巢文 鄒輝文

(1.福建工程學院管理學院，福建福州350118；2.福州大學經(jīng)濟與管理學院，福建福州350108)

一、引言

隨著我國城市化進程的加快，人口和財產(chǎn)的聚集度增加，自然巨災對人類社會帶來的損失越發(fā)嚴重。自然巨災是指臺風、洪災和地震等可能造成嚴重人身傷害與財產(chǎn)損失的巨大自然災難，它的特點是發(fā)生概率小卻損失巨大，在風險管理中具有重要的研究意義。我國是自然災害多發(fā)國家，據(jù)聯(lián)合國資料顯示，20世紀全球發(fā)生的54次最嚴重的自然災難，就有8次發(fā)生在中國，其中又以地震和洪水帶來的損失最為嚴重。在巨大的經(jīng)濟損失面前，保險業(yè)承擔的理賠額卻是杯水車薪。如2008年汶川大地震的直接經(jīng)濟損失達8451億元，保險賠款僅為16.6億元，不到災民損失的0.2%①參見：王銀城，王和，李秀芳.中國財產(chǎn)保險重大災因分析報告(2012)[M].北京：中國經(jīng)濟出版社，2012：2.。這在客觀上無疑給政府造成了巨大的財政壓力，不利于財政預算穩(wěn)定，從而影響了經(jīng)濟的健康發(fā)展。為了充分發(fā)揮巨災保險在風險轉(zhuǎn)移中的作用，更好地應對巨災事件，減輕政府的財務負擔，亟需建立有效模型估計這類極端事件所造成的各項損失，這具有極其重要的意義。

針對巨災損失數(shù)據(jù)具有尖峰厚尾的特征，已有許多學者［1］-［4］使用對數(shù)正態(tài)分布、伽瑪分布和威布爾分布等尾部較厚的分布擬合巨災損失，但這些模型都表現(xiàn)出較明顯的局限性：雖能較好地擬合樣本的主體分布，但對于具有顯著厚尾性的巨災損失，其擬合效果欠佳，很難對極端風險進行預測。而隨著極值理論的發(fā)展，尾部風險擬合的準確性得到了進一步的提高。極值理論專門以極端數(shù)據(jù)為研究對象，不需要預設分布的類型，可透過樣本數(shù)據(jù)直接進行統(tǒng)計預測，可以精確地評估極端風險可能導致的結果。

目前，一些學者和研究機構［5］-［9］已經(jīng)引入極值理論中的POT模型對巨災樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計預測。在中國人民財產(chǎn)保險股份有限公司與南開大學風險管理與保險學系聯(lián)合開展的財產(chǎn)保險災因課題研究中［10］，通過POT模型對1952—2011年經(jīng)過GDP調(diào)整后的四級以上成災地震的直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)進行極值分析，并根據(jù)得到的損失擬合分布給出了任意給定值下的地震賠期，為保險公司地震巨災保費的定價提供了依據(jù)。此外，中國保險學會副會長卓志等［11］也運用POT模型對地震巨災損失分布進行擬合，并據(jù)此初步設計了由個人、保險公司、再保險公司和政府共同承擔的地震巨災風險分擔機制。2016年5月，原中國保監(jiān)會、財政部印發(fā)《建立城鄉(xiāng)居民住宅地震巨災保險制度實施方案》，這標志著我國地震巨災保險全國模式正式出臺，該方案制定的“風險共擔、分級負擔”的地震損失分擔原則即是卓志等設想的具體實踐。

然而，無論是學術界還是實務界幾乎都是直接利用POT模型對巨災損失進行估計，而忽視了模型對巨災損失預測效果的檢驗。為此，本文分別將對數(shù)正態(tài)分布和POT模型進行巨災損失進行VaR和CVaR估計。采用我國1990年到2013年間地震直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)進行實證分析。實證對比了對數(shù)正態(tài)分布和POT模型在預測地震巨災損失方面的精度和預測效果。回測檢驗結果表明，POT模型對地震巨災損失的預測效果要優(yōu)于對數(shù)正態(tài)分布，特別是在高分位數(shù)水平下，POT模型的優(yōu)勢表現(xiàn)更為突出。因此，將POT模型應用于巨災損失的估計，可以更有效地提高巨災損失估計的準確性。

二、POT模型

極值理論模型主要有兩種，一種是傳統(tǒng)的塊最大值模型（Block Maxima Method，簡記為BMM），這種模型是通過選取數(shù)據(jù)區(qū)間內(nèi)最大值或最小值建立分布模型；另一種是現(xiàn)在主流的超閾值（Peak Over Threshold，簡記為POT）模型，這種模型是對超過某一個閾值的樣本數(shù)據(jù)進行建模。BMM模型忽略了極端數(shù)據(jù)可能出現(xiàn)的扎堆現(xiàn)象，因為自然災害損失或金融損益的一些極值信息是相繼出現(xiàn)的；此外，從BMM的建模思路還可以看出，模型的估計結果依賴于子區(qū)間的長度和子區(qū)間內(nèi)的極值，當統(tǒng)計方法對分組的要求很敏感時，往往會出現(xiàn)較大的估計偏差，使得統(tǒng)計結果不可靠。針對BMM模型的這些不足，人們提出了另一種極值數(shù)據(jù)建模方法——超閾值模型（POT模型）。POT模型有效地彌補了BMM模型的不足，可以充分地利用極值數(shù)據(jù)，還具有結構簡單、計算方便以及適用范圍廣等優(yōu)勢，使POT模型成為極值理論中最多人采用的模型，在水文、保險、交通等領域都得到了廣泛應用。地震風險發(fā)生概率低，一旦發(fā)生就損失巨大，甚至會造成災難性后果，呈現(xiàn)出顯著的厚尾分布。因此，本文基于極值理論中的POT模型研究巨災造成的損失。

POT模型稱為門限峰值法，最早由Pickands[12]在極值理論的框架下引入，其基于廣義帕累托分布（GPD）對超過某一充分大閾值的所有觀測數(shù)據(jù)進行數(shù)學建模，研究分布的尾部特征。設隨機變量Xi(i=1,2,…,n)獨立同分布，總體分布為F(x)。若Xi≥u，則稱Yi=Xi-u為超出量，且Yi的分布函數(shù)為超額條件分布函數(shù)，即

根據(jù)PBdH定理［13］：在最大吸引域條件下，超賠分布函數(shù)收斂到GPD。即當閾值u充分大時，超額條件分布函數(shù)Fu(y)可用Gξ,β(y)近似：

把（2）式代入（1）式可得：

其中，ξ=ξ(u)是形狀參數(shù)，β=β(u)是尺度參數(shù)。

三、巨災損失的VaR和CVaR估計

在險價值（Value-at-Risk，簡記為VaR）和條件在險價值（Conditional Value-at-Risk，簡記為CVaR）是目前金融、保險業(yè)等最為流行的兩種風險測度指標。VaR通常指市場正常波動下某一資產(chǎn)或者資產(chǎn)組合在一定置信水平下，在未來特定一段時間內(nèi)的最大可能損失［14］。從概率的角度來看，VaR是指在一定的持有期和置信水平下，投資組合損失函數(shù)的分布函數(shù)的分位點。VaR定義的數(shù)學表達式為：

其中，L是損失函數(shù)，α∈(0 ,1)為顯著性水平，F(xiàn)L是損失函數(shù)L的分布函數(shù)。如果損失函數(shù)的分布函數(shù)連續(xù)，則。需要注意的是，由于在金融市場中，市場的變動所帶來的可能是經(jīng)濟收益，也可能是經(jīng)濟損失，但是巨災事件只會導致?lián)p失，因此，在本文VaR均是指在給定置信水平下，巨災事件所造成的可能最大損失。設X是巨災損失變量，則置信水平p下的VaR為：

VaR不僅概念簡潔明了，而且只要將預期損失額與該損失發(fā)生概率結合起來，就可直接測算出其資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的風險值，正是這些優(yōu)點，在國際上得到廣泛應用，成為國際上度量風險的主要工具。但是，VaR也有缺點：一方面，它不是一致風險度量，不具有次可加性，這導致投資組合風險很可能大于組合中各資產(chǎn)風險之和，有悖于風險分散化原理［15］；另一方面，VaR僅估計分位點處的損失，對超過分位點的損失不能給出任何信息。為了彌補以上不足，人們引進了CVaR。CVaR是在已知損失大于某個特定的VaR值的條件下該損失的數(shù)學期望，即

需指出的是，CVaR滿足一致風險度量的四大公理，是一致性的風險度量。

（一）基于對數(shù)正態(tài)分布的VaR和CVaR估計

劉鵑和李永［16］已證實在12種常見損失分布（不含GPD）中，對數(shù)正態(tài)分布對中國地震損失數(shù)據(jù)的擬合效果最好，因此，本文從常用厚尾分布中選用對數(shù)正態(tài)分布作為比較對象。當F(·)為對數(shù)正態(tài)分布時，，其中Φ(·)為標準正態(tài)分布函數(shù)。由VaR的定義可知，VaRp=F-1(p)，其數(shù)值計算可以通過R軟件運行正態(tài)分布取分位點命令實現(xiàn)。

又因為對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)為f(x)=，所以CVaR可根據(jù)（3）式如下計算：

（二）基于POT模型的VaR和CVaR估計

令n為樣本總數(shù)，Nu為超出閾值u的樣本個數(shù)，則根據(jù)歷史模擬法，可以用(n-Nu)/n作為F(u)的有效經(jīng)驗估計，可得：

根據(jù)GPD分布性質(zhì)，有：

因此，

（三）VaR和CVaR預測效果的評價標準

本文采用 Kupiec［17］提出的似然比（LR）檢驗法比較兩個模型的VaR預測效果。假設所估計VaR的置信水平為p，N為失敗次數(shù)，T為總的檢驗次數(shù)，則實際失敗頻率為。一個準確性高的VaR模型的失敗比率不應該顯著不同于α=1-p，即零假設為H0:=α，則似然比檢驗的統(tǒng)計量為：

此外，為了檢驗CVaR預測結果的準確性和有效性，本文采用Embrechts等［18］提出的D(p)評價：

D1(p)是CVaR標準的回驗方法，其缺點在于過分依賴VaR的估計值，而不能充分反映VaR值準確與否，所以這里引入D2(p)作為懲罰函數(shù)，一個良好的CVaR估計值應有較低的D(p)。

四、實證結果與分析

（一）數(shù)據(jù)選擇與處理

本文的數(shù)據(jù)來源于中國地震信息網(wǎng)和《中國統(tǒng)計年鑒》，選取1990—2013年中國地震直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)作為研究樣本，樣本量為269個。由于原始數(shù)據(jù)中各年份損失額為當年的實際經(jīng)濟損失額，為了確保各年份損失額之間具有可比性，需剔除貨幣時間價值的影響，本文采用GDP調(diào)整法對各年的地震直接經(jīng)濟損失進行調(diào)整。具體而言，以2013年的GDP作為基期進行調(diào)整，表達式為：調(diào)整后的損失額=實際損失額×。

為了檢測預測效果，我們將269個數(shù)據(jù)分成兩部分，樣本內(nèi)數(shù)據(jù)（1990年1月—2003年12月，共114個數(shù)據(jù)）和樣本外數(shù)據(jù)（2004年1月—2013年12月，共155個數(shù)據(jù)）。樣本內(nèi)數(shù)據(jù)用于估計模型參數(shù)，樣本外數(shù)據(jù)用來檢驗VaR和CVaR預測效果的準確性。

（二）厚尾性檢驗

采用POT模型擬合數(shù)據(jù)之前，需要對地震損失進行厚尾性檢驗。一般有兩種方法檢驗數(shù)據(jù)的厚尾特征：指數(shù)Q-Q圖和數(shù)值方法。指數(shù)Q-Q圖，就是以數(shù)據(jù)為橫坐標，以指數(shù)分布的分位數(shù)為縱坐標的散點圖。若觀察到指數(shù)Q-Q圖上的散點近似在某條直線附近，則說明數(shù)據(jù)服從指數(shù)分布；而如果指數(shù)Q-Q圖上的散點右端表現(xiàn)為曲線向上彎曲，則說明數(shù)據(jù)有比指數(shù)分布更厚的尾部。對地震損失數(shù)據(jù)做指數(shù)Q-Q圖，發(fā)現(xiàn)指數(shù)Q-Q圖向上凸，這表明地震損失數(shù)據(jù)的分布是厚尾的。此外，從表1損失數(shù)據(jù)的基本描述性統(tǒng)計，可以看出，峰度為29.9，大于3，也可認為具有厚尾性。

表1 地震直接經(jīng)濟損失的描述性統(tǒng)計

（三）閾值選取和效果檢驗

本文采用Hill圖法進行閾值選取，即選擇Hill圖尾部指數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域的起始點橫坐標作為閾值［19］。從圖1可以看出，閾值從378開始曲線處于向下平穩(wěn)狀態(tài)。而圖2則表明，閾值在378附近參數(shù)估計比較穩(wěn)定，因此選取378作為閾值是合適的。當閾值選定后，利用最大似然估計法估計參數(shù)，得到ξ^=0.3165，β^=342.4000。再利用參數(shù)估計結果，得到擬合分布中的診斷圖，如圖3所示，P-P圖和Q-Q圖上所有的點幾乎圍繞在一條直線上。由此可知，POT模型對我國地震損失擬合是可以接受的，模型選取的閾值是合理的。

（四）預測結果

以最大似然估計法給出的參數(shù)估計結果為基礎，預測樣本外155個數(shù)據(jù)的VaR和CVaR。如表2所示：

1.從VaR看，兩種方法估計的VaR在三個置信水平下都通過了似然比檢驗，表明對數(shù)正態(tài)分布和POT模型都能提供準確的預測結果；此外，又因為對數(shù)正態(tài)分布和POT模型的LR統(tǒng)計量的P值無顯著差異，所以無法據(jù)此分辨方法的優(yōu)劣。

2.從CVaR看，POT模型在三個置信水平下都具有最小的D(p)值，尤其在高分位數(shù)下，POT模型的擬合優(yōu)勢更為明顯，這說明，相較于常用厚尾分布，用POT模型對巨災損失進行估計會更加準確。

表2 對數(shù)正態(tài)分布和POT模型的預測效果

綜上可知，POT模型不僅在三個置信水平下均能提供準確的VaR預測結果，而且在CVaR預測方面要顯著優(yōu)于對數(shù)正態(tài)分布。

五、結論

巨災風險會造成嚴重的經(jīng)濟損失和重大的人員傷亡，給（再）保險公司和國家政策帶來沉重的壓力，對其進行管理具有重大的意義。巨災風險管理首先是風險合理量化，量化結果的準確性是下一步風險管理對策能夠合理制定的前提。本文選取1990年到2013年間我國地震損失數(shù)據(jù)為研究對象，分別采用常用厚尾分布中檢驗效果最好的對數(shù)正態(tài)分布與POT模型對樣本數(shù)據(jù)的VaR和CVaR進行估計，利用回測檢驗對兩個模型在巨災損失的估計效果進行比較分析?；販y檢驗結果表明，POT模型對巨災損失VaR預測效果要優(yōu)于常用厚尾分布。運用POT模型擬合巨災損失，提高巨災損失估計的精度，能為地震風險的測度提供更可靠的理論基礎。本文基于POT模型對地震巨災損失的VaR和CVaR估計，不僅為巨災損失估計及其管理提供行之有效的方法，還能為研究巨災衍生品的定價提供理論支撐。