費(fèi)經(jīng)泰，程一元，查星星，王冬銀

(1.安徽建筑大學(xué)城市建設(shè)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽 合肥 238076；2.巢湖學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 巢湖 238000)

0 引言

人臉識(shí)別是計(jì)算機(jī)模式識(shí)別中的一個(gè)重要領(lǐng)域，其中人臉識(shí)別中的特征提取至今仍然是一個(gè)重要的課題.常用的方法有：基于幾何特征的方法、基于模型的方法、基于統(tǒng)計(jì)代數(shù)特征的方法.基于統(tǒng)計(jì)代數(shù)的方法通常把人臉圖像轉(zhuǎn)換成以像素值為元素的矩陣，并尋找一個(gè)最優(yōu)變換將高維人臉空間矩陣降成低維的特征空間，從而提取人臉特征進(jìn)行識(shí)別.由于易操作，實(shí)現(xiàn)簡單等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用.比如著名的特征臉法(Eigenfaces)[1]，線性判別分析法(LDA)[2]等.特征臉法使用了PCA，經(jīng)過PCA處理，從原始的人臉圖像中得到了“本征臉”.LDA也是一種有效的特征提取方法，它的目的在于尋找一個(gè)最優(yōu)判別矩陣，使得類間散度矩陣與類內(nèi)散度矩陣的比值達(dá)到最大，即Fisher準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到最大，并且在多數(shù)情形下，取得了比特征臉法更好的識(shí)別率.

但在實(shí)際應(yīng)用的過程中，LDA經(jīng)常出現(xiàn)“小樣本問題”，即樣本數(shù)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于維數(shù)m，從而導(dǎo)致類內(nèi)散度矩陣Sw為奇異陣，使得該方法失效.為了克服小樣本問題，許多學(xué)者提出了改進(jìn)方法，Belhumeur提出了Fisherfaces算法[2]，通過PCA降維，使得Sw可逆.但在對(duì)樣本數(shù)據(jù)降維的過程中，丟失了部分判別信息.Chen等提出了零空間法(NLDA)[3]，發(fā)現(xiàn)Sw的零空間內(nèi)存在大量的判別信息.但由于零空間的維數(shù)過高，從而不易計(jì)算.Yu提出了直接判別分析法(DLDA)[4]，同時(shí)對(duì)角化類內(nèi)散度矩陣Sw和類間散度矩陣Sb，并在Sb的秩空間R(Sb)中尋找判別信息.但最終得到的判別信息并不包含Sw的零空間[5].

針對(duì)傳統(tǒng)Fisherfaces算法存在的缺陷，本研究提出一種改進(jìn)的Fisherfaces算法——完全判別信息Fisherfaces算法.通過把PCA降維過程中，全局散度矩陣St內(nèi)被丟棄的特征向量加入到判別矩陣中，從而保證提取樣本信息的完整性，并與上述傳統(tǒng)算法進(jìn)行比較，其識(shí)別率有一定的提高.

1 Fisherfaces算法

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則LDA的目標(biāo)是找一個(gè)最優(yōu)判別矩陣Wopt，使得

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易證Wopt是滿足方程SbW=λSwW的解，即由Sw-1Sb的前d個(gè)最大特征值所對(duì)應(yīng)的的特征向量所組成.并且有R(Sb)≤k-1，R(Sw)≤n-k，R(St)≤n-1，其中R(·)表示矩陣的秩.故該方法最多只能得到k-1個(gè)判別特征.

Belhumeur提出的Fisherfaces算法，克服了Sw奇異問題，該算法分為兩步驟：第一步用St的列空間進(jìn)行PCA降維，使得類內(nèi)散度矩陣Sw非奇異，第二步用傳統(tǒng)的LDA方法求解.整個(gè)算法描述如下：

步驟1：PCA階段.對(duì)St作特征值分解：UTStU=Λ，其中U是非零特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成的酉矩陣，滿足UTU=I.Λ為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素為St非零特征值，取前t個(gè)最大非零特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量組成變換矩陣U1.

則最優(yōu)判別矩陣為

Wopt=U1V

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同樣該算法最多也只能獲得k-1個(gè)判別特征.

2 Fisherfaces(UD)和Fisherfaces(OD)判別矩陣

步驟1：計(jì)算

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步驟3：令

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則有

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易知Z是可逆陣，且有

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為了使判別矩陣Wopt是正交矩陣，對(duì)矩陣V作QR分解V=QR，Q為正交陣，R為上三角矩陣.則U1Q為Fisherfaces算法的OD矩陣，這里把它稱作Fisherfaces(OD)判別矩陣，并記作

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3 完全判別信息Fisherfaces算法

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圖1 CDI_Fisherfaces算法流程圖

3.2 CDI_Fisherfaces算法綜上所述，給出完全判別信息Fisherfaces算法(CDI_Fisherfaces)流程圖如圖1所示.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和討論

為了驗(yàn)證本文中算法的有效性，分別在ORL人臉庫和YALE人臉庫進(jìn)行測(cè)試，ORL人臉庫包含40個(gè)人400幅圖像，每人10幅圖像，圖像的大小為112×92.YALE人臉庫包含15個(gè)人165幅圖像，每人11幅圖像，圖像的大小為100×100.圖2和圖3分別顯示了ORL和YALE人臉庫中部分圖像.其中每人隨機(jī)選取k(k=2,3,4,…,8)幅圖像作為訓(xùn)練集，剩下的作為測(cè)試集.每次實(shí)驗(yàn)運(yùn)行30次，計(jì)算平均正確識(shí)別率.算法PCA階段中，主成分的個(gè)數(shù)t取min(n-k,R(Sw)).所有算法取最大特征數(shù)，即ORL為39，YALE為14.識(shí)別過程采用最近鄰分類器進(jìn)行分類.

圖2 ORL人臉庫部分樣例

表1 不同算法在ORL人臉庫上的識(shí)別率 %

圖3 YALE人臉庫部分樣例

表2 不同算法在YALE人臉庫上的識(shí)別率 %

從表1可以看出在ORL人臉庫上，CDI_Fisherfaces(UD)和CDI_Fisherfaces(OD)識(shí)別率分別高于Fisherfaces(UD)和Fisherfaces(OD)，說明傳統(tǒng)Fisherfaces算法在PCA階段丟棄的特征向量包含有用的判別信息.當(dāng)k的取值在3～7之間時(shí)，改進(jìn)后Fisherfaces算法(CDI_Fisherfaces(UD)、Fisherfaces(OD)和CDI_Fisherfaces(OD))比傳統(tǒng)的Fisherfaces算法(Fisherfaces(UD))取得了更高的識(shí)別率，其中CDI_Fisherfaces(OD)的識(shí)別率最高，原因在于其判別矩陣滿足正交性，并且識(shí)別率高于直接判別分析法(DLDA)，零空間法(NLDA).當(dāng)k=2時(shí)，由于訓(xùn)練樣本非常少，所以NLDA算法的識(shí)別率高，當(dāng)k=8時(shí)，由于訓(xùn)練樣本比較充足，此時(shí)DLDA算法的識(shí)別率明顯占優(yōu).

從表2可以看出在YALE人臉庫上，同樣可以看到完全判別信息的Fisherfaces算法(CDI_Fisherfaces算法)識(shí)別率要高于傳統(tǒng)的Fisherfaces算法.但當(dāng)判別矩陣滿足正交性時(shí)，其識(shí)別率并不是最高.當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)量較少時(shí)(如k=2和3)，NLDA算法的識(shí)別率較高，隨著樣本數(shù)的增加，CDI_Fisherfaces(UD)的識(shí)別率要略高于其他算法.

5 結(jié)束語

首先對(duì)傳統(tǒng)的Fisherfaces算法的判別矩陣進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)其判別矩陣具有統(tǒng)計(jì)不相關(guān)性，并針對(duì)傳統(tǒng)Fisherfaces算法的缺陷，提出了一種完全判別信息的Fisherfaces算法，同時(shí)給出了CDI_Fisherfaces(UD)判別矩陣和CDI_Fisherfaces(OD)判別矩陣，最后通過在ORL人臉庫和YALE人臉庫上實(shí)驗(yàn)，取得了較好的識(shí)別率，說明了本文中提出的算法的有效性.