李雙雙

同學(xué)們，這一期我們來(lái)談一談數(shù)學(xué)文化在高考試題中的另一種呈現(xiàn)方式——體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.這樣的試題，能夠讓同學(xué)們深刻地感受到“數(shù)學(xué)處處可見(jiàn)”，這正是今年第一個(gè)國(guó)際數(shù)學(xué)節(jié)（2020 年3 月14 日）宣傳的主題：Mathematics is everywhere(數(shù)學(xué)無(wú)處不在).

一、典型試題分析

例1（2019 年全國(guó)Ⅱ卷第16 題）中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美．圖2 是一個(gè)棱數(shù)為48 的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．

圖1

圖2

◆【分析】由圖2 可知，這個(gè)半正多面體是由正方形和正三角形所圍成的多面體，由其棱數(shù)為48 可知，該半正多面體中間部分環(huán)繞其一周的正方形共有8 個(gè)（如圖3），分別為在每個(gè)正方形的上、下方各有1 個(gè)正方形或正三角形與之對(duì)應(yīng)，共有16 個(gè)面；此外，該半正多面體的上、下底面分別是1 個(gè)正方形.所以該半正多面 體一共有26 個(gè)面．

圖3

敲黑板

本題首先要理解“半正多面體”的概念——由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．具有一定的難度和新穎性．

因?yàn)樵摪胝嗝骟w的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，所以它的截面正八邊形（如圖4）是邊長(zhǎng)為1 的正方形PQRS 的內(nèi)接正八邊形，設(shè)正八邊形的邊長(zhǎng)為x，則且

圖4

例2（2019 年全國(guó)Ⅱ卷第4 題）2019 年1 月3 日“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸，我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行．L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上．設(shè)地球質(zhì)量為M1，月球質(zhì)量為M2，地月距離為R，L2點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，r滿足方程：設(shè)，由于α 的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r 的近似值為（ ）

敲黑板

本題信息量較大，其關(guān)鍵 在于對(duì)條件和結(jié)論進(jìn)行分析，確定解題方向：用來(lái)表示α；難點(diǎn)在于如何對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形．

高考鏈接

(2019 年北京理科卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足其中星等為mk的星的亮度為已知太陽(yáng)的星等是-26．7，天狼星的星等是-1．45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為( )

A. 1010.1B.10.1

C. lg10.1 D. 10-10.1

答案:A

二、解題回顧與反思

通過(guò)上面的例題，同學(xué)們是否感受到了數(shù)學(xué)的無(wú)處不在？建議大家在未來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，關(guān)注數(shù)學(xué)文化，提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1. 熱愛(ài)數(shù)學(xué)，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心

數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活和社會(huì)發(fā)展緊密關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)不僅是運(yùn)算和推理的工具，還是表達(dá)和交流的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ).數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到現(xiàn)代社會(huì)的各個(gè)方面，如航空航天、氣象學(xué)、地球科學(xué)、醫(yī)療器械……大數(shù)據(jù)時(shí)代，對(duì)網(wǎng)絡(luò)、文本、聲音、圖像等信息的數(shù)字化處理，使得數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域與應(yīng)用領(lǐng)域得到極大拓展，數(shù)學(xué)直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值，推動(dòng)生產(chǎn)力的發(fā)展.

2. 重視閱讀，全面挖掘試題的信息

以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，往往文字信息多，閱讀量大，因此，閱讀理解能力是解題的第一關(guān)！在遇到文字信息量大的試題時(shí)，同學(xué)們要耐心讀題、沉著應(yīng)戰(zhàn)，從題目所給的文本信息中，“挖掘”出全部信息.如例1 中，首先要讀懂“半正多面體”的概念，其次還要明白這一半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.

3.強(qiáng)化思維，在解題過(guò)程中提升素養(yǎng)

數(shù)學(xué)在形成人的理性思維方面起著不可替代的作用.在解決問(wèn)題過(guò)程中，同學(xué)們要善于思考，利用分析與綜合、特殊與一般等思維方法，確立解決問(wèn)題的方向.如例2 中，需要通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，確立用來(lái)表示α.建議同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，遇到問(wèn)題時(shí)要積極思考、獨(dú)立求解.只有在經(jīng)過(guò)自己深入思考后仍然無(wú)法解決問(wèn)題時(shí)，再求助于他人；不能一遇到困難就畏縮不前，而要不斷思考、勇于挑戰(zhàn)自己！

三、小試身手

2008 年北京奧運(yùn)會(huì)主體育場(chǎng)的“鳥(niǎo)巢”鋼結(jié)構(gòu)俯視圖如圖5所示，其內(nèi)、外兩圈的鋼骨架是兩個(gè)離心率相同的橢圓（如圖6所示），現(xiàn)分別由外圈的橢圓頂點(diǎn)A 和C 向內(nèi)圈的橢圓引切線AC，BD，其中C，D 為切點(diǎn)．若切線AC 與BD 的斜率之積為，則橢圓的離心率為

圖5

圖6