趙國新　張宇　葛紅巖　劉勇　白保東

摘 要：對于表貼式永磁電機，為了獲得良好的電動勢波形，降低齒槽轉(zhuǎn)矩，電機往往會采用偏心型磁極來優(yōu)化氣隙磁密波形，使氣隙磁密波形盡量正弦分布。雖然有限元法可以對氣隙磁密進行計算、求解，但電機建模、有限元求解消耗時間較長，在工程應(yīng)用和電機的初步設(shè)計中有一定的局限性。為了研究計算偏心型磁極電機氣隙磁密波形，本文首先根據(jù)二維電磁場理論，建立永磁電機數(shù)學(xué)模型，采用解析計算方法分別計算了常規(guī)等厚度瓦片型磁極和偏心型磁極電機氣隙磁密的分布;然后將計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果進行了對比，誤差不超過4%，驗證了計算方法的正確性。最后通過對已制成的3臺樣機進行實驗并與計算結(jié)果進行對比，誤差在5%以內(nèi)，驗證了該方法的廣泛適用性。

關(guān)鍵詞：偏心磁極;氣隙磁密;解析法;等效面電流法;有限元;永磁電機

DOI：10.15938/j.emc.2020.06.004

中圖分類號：TM 351文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1007-449X（2020）06-0024-09

Prediction of flux density distribution inpermanent magnet motor with eccentric magnetic pole

ZHAO Guo-xin1， ZHANG Yu1，2， GE Hong-yan2， LIU Yong2， BAI Bao-dong1

（1. School of Electrical Engineering， Shenyang University of Technology， Shenyang 110870，China;

2.Guizhou Aerospace Linquan Motor Co.， Ltd， Guizhou 550003， China）

Abstract：Eccentric magnetic pole is often used in the surface-mount permanent magnet synchronous motor （PMSM）to optimize the air gap flux density distribution and make the electromotive force（EMF） waveform sinusoidal as much as possible in order to obtain an ideal EMF waveform and reduce the cogging torque. Although the finite element analysis（FEA） can be used to solve and calculate the air gap magnetic density， the motor modeling and finite element solution takes a long time， causing limitations in engineering and preliminary design process of the motor. In order to study the air gap magnetic-density waveform， the two-dimensional and mathematical model were used to calculate air gap magnetic field of tile magnetic pole and eccentric magnetic pole. Then the calculation results were compared with the FEA results， and the error does not exceed 4%，which verifies the correctness of the calculation method. Finally three prototypes were tested and compared with the calculated results， and the error is within 5%， which verifies the wide applicability of the method.

Keywords：eccentric magnet pole;air gap flux density;analytical method; surface current method; finite element method; permanent magnet motor

0 引 言

永磁電機的空載氣隙磁密對電機的運行特性具有重要的影響，氣隙磁密的諧波分量將會引起電機轉(zhuǎn)矩波動增加，振動增大，同時也會增加高次諧波損耗增加而引起電機溫升過高等問題，所以在電機設(shè)計之初就應(yīng)該對電機的氣隙磁密進行優(yōu)化分析，從而得到較好的氣隙磁密波形。對于表貼式永磁電機來說，最常用的方法是采用偏心型磁極使電機中各處的氣隙長度不均，從而使電機的空載氣隙磁密波形更加趨于正弦。

氣隙磁密波形的計算一般分為解析法和數(shù)值法兩種。解析法是基于麥克斯韋方程組，通過解算二維磁場中的拉普拉斯方程或者泊松方程來得到電機氣隙處的磁密分布;數(shù)值解法則是基于有限元算法，將連續(xù)的模型進行離散化再進行計算，具有很高的計算精確度，對復(fù)雜模型的適用性更強，但其計算時間長，不適合用于工程實踐以及電機初步設(shè)計中。國內(nèi)外學(xué)者為了計算永磁電機中氣隙磁密的分布做了許多研究，文獻[1]中，對3種不同充磁方式永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密波形進行了仿真分析，并得到了不同充磁方式下氣隙磁密的分布規(guī)律;文獻[2]基于保角變換提出了一種時效計算方法在頻域下對永磁電機空載情況下對電機的氣隙磁密進行了解算，并通過有限元法證明了計算方法的正確性;文獻[3]和文獻[4]基于子域模型計算方法對不同極槽配合、不同充磁方式下的表貼式永磁電機氣隙磁密進行了計算，并通過有限元分析以及實驗驗證，證明了計算方法的正確性;文獻[5]通過子域模型法對徑向以及切向氣隙磁密進行了分析計算，同時計算了表貼式永磁電機的齒槽轉(zhuǎn)矩，并將計算結(jié)果與有限元分析進行了對比，驗證了結(jié)果的正確性;文獻[6]通過拉普拉斯方程以及泊松方程計算了在平行充磁下，分塊永磁體的氣隙磁密分布，并與有限元仿真進行對比;文獻[7]提出了一種新型表貼式永磁電機結(jié)構(gòu)，并通過仿真對氣隙磁密波形進行了優(yōu)化;文獻[8]分析了表貼式永磁電機空載時的磁密分布及諧波分布，并通過有限元法對電機的空載損耗進行了分析計算;文獻[9-11]根據(jù)二維電磁場理論建立了偏心狀態(tài)下永磁無刷直流電機氣隙磁密的數(shù)學(xué)模型，計算了偏心狀態(tài)電機的磁場分布和性能變化，并通過仿真和實驗結(jié)果進行了驗證;文獻[12]通過解算拉普拉斯方程和泊松方程對偏心狀態(tài)下的磁場分布進行了計算，并分析了不同偏心距下電機的不平衡磁拉力分布。上述文獻中的解析法雖然可以得到精確的計算結(jié)果，但由于計算公式繁多復(fù)雜，且所研究模型均為等厚瓦片型磁極永磁電機，并沒有對具有偏心型磁鐵的永磁電機模型進行分析計算。而使用有限元法對偏心型磁極永磁電機進行計算時，為了得到較好的氣隙磁密波形，需要多次建模進行分析計算，耗費時間長。

為解決上述問題，根據(jù)二維電磁場計算理論建立表貼式永磁電機的等效數(shù)學(xué)模型，分別對等厚度瓦片型磁極和偏心型磁極永磁電機的氣隙磁密進行分析計算，然后通過有限元算法與驗證實驗進行對比，證明了計算方法的正確性和廣泛適用性。本文所采用的方法具有計算精度高，與電機結(jié)構(gòu)參數(shù)聯(lián)系強等特點，適用于工程實際分析以及電機優(yōu)化設(shè)計中。

1 瓦片型磁極氣隙磁密計算

對于內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式永磁電機，其磁極形狀如圖1所示。在進行分析之前，為了進行簡化計算，首先做出如下假設(shè)[13]：

1）忽略電機繞組的端部效應(yīng)，氣隙磁密沿軸向分布相同;

2）鐵磁材料磁導(dǎo)率無窮大且各向同性;

3）永磁體材料充磁均勻并且具有線性退磁曲線，如衫鈷，釹鐵硼等。

1.1 等厚度瓦片型永磁體的等效數(shù)學(xué)模型

磁介質(zhì)經(jīng)過外磁場磁化后有了磁化強度，在介質(zhì)體內(nèi)和表面形成束縛電流，對于均勻磁化的介質(zhì)，束縛體電流為零，僅產(chǎn)生束縛面電流[14-15]。對于外界而言，永磁體可以用環(huán)繞永磁體表面的一組帶電流的線圈來等效，如圖2所示。

對于具有線性退磁曲線的永磁體來說，其面電流密度為

式中Hc為永磁體的矯頑力。

首先對永磁體等效模型中的單根線圈產(chǎn)生的磁密進行分析，如圖3所示。假定氣隙中存在一個電流為i的理想線圈，線圈兩條邊的跨度角為β，等效線圈所在圓半徑為R3，A點（觀測點）距離線圈中心的角度為θ。對于內(nèi)轉(zhuǎn)子表貼式永磁電機來說，R1和R2分別為永磁體的內(nèi)徑和氣隙內(nèi)徑，R1的內(nèi)部和R2外部分別為電機的轉(zhuǎn)子和定子鐵心部分，A點相當(dāng)于氣隙處的某個點。

根據(jù)圖3，在極坐標(biāo)下求解二維磁場的拉普拉斯方程，即可得到單個線圈在半徑為R2的氣隙圓周上的產(chǎn)生的磁密分布

對于p對極的電機來說，氣隙圓周方向存在2p個單根線圈，產(chǎn)生的磁密分布為

根據(jù)式（4）求出了2p個單根線圈的空間磁密分布。對于等效永磁體模型，只需將構(gòu)成永磁體的每個線圈單獨進行計算，再求和即可得到永磁體的空間磁密分布。但由于永磁體充磁方向的不同，其等效數(shù)學(xué)模型不同，空間磁密分布也不相同。

1.2 不同充磁方式下電機的氣隙磁密

永磁體的充磁方式一般分為徑向充磁和平行充磁兩種，不同的充磁方式將會造成空間氣隙磁密分布不同，其數(shù)學(xué)模型也有區(qū)別。

徑向充磁方式的永磁體其磁力線平行于半徑方向，數(shù)學(xué)模型如圖4所示。根據(jù)圖4（a），對式（4）進行積分，即可得到徑向充磁永磁體在半徑為R2的圓上所產(chǎn)生的氣隙磁密Brad[16]為

式中：a，b，c分別為電機定子鐵心內(nèi)徑，永磁體內(nèi)徑和永磁體外徑;α為永磁體所占空間機械角度。

永磁體采用平行充磁時，其磁力線的方向總是平行于永磁體的中心線，數(shù)學(xué)模型如圖4（b）所示，可分為兩部分進行計算。其中第一部分與徑向充磁相同，但是其幅值比徑向充磁要小，其表達式為

第二部分是由圓弧上表面和下表面的等效面電流共同作用而形成的，計算公式如式（8）～式（10）所示

平行充磁時氣隙磁密為上面兩部分產(chǎn)生的氣隙磁密之和，即

2 偏心磁極電機氣隙磁密計算

根據(jù)上述式（5）～式（11）可求得等厚瓦片型磁極在平行充磁和徑向充磁兩種充磁方式下的氣隙磁密分布規(guī)律。然而對于不等厚度的偏心型磁極，永磁體的徑向厚度以及氣隙的徑向長度是關(guān)于空間角度θ（如圖3）的函數(shù)，因此需要進行進一步分析。

偏心型磁鐵如圖5所示，永磁體的內(nèi)圓是以O(shè)點為圓心，永磁體外圓是以O(shè)1為圓心，兩個圓心之間的線性距離為h。永磁體的厚度隨著空間角度γ的變化而變化，其所產(chǎn)生的磁動勢在空間上各點也各不相同。永磁體的外徑尺寸與圓心O的距離隨角度γ的變化規(guī)律

永磁體外徑隨空間角度的變化而造成了磁路中永磁體的磁勢、氣隙的長度隨空間角度的不斷變化，永磁體內(nèi)部各處的工作點也不相同。通過有限元仿真計算得到的一塊偏心型永磁體內(nèi)部磁通密度Bm隨空間角度γ的變化規(guī)律如圖6所示。因此對于偏心型永磁體來說不能像瓦片型永磁體一樣假設(shè)整塊永磁體的工作點相同，需要對每一處的工作點單獨進行計算。

永磁體的工作點是由永磁體自身的退磁曲線和外磁路特性共同決定的，如圖7所示。

永磁電機外磁路特性由氣隙磁阻和鐵磁材料磁阻共同決定。在電機中，鐵磁材料的磁阻要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于氣隙磁阻，為簡化計算，假設(shè)鐵磁材料的磁導(dǎo)率無窮大，鐵心磁阻可以忽略，整個磁路的磁阻僅由電機氣隙所決定。根據(jù)圖7，經(jīng)過計算負(fù)載線和退磁曲線的交點為永磁體的工作點，即

式中：Bw，Hw分別為工作點處的磁密和矯頑力;a為電機定子內(nèi)徑;c（γ）為永磁體外徑，可以通過式（12）計算得到。根據(jù)式（13），對永磁體工作點進計算，即可得到永磁體的虛擬矯頑力為

將式（12）、式（14）帶入到式（5）～式（11）的c和Hc中，即可分別求得徑向充磁和平行充磁下的偏心型磁極永磁電機氣隙磁密的分布。

3 定子開槽對氣隙磁密的影響

在上文的分析中計算了等厚瓦片型磁極和偏心型磁極永磁電機的氣隙磁密分布，但沒考慮到定子開槽對永磁電機氣隙磁密的影響。定子開槽會在原有的氣隙磁密上疊加一系列的齒諧波，引起氣隙磁密波形部分畸變，從而產(chǎn)生一系列的凹點。

電機氣隙中磁力線在齒和槽下的路徑如圖8（a）所示。在忽略漏磁通的情況下，當(dāng)磁力線在齒下時，磁力線將會垂直進入定子鐵心;當(dāng)磁力線處于槽口下面時，磁力線會有發(fā)生彎折，經(jīng)過齒側(cè)部進入齒中，也就是說，槽口下的磁力線其所經(jīng)歷的氣隙長度要大于處于齒下的磁力線經(jīng)過的氣隙長度。如果假設(shè)磁力線總是沿定子內(nèi)徑的法向進入定子鐵心中，那么定子鐵心的數(shù)學(xué)模型如圖8（b）所示，槽口等效成一個向上的尖峰，磁力線經(jīng)過的氣隙長度與槽下磁力線經(jīng)過的氣隙長度相同。

在進行等效時，假設(shè)A點（如圖3）為觀測點，則定子內(nèi)徑的近似變化規(guī)律為

其中θ0，θm，θ1分別為槽口起始位置的角度、槽中心線的角度和槽口末端位置的角度。

將a（θ）帶入到式（5）中即可求得在考慮定子開槽的情況下，電機的氣隙磁密分布規(guī)律。

4 有限元驗證

采用有限元算法對一臺表貼式永磁同步電機的徑向氣隙磁密進行分析，電機參數(shù)如表1所示，經(jīng)過有限元仿真得到的磁力線圖和磁密云圖如圖9所示。

由圖10（a）可知，氣隙磁密Bg的計算值與仿真值得波形很接近，其波形誤差不大。圖10（b）分別對計算氣隙磁密波形和仿真氣隙磁密波形進行了諧波分析，基波的誤差為1.3%，各次諧波的誤差不超過4%，驗證了計算結(jié)果的正確性。

5 對比實驗驗證

采用電機對拖的實驗方法對表1中所示的永磁同步電機樣機的氣隙磁密以及線反電勢進行測量，并與計算結(jié)果進行對比，實驗如圖11所示。

將一根細(xì)導(dǎo)線從電機氣隙中穿過并且緊貼在定子鐵心內(nèi)側(cè)，電機旋轉(zhuǎn)時，導(dǎo)線將會切割磁感線而產(chǎn)生感應(yīng)電壓，感應(yīng)電壓除以鐵心長度和磁場旋轉(zhuǎn)的線速度即為氣隙磁密。樣機經(jīng)實驗所測的氣隙磁密結(jié)果與解析法理論計算結(jié)果的對比如圖12（a）所示，可見實測值與誤差值相差不大。對氣隙磁密進行傅利葉分解，得到各次諧波分量幅值Bv，并進行對比如圖12（b）所示。若忽略電機漏磁，氣隙磁通全部由定子齒部進入到定子鐵心中，當(dāng)電機以角速度ω旋轉(zhuǎn)時，根據(jù)氣隙磁密各次諧波的幅值Bv可以計算出電機空載時各次諧波反電勢的波形，將諧波反電勢進行求和得到電機空載反電勢，即

式中：fv、kwv、Φv分別為v次諧波的頻率、諧波繞組系數(shù)和磁通;N為電樞繞組每相串聯(lián)匝數(shù);lef為電樞計算長度;τ為電機極距。

根據(jù)氣隙磁密分析結(jié)果算出電機的線反電勢，并和實驗值進行對比，如圖12（c）所示。由圖12（c）可知，計算結(jié)果與實測結(jié)果波形誤差不大。圖12（d）分別對計算反電勢和實測反電勢進行傅利葉分解對比，基波分量誤差為4.2%，其他各次諧波分量誤差不超過9.2%，驗證了計算方法的正確性。

為驗證計算方法的廣泛適用性，除表1中所示結(jié)構(gòu)參數(shù)電機之外，還對另外兩臺結(jié)構(gòu)參數(shù)不相同的永磁同步電機樣機進行的相同的實驗測試，電機的參數(shù)如表2所示。

將樣機A與樣機B的實測結(jié)果與計算結(jié)果進行對比，其結(jié)果如圖13所示。兩臺樣機所測得的氣隙磁密和反電勢大小與計算值相比誤差不大于5%，精度可以達到工程實際要求，證明了計算方法的廣泛適用性。

6 結(jié) 論

本文首先通過求解二維場中的拉普拉斯方程，建立永磁電機的數(shù)學(xué)模型，通過解析計算的方法分別計算了具有瓦片型/偏心型磁極的表貼式永磁電機中氣隙磁密，研究了電機定子開槽時氣隙磁密的計算方法。然后將計算結(jié)果與有限元法仿真結(jié)果和三臺不同極槽配合樣機的實際測試結(jié)果分別進行對比，其基波分量誤差不超過4.2%，各次諧波分量誤差不超過9.2%，證明了計算方法具有很高的精度和很強的適用性，便于設(shè)計人員在電機初步設(shè)計中對氣隙磁密進行優(yōu)化分析以得到更好的氣隙磁密波形。對于其他形狀永磁體，諸如磁極削角，面包型磁極等，也可以采用此數(shù)學(xué)模型根據(jù)上述計算過程進行分析計算。

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（編輯：劉素菊）

收稿日期： 2018-12-27

基金項目：國家自然科學(xué)基金（51407119）

作者簡介：趙國新（1979—），男，博士，研究方向為永磁電機理論與設(shè)計;

張 宇（1992—），男，碩士研究生，研究方向為永磁電機振動與噪聲;

葛紅巖（1989—），男，碩士，研究方向為永磁電機設(shè)計;

劉 勇（1985—），男，碩士，研究方向為永磁電機設(shè)計;

白保東（1955—），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為電氣設(shè)備電磁場分析與優(yōu)化設(shè)計。

通信作者：趙國新