié)果如圖5～6所示.觀察圖6可知,b隨半徑的變化值保持在2%內(nèi).因此,系數(shù)b可直接簡(jiǎn)化為常值1.Q的具體表達(dá)式如下所示：

在式(8)基礎(chǔ)上,由平板擴(kuò)散模型評(píng)估c所產(chǎn)生誤差率η可進(jìn)一步表示為：

圖4 x與Q關(guān)系Fig.4 Relationship between x and Q

圖5 R與k關(guān)系Fig.5 Relationship between R and k

圖6 R與b關(guān)系Fig.6 Relationship between R and b

保護(hù)層厚度分別取4、5和6 cm,通過(guò)式(9)得到在不同保護(hù)層厚度、半徑R下誤差率η值,詳見(jiàn)表2.觀察表2可知,隨著半徑減小與保護(hù)層厚度增加,誤差率η逐漸降低.當(dāng)半徑小于50 cm時(shí),誤差率η均超過(guò)5%.由此可得,當(dāng)鋼筋混凝土圓柱半徑大于50 cm時(shí),圓形截面可簡(jiǎn)化為平板單元進(jìn)行鋼筋表面氯離子濃度評(píng)估.

表2 保護(hù)層厚度為4、5、6 cm時(shí)不同半徑所對(duì)應(yīng)的誤差率Tab.2 Error rate of different radius when concrete cover thickness is 4,5 and 6 cm

2.2 鋼筋混凝土圓柱耐久性設(shè)計(jì)

2.2.1 基本方程

采用全概率設(shè)計(jì)理念對(duì)混凝土圓柱進(jìn)行耐久性設(shè)計(jì),耐久性設(shè)計(jì)的極限狀態(tài)(DLS)定義為鋼筋開(kāi)始腐蝕.分別基于氯離子圓形擴(kuò)散模型與平板擴(kuò)散模型的基本設(shè)計(jì)方程為：

式中：ccr表示鋼筋開(kāi)始腐蝕所對(duì)應(yīng)氯離子濃度閾值；tSL表示設(shè)計(jì)壽命.

Life 360耐久性設(shè)計(jì)程序建議當(dāng)時(shí)間t超過(guò)30 a,擴(kuò)散系數(shù)值退化為常值[15].因此,當(dāng)t超過(guò)30 a時(shí),基于式(2),擴(kuò)散系數(shù)D(t)可更新如下式所示：

對(duì)于ccr,本研究采用文獻(xiàn)[17]在港珠澳耐久性設(shè)計(jì)工程中所使用的概率分布,ccr采用混凝土質(zhì)量分?jǐn)?shù)表示.大氣區(qū)ccr滿(mǎn)足均值為0.85%,標(biāo)準(zhǔn)差為0.13%的對(duì)數(shù)正態(tài)分布.浪濺潮汐區(qū)ccr滿(mǎn)足上界為1.25%,下界為0.45%的貝塔分布,均值為0.75%,標(biāo)準(zhǔn)差為0.23%；淹沒(méi)區(qū)ccr滿(mǎn)足上界為3.5%,下界為1%的貝塔分布,均值為2%,標(biāo)準(zhǔn)差為0.72%.采取文獻(xiàn)[17]所推薦的可靠度指標(biāo)設(shè)計(jì)值βd=1.3.設(shè)計(jì)壽命tSL分別為50、100 a.給定擴(kuò)散系數(shù)D28設(shè)計(jì)值,通過(guò)調(diào)節(jié)最小保護(hù)層厚度xd來(lái)滿(mǎn)足可靠度指標(biāo)設(shè)計(jì)值.βd通過(guò)下式計(jì)算：

式中：Φ表示正態(tài)分布函數(shù)；pf表示DLS所對(duì)應(yīng)的失效概率.采用蒙特卡羅模擬方法對(duì)pf進(jìn)行計(jì)算,其中樣本數(shù)量為100 000.

2.2.2 氯離子擴(kuò)散系數(shù)(D28)與最小保護(hù)層混凝土厚度(xd)

不同暴露環(huán)境下,分別采用式(10)～(11)對(duì)半徑為30 cm和半徑為50 cm的鋼筋混凝土圓柱進(jìn)行耐久性設(shè)計(jì),初步結(jié)果如圖7所示.由圖7易見(jiàn),隨著擴(kuò)散系數(shù)設(shè)計(jì)值增加,采用圓形擴(kuò)散模型與采用平板擴(kuò)散模型所得結(jié)果的差異逐漸增加.在圖7基礎(chǔ)上,不同擴(kuò)散系數(shù)D28設(shè)計(jì)值下,采用圓形擴(kuò)散模型與平板擴(kuò)散模型所對(duì)應(yīng)的最小保護(hù)層厚度差值Δxd如圖8所示.由圖8可見(jiàn),當(dāng)設(shè)計(jì)年限為50 a時(shí),各暴露環(huán)境下最大差值保持在3 mm內(nèi),而當(dāng)設(shè)計(jì)年限為100 a時(shí),最大差值保持在4 mm內(nèi).

圖7 設(shè)計(jì)值D28與xd的關(guān)系Fig.7 The relationship between the design value D28and xd

圖8 Δxd與設(shè)計(jì)值D28關(guān)系Fig.8 The relationship between Δxdand the design value D28

以大氣區(qū)為算例背景,D28設(shè)計(jì)值假定為6(μm)2·s-1.不同設(shè)計(jì)可靠度指標(biāo)下,由圓形擴(kuò)散模型與平板擴(kuò)散模型所得最小保護(hù)層厚度差值Δxd變化趨勢(shì)如圖9所示.由圖9可見(jiàn),半徑為30cm時(shí)Δxd值穩(wěn)定在4mm；半徑為50cm時(shí)Δxd值穩(wěn)定在2 mm.結(jié)果表明,可靠度設(shè)計(jì)值對(duì)該差值的影響可以忽略.為了方便設(shè)計(jì)與施工,需在平板擴(kuò)散模型所得混凝土最小保護(hù)層厚度的基礎(chǔ)上增加5 mm.

圖9 Δxd與βd關(guān)系Fig.9 The relationship between Δxdand βd

3 結(jié)論

考慮鋼筋混凝土圓形截面作為影響氯離子擴(kuò)散因素并以時(shí)間函數(shù)作為擴(kuò)散系數(shù),推導(dǎo)了圓形擴(kuò)散模型.分析了圓形截面對(duì)鋼筋表面氯離子濃度評(píng)估以及鋼筋混凝土圓柱耐久性設(shè)計(jì)結(jié)果的影響,從中得到如下結(jié)論：

1)忽視圓形截面對(duì)氯離子擴(kuò)散的影響,采用平板擴(kuò)散模型將低估服役期混凝土結(jié)構(gòu)中鋼筋表面氯離子濃度.評(píng)估該濃度所產(chǎn)生的誤差隨半徑的減少以及保護(hù)層厚度增加而增加.當(dāng)半徑小于50 cm時(shí),為了控制誤差在5%內(nèi),需使用圓形擴(kuò)散模型來(lái)評(píng)估.

2)采用平板擴(kuò)散模型對(duì)鋼筋混凝土圓柱進(jìn)行耐久性設(shè)計(jì)時(shí),將低估最小保護(hù)層厚度設(shè)計(jì)要求.圓柱的最小保護(hù)層厚度需在平板擴(kuò)散模型設(shè)計(jì)結(jié)果的基礎(chǔ)上增加5 mm.