范桂英,肖潤梅

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山西大同 037009）

無源性在很多領(lǐng)域中非常重要，自把無源性引入到廣義系統(tǒng)以來，已經(jīng)有很多的研究成果。文獻(xiàn)[1-2]把無源的概念引入到離散廣義系統(tǒng)，但他們并沒有考慮帶有觀測(cè)器的情形。文獻(xiàn)[3]針對(duì)廣義系統(tǒng)設(shè)計(jì)了帶有觀測(cè)器的控制器并作了無源性的探究，但當(dāng)系統(tǒng)為離散性廣義系統(tǒng)時(shí)結(jié)論是否可行還值得研究。文獻(xiàn)[4]對(duì)帶有不確定執(zhí)行飽和的時(shí)滯廣義系統(tǒng)，討論了其H∞控制，也給出了觀測(cè)器的設(shè)計(jì)，但不是針對(duì)離散廣義系統(tǒng)。把無源性引入到離散廣義系統(tǒng)，保證狀態(tài)向量含有不確定參數(shù)，給出了合理的有觀測(cè)器的控制器，最后得出了所得閉環(huán)離散系統(tǒng)魯棒無源的充分條件，方法簡(jiǎn)單且有一定的應(yīng)用價(jià)值。

1 問題描述

有不確定離散廣義系統(tǒng)

其中ΔA=MFN是不確定性參數(shù),A，B，B1，C，C1，D，D1是常數(shù)矩陣,x(k)∈Rn是狀態(tài)向量，u(k)∈Rn控制輸入,z(k)∈Rn被調(diào)輸出,w(k)∈Rn干擾輸入，F(xiàn),M,N是常數(shù)矩陣,F是未知的,M,N是已知的。

定義1如果存在一個(gè)非負(fù)定函數(shù)V(x(k))，使得無源不等式

對(duì)于任意的k≥0，及一切的輸人信號(hào)和所有容許的不確定性成立，稱系統(tǒng)(1)是無源的，當(dāng)不等式嚴(yán)格成立時(shí)，系統(tǒng)(1)稱為嚴(yán)格無源的[1]。

引理1(Schur補(bǔ)) 對(duì)給定的對(duì)稱矩陣，則以下三個(gè)條件是等價(jià)的[5]

設(shè)計(jì)帶有觀測(cè)器的控制器如下

其中，L∈Rn為控制增益,K∈Rn為觀測(cè)增益。

系統(tǒng)誤差向量為e(t)=x(t)-ξ(t),那么由(1)和(2)得閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)：

2 主要結(jié)果

對(duì)于由（1）和（2）組成的新的閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)，給出定理1和定理2主要分析其魯棒無源性，這時(shí)的狀態(tài)變量x(k) 是可測(cè)的且含有參數(shù)不確定性。

定理1如果對(duì)不確定離散廣義系統(tǒng)（3），存在可逆矩陣P1,P2和矩陣K,L使得

是成立的，其中

那么閉環(huán)系統(tǒng)(3)是魯棒無源的。

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

V(x(k),e(k))=xT(k)ETP1Ex(k)+eT(k)ETP2Ee(k)那么

V(x(k+1))-V(x(k))-zT(t)w(t)-wT(t)z(t)≤ηT(t)Ωη(t)

其中

上式對(duì)允許的不確定性，通過利用引理計(jì)算出僅當(dāng)（4）式成立即可使

V(x(k+1))-V(x(k))-zT(t)w(t)-wT(t)z(t)<0成立，從而得到閉環(huán)離散廣義系統(tǒng)(3)魯棒無源。

定理2如果有矩陣K，L以及可逆矩陣P1,P2,使不等式

是成立的，其中

那么閉環(huán)系統(tǒng)（3）是魯棒無源的，并且可以得到控制器增益、觀測(cè)器增益為

3 結(jié)論

對(duì)一類帶有不確定性的離散廣義系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了帶有觀測(cè)器的控制器，討論了其閉環(huán)系統(tǒng)魯棒無源的充分條件，為解決此類離散廣義系統(tǒng)的無源控制提供了可行的方法。