袁偉斌，周蒸鑫，余 峰

(浙江工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

拱形蜂窩梁的開孔形狀有很多種，目前應(yīng)用最廣泛的是腹板開六邊形孔和圓孔，相對(duì)于六邊形孔，圓孔蜂窩梁的開孔在一定程度上減輕了截面開孔區(qū)域的應(yīng)力集中問題。近年來，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)曲梁和蜂窩梁進(jìn)行了大量的研究，Sapountzakis等[1]考慮了耦合擴(kuò)展、彎曲、扭轉(zhuǎn)、不均勻變形和剪切變形的影響，對(duì)曲梁進(jìn)行了廣義彎曲分析。Arici等[2]提出曲梁翼緣中線上的剪切變形是導(dǎo)致開口和閉口薄壁構(gòu)件在不均勻扭轉(zhuǎn)和截面畸變上理論差異的因素，并找到了解決該問題的方法。Tufekci等[3]分析了平面曲梁微分方程，考慮了軸向拉伸和剪切變形對(duì)曲梁穩(wěn)定的影響，建立了有限曲面梁的有限元公式。Soltani等[4]用有限元模型分析了開孔形狀分別為六邊形和八邊形的蜂窩梁的極限承載力。Daryan等[5]通過試驗(yàn)和有限元模型模擬分析了簡支蜂窩梁的側(cè)扭屈曲和腹板局部屈曲。Martin等[6]研究了正弦波孔蜂窩梁的承載力性能。郭彥林等[7]研究了兩端固支鋼拱平面外穩(wěn)定的側(cè)向支撐剛度閥值，用能量法推導(dǎo)得出鋼拱平面外穩(wěn)定的剛度閥值，并用有限元模型加以驗(yàn)證。吳曉等[8]根據(jù)彈性理論，提出了拉壓彈性模量不同對(duì)曲梁的平面應(yīng)力及位移的影響。王培軍等[9]研究了不同開孔形式和腹板剪切變形對(duì)蜂窩梁屈曲性能的影響。趙滇生等[10]對(duì)蜂窩梁的強(qiáng)度和剛度進(jìn)行了研究。袁偉斌等[11-13]從理論上研究了純彎作用下蜂窩梁的側(cè)向扭轉(zhuǎn)屈曲，并提出了不同邊界條件下的臨界荷載解析解。

2019年4月為止，拱形蜂窩梁力學(xué)性能的研究分析十分稀少，針對(duì)上述拱形蜂窩梁研究存在的問題，提出了能量法，并考慮腹板剪切變形的影響，推導(dǎo)豎向均布荷載作用下拱形蜂窩梁跨中撓度的理論計(jì)算公式，并研究腹板開孔尺寸、構(gòu)件曲率和構(gòu)件長度對(duì)撓度的影響。其次使用有限元方法，利用ABAQUS對(duì)相應(yīng)尺寸的拱形蜂窩梁進(jìn)行了幾何非線性分析，驗(yàn)證理論的準(zhǔn)確性。

1 曲梁物理模型和基本公式

拱形曲梁幾何尺寸如圖1所示，坐標(biāo)系為柱坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，x軸為柱坐標(biāo)系的極軸，z軸為柱坐標(biāo)系高度。設(shè)構(gòu)件翼緣寬度和厚度為bf和tf，腹板高度和厚度為hw和tw，α1和α2分別為拱形曲梁右端和左端的極角，H、L和R分別為拱形曲梁截面形心軸的拱高、跨長和曲率半徑，構(gòu)件兩端簡支。q為豎向均布荷載值，e為曲梁截面中性層與形心軸的偏心距，θ和ρ分別為梁上任意點(diǎn)的極角和極徑。根據(jù)卡氏第二定理，在拱頂施加單位力F，取豎直向上為正。對(duì)于一般的梁構(gòu)件，其應(yīng)變能主要由截面正應(yīng)變和切應(yīng)變分別產(chǎn)生的應(yīng)變能組成，其中截面上的薄膜力與彎矩共同作用產(chǎn)生正應(yīng)變和截面上的剪力作用產(chǎn)生切應(yīng)變。

圖1 拱形曲梁計(jì)算簡圖Fig.1 Calculation sketch of arched curved beams

構(gòu)件任意截面上的平面內(nèi)彎矩、軸力和剪力分別為

(1)

(2)

(3)

構(gòu)件正應(yīng)變能為構(gòu)件上任意點(diǎn)正應(yīng)變能密度的集合，即

(4)

將式(4)中的彈性模量E和曲梁截面面積A提出，將體積積分轉(zhuǎn)換為多重積分后，對(duì)ρ和z先積分并化簡得到正應(yīng)變能表達(dá)式為

(5)

為了更精確地計(jì)算拱形曲梁的撓度，將簡化后的剪切應(yīng)變能代入結(jié)構(gòu)的總能量式中，再用能量法推導(dǎo)其撓度表達(dá)式，可以較精確地計(jì)算拱形曲梁的撓度。假設(shè)曲梁截面上切應(yīng)力沿z軸方向均勻分布，根據(jù)切應(yīng)力互等原理，從整體中取一微弧段，微弧段切割面上切應(yīng)力大小相等，且微段兩端正應(yīng)力方向相反可以疊加計(jì)算。根據(jù)以上假設(shè)，寬度為b的曲梁微段切割面上的切應(yīng)力與截面兩端正應(yīng)力的差值抵消能保持微段的受力平衡，則其平衡方程為

(6)

式中：τ為截面上的切應(yīng)力，沿z軸方向均勻；b為曲梁微弧段寬度；A′為曲梁切割體的截面面積。因?yàn)檠芯康氖菧\曲梁，截面上不同極徑的微弧段可以用截面形心軸的微段代替，即ds≈Rdθ。根據(jù)式(1～3)換算得到簡支拱形曲梁在均布荷載作用下彎矩和軸力分別與剪力的對(duì)應(yīng)關(guān)系為

(7)

(8)

取剪力與構(gòu)件截面積的比值為截面平均切應(yīng)力，并引入截面剪切放大系數(shù)，得到簡化后的曲梁截面切應(yīng)力表達(dá)式為

τ=αsτ0

(9)

(10)

圖2 曲梁微段受力簡圖Fig.2 The stress on curved beam micro-segment

微弧段長度取截面形心軸的曲率半徑與曲梁微弧段的積，通過換算后得到曲梁截面剪切應(yīng)變能表達(dá)式為

(11)

根據(jù)卡式第二定理計(jì)算曲梁跨中撓度，將假設(shè)的拱頂作用力F和均布荷載共同作用下的截面內(nèi)力替換僅在豎向均布荷載作用下的構(gòu)件內(nèi)力，并將式(5，11)相加得到構(gòu)件的總應(yīng)變能為

(12)

(13)

設(shè)γ=α2-α1為曲梁所跨越的圓心角，先變分再分部積分得到等效剛度法計(jì)算的曲梁跨中撓度計(jì)算式為

(14)

2 拱形蜂窩梁跨中撓度的計(jì)算

圓孔拱形蜂窩梁尺寸如圖3(a)所示，采用柱坐標(biāo)系，右端和左端的極角分別為α1和α2，梁截面形心軸的拱高、跨長和曲率半徑分別為H、L和R，構(gòu)件兩端簡支。采用Timoshenko提出的等效抗彎剛度理論，將圓孔拱形蜂窩梁近似化處理，計(jì)算其等效慣性矩，以能量法推導(dǎo)的拱形曲梁跨中撓度計(jì)算公式為基礎(chǔ)，根據(jù)費(fèi)氏空腹桁架理論計(jì)算其跨中撓度的近似解。

圖3 幾何參數(shù)簡圖Fig.3 Geometrical dimensions of arched castellated beam

圓孔拱形蜂窩梁腹板開孔如圖3(b)所示，孔間距g和開孔半徑r均取1/3hw，開孔的圓心在構(gòu)件截面形心線上，其等效后的截面可看成由三部分組成的夾心梁，上翼緣和上部腹板連續(xù)的梁橋部分組成的T形截面和下翼緣與下部連續(xù)梁橋部分組成的T形截面可看作圓孔拱形蜂窩梁的“新翼緣”，腹板開洞部分截面可看成“新腹板”?！靶乱砭墶苯M成的空腹截面定義為空腹梁，其等效截面慣性矩根據(jù)I′=r0Ae計(jì)算為

Ik=rkAkek

(15)

式中：Ik為空腹梁截面的等效截面慣性矩；rk為空腹梁截面的中性層極徑值；Ak為空腹梁的截面面積；ek為空腹梁截面中性層與形心軸偏心距。定義與拱形蜂窩梁相同尺寸，腹板不開孔的梁為實(shí)腹梁，同理可以求得實(shí)腹梁的等效截面慣性矩為

Is=rsAses

(16)

式中：Is為實(shí)腹梁截面的等效截面慣性矩；rs為實(shí)腹梁截面的中性層極徑值；As為實(shí)腹梁的截面面積；es為實(shí)腹梁截面中性層與形心軸偏心距。圖3為扇形孔單元梁段，其綜合等效截面慣性矩可設(shè)為實(shí)腹梁和空腹梁沿弧長方向的均值，將g=r代入后，其綜合等效慣性矩為

(17)

同理可以求得拱形蜂窩梁綜合等效截面面積(圖4)為

(18)

圖4 腹板簡化示意圖Fig.4 Procedure of web simplify

由于圓孔拱形蜂窩梁與拱形曲梁所受荷載條件和邊界條件相同，兩者的內(nèi)力分布也相同。圓孔拱形蜂窩梁的綜合等效慣性矩和綜合等效截面面積分別代替拱形曲梁等效慣性矩和截面面積，代入式(14)，得到豎向均布荷載作用下，圓孔簡支拱形蜂窩梁的跨中撓度計(jì)算式為

(19)

3 有限元分析

對(duì)拱形蜂窩梁有限元分析中，利用殼掃掠的方法建立模型，采用殼單元進(jìn)行彈性分析，材料的屬性統(tǒng)一采用如下定義：彈性模量E=210 GPa，泊松比v=0.3，殼體材質(zhì)均勻且為各項(xiàng)同性的彈性材料。拱形蜂窩梁模型為平面外簡支，左右端截面z軸方向位移設(shè)置為零，左端截面中心x，y軸位移為零；右端截面中心y軸位移為零，且上翼緣施加豎直向下的均布面荷載。采用10 mm×10 mm的網(wǎng)格尺寸，曲率控制的最大偏離因子為0.01。拱形蜂窩梁模型截面如表1所示。表1中：翼緣寬度為bf；翼緣厚度為tf；腹板高度為hw；腹板厚度為tw；蜂窩梁形心軸的曲率半徑為R；構(gòu)件跨長為L；荷載為q。構(gòu)件模型詳見圖5。

表1 拱形蜂窩梁截面參數(shù)表Table 1 Section parameters of arched castellated beams

圖5 有限元模型圖Fig.5 Finite element models

通過截面B、C與截面A的結(jié)果對(duì)比，在構(gòu)件跨長和撓度關(guān)系圖(圖6～8)中：對(duì)于相同截面和曲率的構(gòu)件，其跨中撓度的有限元解和理論解均隨跨長呈非線性增長趨勢(shì)；對(duì)于開孔為2/3腹板高度的構(gòu)件，其理論解與有限元解比值隨跨長增大而增大，且小于1；對(duì)于腹板開孔為1/2腹板高度的構(gòu)件，其比值隨跨長增大而減小，且始終處于1.07～0.97。由圖6～8還可知：曲率小，其理論解與有限元解的比值小，準(zhǔn)確性好；當(dāng)構(gòu)件單元數(shù)較少時(shí)，開孔構(gòu)件理論解相對(duì)于有限元解偏小且誤差較大，是因?yàn)樵诮孛婧颓什蛔兊那闆r下，構(gòu)件長度越短，其跨高比越大，截面剪切變形的影響也隨之增大，筆者理論計(jì)算過程中，剪切應(yīng)變能近似化計(jì)算過程的誤差可能會(huì)在這種情況下被放大，且在計(jì)算構(gòu)件應(yīng)變能時(shí)，對(duì)構(gòu)件腹板孔洞進(jìn)行了簡化，簡化后得到的綜合等效截面慣性矩和截面面積不能完全反應(yīng)原始構(gòu)件的相應(yīng)力學(xué)性能。

圖6 拱形蜂窩梁跨長與撓度關(guān)系圖(模型A)Fig.6 Relationship between length and deflection(model A)

圖7 拱形蜂窩梁跨長與撓度關(guān)系圖(模型B)Fig.7 Relationship between length and deflection(model B)

圖8 拱形蜂窩梁跨長與撓度關(guān)系圖(模型C)Fig.8 Relationship between length and deflection(model C)

4 結(jié) 論

利用能量法求解的簡支拱形曲梁和簡支圓孔拱形蜂窩梁跨中撓度的計(jì)算公式準(zhǔn)確性較好，能夠作為簡化撓度計(jì)算或驗(yàn)證簡化計(jì)算公式的依據(jù)。蜂窩梁跨中撓度考慮剪切變形時(shí)的理論解數(shù)值較不考慮剪切變形的約大30%；腹板開孔尺寸對(duì)撓度計(jì)算公式的準(zhǔn)確度有一定影響，尤其在高跨比較大時(shí)，小開孔組的筆者理論解最大值比大開孔組大約20%；曲率對(duì)筆者理論解的影響較小且不超過4%。理論計(jì)算中的假設(shè)與實(shí)際情況存在一定的差異，因此撓度的推導(dǎo)公式存在一定的誤差，通過等效剛度法和增加剪切能量項(xiàng)的方法，利用截面剪切變形對(duì)圓孔拱形蜂窩梁跨中撓度的影響，可以有效地提高撓度推導(dǎo)公式的準(zhǔn)確性，使撓度值與有限元分析的結(jié)果比較吻合。