周夢晨 姜瀚成 馬越紀(jì) 尚明峰 曹雅婷 高雨倩 蘇州大學(xué)

本文在結(jié)構(gòu)化方向下建立CDS 定價模型，在結(jié)構(gòu)化方法的框架下，違約對于公司資產(chǎn)來說是一個可觀測事件。相較于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化模型，本章對于標(biāo)的債券公司的違約邊界構(gòu)造了一個更客觀、符合中國債券市場實情的判定方法，公司價值必須低于界限值并維持一段時間才會判定違約。

在本文中，標(biāo)的債券公司的股票滿足Black-Scholes 公式，且符合幾何布朗運動，在首次到達時間模型中，通過對過程進行數(shù)值采取蒙特卡洛模擬的方式刻畫違約時間。這種方法把違約時間同公司資產(chǎn)聯(lián)系起來，更具客觀性，并能靈活地應(yīng)用于中國債券市場。本章主要介紹了在結(jié)構(gòu)化框架下對于違約時間的刻畫以及利用結(jié)構(gòu)化方法確定CDS保費率的數(shù)學(xué)模型。

一、保費率為k

考慮一份到期日為T的信用違約互換，其參考標(biāo)的是面值L，到期日的可違約零息債券，該CDS 在債務(wù)違約時刻τ賠付。CDS 的具體執(zhí)行過程是保護買方在到期日T或者違約前的規(guī)定時刻支付保費kL。

根據(jù)保護買方的貼現(xiàn)現(xiàn)金流在風(fēng)險中性定價測度下期望為0 來構(gòu)造等式移項后得到保費率k的計算公式[1]：

其中，ru為無風(fēng)險利率，與時間u相關(guān)。

二、違約時間

結(jié)構(gòu)化方法下，違約時間τ對于參考信息是可觀測事件。在明確公司資產(chǎn)與違約邊界的情況下，相較于約化方法能夠提高違約時間τ的精度。本節(jié)通過公司資產(chǎn)St及其違約邊界來刻畫違約時間τ。

（一）首次到達時間模型

考慮標(biāo)的債券為某公司發(fā)售的零息票債券，這張債券不向持有者支付息票，只在到期日向持有者支付債券面值L，設(shè)公司的資產(chǎn)過程St符合Black-Scholes 定價方程，且服從幾何布朗運動：

其中，r為資產(chǎn)流入率，q為資產(chǎn)流出率。σ為公司資產(chǎn)波動率，Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，符合正態(tài)分布。

通過求解可以得到公司資產(chǎn)的變化過程：

對于公司資產(chǎn)波動率σ，我們可以用如下公式計算[2]：

接下來，我們定義公司資產(chǎn)的違約界限過程b(t)：

其中：c 為給定的界限值，我們選擇c=0.8。下面我們定義違約時間τ，基于首次到達模型，違約發(fā)生在債券到期日前的任意時刻。因此，違約時間τ可有下面的公式進行描述：

(見圖1)

（二）到達-檢驗?zāi)Ｐ?/h3>

圖1

實際情況中，金融市場會出現(xiàn)短時的劇烈震蕩，導(dǎo)致短時數(shù)據(jù)的失真。例如：2020年的原油寶事件等。此時，公司價值會短暫低于界限，但是由于政府的政策支持等原因，這樣的情況僅持續(xù)短時間，企業(yè)在一定的流動性支持下并不會發(fā)生大規(guī)模違約。為了使違約時間的刻畫更接近實際的債券市場，我們認為：公司價值必須低于界限并維持一段時間才能判定違約。

新方法下和首次到達模型對于相同的一個資產(chǎn)變化可能會帶來不同的結(jié)果，對比圖如圖2：

圖2

連續(xù)過程的計算比較復(fù)雜，采用蒙特卡洛模擬后可以通過觀察方法。但是，對于大量和復(fù)雜數(shù)據(jù)下的機器計算，觀察并不能有效、準(zhǔn)確得出結(jié)論，不同尺度的圖片可能在視覺上會產(chǎn)生巨大變化，導(dǎo)致主觀判斷錯誤的情況。項目組采用離散化的思想給出編程的理論模型。

步驟一：選擇違約集G中時刻的最小值作為t0；

步驟二：選取k=1,2,3…直到滿足：

步驟三：步驟二中出現(xiàn)符合條件的t0，則其為在二分法下確定的最小違約時間，如果在步驟一中G已經(jīng)被刪為空集，則認為沒有發(fā)生違約，。

該方法在使用概率論知識求解時只需要按照離散化的思想，保證后續(xù)的即可。即對于違約概率應(yīng)該為上述檢驗點處違約概率的乘積，考慮到數(shù)值計算的精度，建議采用二分法或者等距選點檢驗的方法，否則數(shù)據(jù)計算誤差會成為計算的主要誤差。改進后的違約時間模擬如圖3，在資產(chǎn)模擬2 中不再選取第一次到達的時間，在資產(chǎn)模擬1 中的短時間低于界限過程也不再判定為違約情況發(fā)生。

（三）違約時間簡化模型

通過離散化時間的方式，我們可以發(fā)現(xiàn)并不是所有的違約發(fā)生的同時可以被發(fā)現(xiàn)，只有在部分條件處罰時才會吸引人們的注意力，公司會被發(fā)現(xiàn)違約?？紤]如果違約時間τ在時間段發(fā)生，那么在時刻被發(fā)現(xiàn)，那么：

此時采用蒙特卡洛模擬的方法可以預(yù)測違約時間τ。但注意：該簡化的方法不能運用在上市公司、大型知名企業(yè)的債券違約的分析上，主要是可以運用在付息的債券在付息日觸發(fā)違約的情況。當(dāng)時間段越來越稠密時結(jié)果收斂于連續(xù)假設(shè)下的違約時間，模型具備良好的穩(wěn)定性和收斂性。

三、CDS 定價

·對于一張無對手信用風(fēng)險的CDS 的購買者來說：

·在債券到期日T之前以保費率支付保費；

圖3

·當(dāng)CDS 合約到期時，合約結(jié)束。

那么，這張CDS 的定價為：

對ut進行貼現(xiàn)，考慮為一個鞅，運用公式，利用dt項為0，可得ut滿足的偏微分方程組：

這是一個一維熱傳導(dǎo)方程，可以采用Poisson 公式進行求解。在使用Poisson 公式前需要對方程組中的進行線性變換，使得模型變成標(biāo)準(zhǔn)的一維熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)方程通過傅里葉變換的方法進行求解，相關(guān)理論在姜禮尚、陳亞浙等編寫的數(shù)學(xué)物理方程講義[5]中已經(jīng)詳細論述，這里不做過多介紹。

四、結(jié)語

總之，采用微分方程方法求解含有信用風(fēng)險的金融衍生品的定價可以分為以下幾個步驟：①現(xiàn)金流分析，寫出信用衍生品的貼現(xiàn)現(xiàn)金流。②決定相關(guān)信息，對貼現(xiàn)現(xiàn)金流取條件期望作為該產(chǎn)品的價格。③對違約時間進行建模。④計算條件期望，采用概率論知識或轉(zhuǎn)化為偏微分方程進行求解。