黃奕釩,徐啟峰,謝楠,譚巧

(1.福州大學電氣工程與自動化學院,福建福州 350108；2.閩江學院計算機與控制工程學院,福建福州 350108)

0 引言

我國“十三五”規(guī)劃中強調發(fā)展智能電網,其中光學電壓傳感器(optical voltage sensor,OVS)是智能輸變電關鍵設備的重大研制方向.OVS的測量準確度和穩(wěn)定性容易受到外電場的干擾[1-2],導致晶體內電場分布不均勻而引入測量誤差,使其難以滿足0.2級準確度要求[3-4].針對這一問題已提出了諸如介質分層法[5]、附加介質法[6]和介質包裹法[7]等電場優(yōu)化方法,其基本思路是將介電常數適中的絕緣材料置于電光晶體(如Bi4Ge3O12,BGO)與SF6氣體之間,以緩和晶體內電場的突變.上述方法通常采用有限元計算結合窮舉法進行優(yōu)化設計,效果不盡理想.因為有限元模型無法反映晶體內電場分布與傳感結構參數之間復雜的非線性映射關系,缺少直接求解的電場模型；另外,窮舉搜索缺乏理論依據,僅通過盲目試探,導致耗時長、效率低,容易落入局部陷阱.

本研究提出基于SVM(support vector machine)和PSO(particle swarm optimization)的電場優(yōu)化混合算法.SVM具有強大的多維非線性映射能力,且在小樣本數據下的泛化能力強[8],適用于OVS內電場分布的建模.但是SVM模型的穩(wěn)定性及泛化能力對懲罰因子和核函數十分敏感.PSO是一種全局隨機優(yōu)化算法[9],具有很高的尋優(yōu)效率且能避開局部陷阱.因此,利用PSO優(yōu)化SVM參數以提高SVM模型的擬合精度和泛化能力,再由PSO對模型求解得到最優(yōu)電場分布.

1 常用OVS內電場優(yōu)化的方法及局限性

1.1 常用OVS內電場優(yōu)化方法

由Pockels效應,當電光晶體內電場分布均勻時,電光相位延遲φ與待測電場E[10-11]之間滿足：

其中：λ是入射光波長；n0為晶體的折射率；γ41為晶體的電光系數；l為晶體的通光路徑長度.

然而,受晶體內不均勻電場分布和光學器件偏移的影響,入射光感應不同的電場強度,累積的相位延遲發(fā)生變化,稱之為電壓積分誤差[12],可表述為

當光學器件發(fā)生±0.5°偏移時引入的誤差高達0.124%[7],難以保證電子式互感器0.2級準確度要求.

解決上述問題的關鍵是改善晶體內電場分布.為定量描述電場分布的均勻度,引入電場不均勻系數f[13],

其中：Emax為通光路徑上的最高場強；Eav為平均場強.f越接近1,電場分布越均勻.

以縱向調制OVS為例,利用Ansoft Maxwell仿真得到BGO晶體沿xy平面的電勢分布,如圖1(a)所示.由于BGO的介電常數遠大于SF6的介電常數,導致晶體內等勢線扭曲[7],從而引入測量誤差,計算得電場不均勻性系數f0=1.283.在BGO外側包裹某種不具有電光效應的絕緣介質(如介電常數εx=8,厚度dx=5 mm,長度lx=50 mm),電勢分布如圖1(b)所示,晶體的內電場分布得到明顯改善.

圖1 BGO晶體沿xy平面的電勢分布Fig.1 Potential distributions on xy section in BGO crystal

1.2 常用方法的局限性

包裹介質的介電常數εx、厚度dx和長度lx是影響晶體內電場分布的主要因素[7].由于缺乏有效的分析手段,上述參數的優(yōu)化只能通過有限元計算和窮舉搜索,每次改變一個參數并計算參數變化對電場分布的影響.為縮短優(yōu)化時間,通常在參數的某個約束范圍內窮舉,如

其中：εx、dx和lx的步長依次為2、2和4 mm.

BGO通光路徑上電場分布與εx、dx和lx的關系如圖2所示.從圖中可見,隨著εx、dx在約束條件內增加,晶體的內電場均勻度先升高后降低.但受到尋優(yōu)精度的限制(步長為2),僅能夠確定在εx=9、dx=6時電場分布較優(yōu),對應f1=1.032、f2=1.029,相比于f0=1.283,電場均勻度分別提高了19.56%、19.79%.參數lx對BGO內電場分布的影響更為明顯.當lx=40 mm時電場畸變最嚴重,這是因為在BGO晶體、SF6氣體和包裹介質三者交界處的等勢線扭曲,引起局部電場聚集[5-7]；當lx=48 mm時電場分布得到改善,均勻度提升了16.18%.然而隨著lx繼續(xù)增大,晶體內的電場均勻度再次降低.

圖2 傳感結構參數對BGO晶體內電場分布的影響Fig.2 Effect of sensing structure parameters on electric field distributions of BGO

通過對比窮舉結果,確定最優(yōu)結構為[εx、dx,lx]T=[9,6,50]T,晶體內電場均勻度提高了19.79%.這一優(yōu)化路線存在以下局限性：

1)晶體內電場分布隨傳感結構參數εx、dx和lx的變化而非線性地變化,有限元模型無法映射這一關系,且借助于窮舉法也僅能夠還原部分電場分布的關系,如圖2所示.

2)針對多目標非線性函數,窮舉法基于單一變量原則進行搜索,由于尋優(yōu)精度低,疏漏了參數之間的關聯,容易落入局部陷阱,例如上例中的優(yōu)化結果顯然不是最優(yōu)解.

3)窮舉搜索的優(yōu)化效率受到搜索時間和尋優(yōu)精度的限制.為避免落入局部陷阱,需要提高搜索步長(即尋優(yōu)精度),上例中將步長提高到1,每種結構參數下有限元的計算時間約為30 s,總耗時11.5 h.此外,還需要對計算結果逐一對比以選出最優(yōu)解,操作復雜.

2 基于混合算法的電場建模

為克服窮舉法在求解多目標非線性函數上的缺陷,近年出現了如網格優(yōu)化算法[14]、遺傳算法(genetic algorithm,GA)[15]、模擬退火算法[16]等,但是存在搜索速度慢、容易落入局部最優(yōu)陷阱等缺點.為此,運用SVM-PSO混合算法以解決上述問題.

2.1 SVM-PSO算法的實現

SVM在解決小樣本、非線性和高維度等問題上具有優(yōu)勢[17].SVM應用于回歸擬合分析時的基本思路是尋找一個最優(yōu)分類面,使所有訓練樣本與該分類面的距離最小.其中,懲罰因子和核函數對回歸模型的穩(wěn)定性及泛化能力起關鍵作用.通常采用交叉驗證法選擇上述參數,但效果并不理想.實際上,SVM的參數選擇是一個動態(tài)優(yōu)化過程.而PSO在處理多目標優(yōu)化中能大概率地找到全局最優(yōu)解,且計算效率高、魯棒性好[18].因此,將懲罰因子和核函數作為粒子的初始位置,通過PSO尋找最優(yōu)參數,以建立基于PSO優(yōu)化SVM(SVM-PSO)電場分布的數學模型,實現算法優(yōu)勢互補.具體步驟為：

1)PSO參數初始化,其中學習因子c1=1.5,c2=1.7,種群數目為20,最高迭代次數為200,慣性權重為0.3～0.7；

2)對訓練樣本進行預估建模,并將各個粒子的預估誤差作為適應度函數；

3)根據粒子適應度更新個體、群體極值[9]；

4)判斷是否滿足終止條件,若滿足,則得到最優(yōu)SVM參數值；否則,返回步驟2)；

5)利用最優(yōu)參數組合和訓練樣本建立SVM-PSO電場模型.

2.2 OVS內電場分布建模

以BGO晶體電場不均勻系數f作為目標函數,εx、dx和lx作為決策變量,則電場模型以及決策變量的約束可表述為

選取150組決策變量參數Zj=[εj,dj,lj]T,j=1,2,…,150,并利用有限元模型計算相應的仿真結果fj,其中100組用于訓練,另50組用于預測.為了加快學習效率、降低預測誤差,在[-1,1]區(qū)間對數據歸一化

其中：xo和x*分別為歸一化前后的數據；xmin和xmax分別為數據的最小值和最大值.

基于SVM-PSO的電場建模結果如圖3所示.圖中可見,模型對訓練樣本的預測值與仿真結果一致,表明SVM-PSO能夠精確地映射電場分布和傳感結構之間的非線性關系.

圖3 基于PSO-SVM的電場建模結果Fig.3 Electric filed modeling based on PSO-SVM

為進一步驗證SVM-PSO方法的建模優(yōu)勢,選擇BP(back propagation)神經網絡、SVM、GA優(yōu)化SVM(GA-SVM)方法對同一訓練樣本建模,并采用擬合度(R2)、標準差(RMSE)和訓練時間(t)三個指標評價上述模型[19],如表1所示.可見,BP神經網絡的擬合效果最差,原因是其對樣本有依賴性,逼近能力與訓練樣本的典型性密切相關,樣本數量越多,擬合效果越好.SVM的擬合精度高,由于訓練數據通過核函數映射到高維特征空間,適于處理高維、小樣本數據.SVM-PSO的擬合度最高,達到99.96%,標準差僅為0.011 2.此外,與GA-SVM方法比較,PSO沒有交叉和變異等復雜編程問題,最優(yōu)粒子的信息可以被記憶并與其他粒子共享以更新搜索方向,因此SVM-PSO的收斂速度(t=20.681 s)遠比GASVM(t=48.792 s)快得多.

表1 不同方法的擬合結果對比Tab.1 Fitting performance of different methods

2.3 四種電場模型的泛化能力比較

通過預測樣本對上述四種模型的泛化能力進行對比,結果如圖4所示.其中BP神經網絡的誤差曲線起伏變化大,最大誤差為3.37%.SVM-PSO模型的誤差曲線平穩(wěn),最大誤差僅為0.338%,平均絕對誤差為0.084 2%.原因是BP神經網絡存在過擬合問題,因此對非訓練樣本集的預測效果很差.而SVM-PSO采用結構風險最小化原則能夠有效地防止過擬合,使模型獲得了更好的推廣性能.

3 基于混合算法的電場模型求解

首先通過顯式函數對PSO算法的全局優(yōu)化能力進行檢驗,有

其中：目標函數F1為多參數優(yōu)化問題；F2為高度多模態(tài)函數,包含較多的局部最優(yōu)點.F1和F2的理論極值均為0.

為降低偶然性,采用多次測試取平均值的方法,設置重復運行次數為40,中止的絕對誤差為10-4.求解結果分別為0.001 2和0.003 7,與理論值非常接近,表明PSO有效地避開了局部陷阱.

以電場不均勻系數f最小化作為目標,則OVS內電場分布的優(yōu)化問題可表述為

由PSO求解訓練后的電場模型,其中學習因子設定為c1=c2=2,種群數量為40,迭代次數為200,慣性權重為0.4～0.9.為驗證所提的混合算法具有一致性,對不同樣本重復計算30次,電場模型的最大預測誤差為0.093 8%,表明經訓練后的電場模型對于非訓練樣本集的輸入也能給出合理的輸出,保證了優(yōu)化的一致性.對實驗結果取平均值,確定最優(yōu)傳感結構為Zbest=[9.604,4.867,50.181]T,搜索精度達到10-3,平均耗時tbest=46.42 s.帶入有限元模型計算得到電場不均勻系數為fbest=1.0161,均勻度提高了20.80%.對比基于窮舉法得到的優(yōu)化結果[7]：f′=1.036和Z′=[10,4,50]T,顯然這一結果落入了局部陷阱.

優(yōu)化前后BGO晶體表面的電勢分布對比如圖5所示,后者晶體內的電勢分布得到明顯改善,并且計算得電壓積分誤差從0.124%降低至0.02%.

圖5 晶體表面的電勢分布Fig.5 Potential distributions on the surface of BGO crystal

對基于SVM-PSO混合算法與有限元計算結合窮舉法的電場優(yōu)化進行對比.以步長變化Δn=1為例,SVM-PSO僅需計算150組數據便可實現OVS內電場的建模與傳感結構的優(yōu)化.而窮舉法需要遍歷約束范圍內的所有可能,計算量(n=1 377)是SVM-PSO的9倍,且每一次計算均要對輸出結果進行比較.在相同的約束條件下,混合算法的尋優(yōu)精度是窮舉法的1 000倍,而計算時間節(jié)省了約89%,可見混合算法具有很高的優(yōu)化效率,而窮舉法的尋優(yōu)精度與搜索時間相互沖突、難以兼顧,因此容易陷入局部陷阱.

4 實驗驗證

4.1 實驗操作

實驗系統(tǒng)如圖6所示,由光學系統(tǒng)和傳感系統(tǒng)組成.光學系統(tǒng)的組成部分為：單橫模LD光源(VLSP-808)、起偏器、λ/4波片、擴束鏡、檢偏器和CCD光束質量分析儀；傳感系統(tǒng)包括一塊BGO晶體(尺寸為Φ10 mm×50 mm2),包裹介質為氧化鋁陶瓷(Al2O3,ε=9.8),兩塊石英晶體(尺寸為Φ10 mm×100 mm2),以及半球形開孔鋁電極.Al2O3尺寸如圖6(b)～(d)所示,其長度為50 mm.此外,實驗采用兩種尺寸的Al2O3進行對比,用窮舉法和混合算法得到相應的優(yōu)化結果.

圖6 實驗系統(tǒng)(單位：mm)Fig.6 Experimental system(unit：mm)

由于現有的實驗手段無法直接測量晶體中的電場分布,根據OVS輸出光強度I與待測電壓U之間滿足

即I與U成正比,因此使用CCD光束質量分析儀采集輸出光斑的功率密度分布,由I的分布特性驗證SVM和PSO混合算法的有效性[5-7].此外,由于空氣(ε=1.001)和SF6氣體(ε=1.006)的介電常數基本相同,空氣環(huán)境不影響實驗結果,因此實驗在空氣環(huán)境中進行.

4.2 實驗結果和分析

在室溫、測試電壓U=6 kV的條件下,利用CCD光束分析儀采集的圖像如圖7所示.其中,圖7(a)為包裹介質前出射光強分布,可見光斑集聚現象明顯.圖7(b)、7(c)為包裹不同尺寸Al2O3陶瓷后的光強分布,對比得晶體內的電場分布得到明顯改善,與圖5的仿真結果一致.

為進一步說明改善效果,通過計算圖像灰度值的標準差來定量描述光強分布的均勻程度,標準差小說明數據集的離散程度小、光強分布均勻,即電場分布均勻[5-7].標準差的計算公式為

其中：N為光強圖像矩陣中的元素總數；xi為光強圖像矩陣中第i個元素；μ為光強圖像矩陣中各元素的平均值.

利用Matlab對光強圖像進行灰度處理,并根據式(10)計算得到標準差,其中圖7的灰度值依次為30.963、21.107和19.178,電場均勻度分別提高了31.83%和38.06%.同理,提高測試電壓至U=15 kV的實驗結果如圖8所示,圖像的灰度值依次為45.772、30.795和27.709,電場均勻度分別提高了32.72%和39.46%.可見,相比于常用電場優(yōu)化算法,所提方法的電場改善效果更優(yōu).

圖7 U=6 kV時包裹Al2O3陶瓷前后出射光強分布Fig.7 Output light intensity distributions before and after enwrapping Al2O3ceramics at U=6 kV

圖8 U=15 kV時包裹Al2O3陶瓷前后出射光強分布Fig.8 Output light intensity distributions before and afterenwrapping Al2O3ceramics at U=15 kV

5 結語

提出一種OVS內電場優(yōu)化的SVM-PSO混合算法.SVM具有強大的多維非線性映射能力和小樣本數據下的泛化能力,但是穩(wěn)定性對懲罰因子和核函數十分敏感.PSO是一種全局隨機優(yōu)化算法,具有很高的尋優(yōu)效率且能有效地避開局部陷阱.因此,通過PSO優(yōu)化SVM參數以建立電場模型,再對模型求解得到最優(yōu)傳感結構,實現SVM和PSO的優(yōu)勢互補.實驗結果表明,SVM-PSO混合算法將晶體內電場的均勻度提高20.8%,訓練時間節(jié)省89%,電壓積分誤差從0.124%降低至0.02%,保證了OVS的準確級要求.通過與BP神經網絡、SVM、GA-SVM方法的對比,驗證了SVM-PSO混合算法具有更高的建模精度和更強的泛化能力.