吳鵬飛，單 奇，羅新河，饒 鑫，蔡正凱

(西南交通大學機械工程學院，四川成都 610031)

0 引言

電動滑臺作為主要的直線運動執(zhí)行機構之一，在精密儀器、加工制造等領域應用廣泛。其軌跡跟蹤精度決定了作業(yè)任務的完成質量，而軌跡跟蹤精度主要取決于控制器的計算精度、系統的響應時間、傳感器的測量精度、零件的制造裝配精度以及減速機背隙等[1-3]。為了提高電動滑臺的軌跡跟蹤精度，有學者做了相關研究。林劍等[4]通過測量滑臺基座的直線度，選擇較好的一側安裝主導軌，以自為基準的原則安裝副導軌，獲得了μm級的直線度，但是未對控制系統做相關研究。李偉等[5]建立機床滑臺位置模糊PID控制模型，改善了系統的響應速度和穩(wěn)定性，但對噪聲干擾等未加處理。趙帥等[6]通過改進卡爾曼濾波算法對電機速度進行處理，有效地抑制了測量噪聲，但對電機速度的控制沒有進行改善。

本文針對電動滑臺控制系統的軌跡跟蹤誤差以及測量裝置存在的噪聲，導致位置跟蹤誤差累積的問題，提出采用卡爾曼濾波算法對電動滑臺的位置進行最優(yōu)估計，并在此基礎上實現實時補償，使得電動滑臺按照期望的軌跡運動。

1 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波是Rudolf Emil Kalman提出的一種線性最小方差估計算法[7]，其主要思路是：以最小均方誤差為最佳估計原則，認為系統和觀測都存在噪聲干擾，且屬于高斯白噪聲，建立系統的狀態(tài)空間模型，利用高斯混合模型進行迭代求得每個采樣時刻的最優(yōu)估計值。此迭代算法的核心思路是：利用前一時刻的最優(yōu)估計值與當前時刻的觀測值來對當前時刻的狀態(tài)變量做出最優(yōu)估計[8]。采用迭代方法的優(yōu)點是不需要大量的存儲空間，非常適合計算機處理[9]。

線性離散系統由系統狀態(tài)方程和系統測量方程表示：

系統狀態(tài)方程：

Xk=AXk-1+BUk+Wk

(1)

系統量測方程：

Zk=HXk+Vk

(2)

式中：Xk為當前時刻系統的n維狀態(tài)向量；A為系統的n×n階狀態(tài)轉移矩陣；Xk-1為上一時刻系統的n維狀態(tài)向量；B為系統控制向量的n×r階增益矩陣;Uk為當前時刻系統的r維控制向量；Wk為當前時刻系統的n維過程噪聲向量，服從高斯分布，協方差矩陣為Q;Zk為當前時刻系統的m維量測向量；H為m×n階量測矩陣；Vk為當前時刻系統的m維量測噪聲，服從高斯分布，協方差矩陣為R。

卡爾曼濾波的算法流程[10]如圖1所示。

圖1 卡爾曼濾波算法流程圖

(1)預測k時刻的狀態(tài)量，公式如下：

(3)

(2)預測k時刻的誤差協方差矩陣，公式如下：

Pk|k-1=APk-1AT+Q

(4)

式中：Pk|k-1為k時刻預測值的誤差協方差矩陣；Pk-1為k-1時刻系統狀態(tài)向量的誤差協方差矩陣；Q為過程噪聲的協方差矩陣。

(3)計算k時刻的卡爾曼增益，公式如下：

Kk=Pk|k-1HT(HPk|k-1HT+R)-1

(5)

式中：Kk為k時刻的卡爾曼增益；R為量測噪聲的協方差矩陣。

(4)更新k時刻的系統狀態(tài)量，公式如下：

(6)

(5)更新k時刻的系統誤差協方差矩陣，公式如下：

Pk=(I-KkH)Pk|k-1

(7)

式中I為n階單位矩陣。

2 電動滑臺位置實時補償

在實際作業(yè)中，要求電動滑臺根據工件位置移動一定的距離，為了使滑臺在盡可能短的時間內穩(wěn)定而準確地移動到目標位置，需要對其運動控制律進行設計。由于傳感器測量誤差以及外界環(huán)境的干擾，難以得到滑臺每一時刻的真實位置，為此建立系統的狀態(tài)空間模型，使用卡爾曼濾波算法對預測值以及傳感器的測量值進行處理，得到滑臺位置的最優(yōu)估計值。并以此為基準求出到達下一時刻期望位置所需的位移量，實現對當前時刻位置誤差的補償。使得滑臺的真實位置更加逼近期望位置，從而提高滑臺的軌跡跟蹤精度。

2.1 電動滑臺的運動曲線

圖2 電動滑臺的速度曲線

其數學模型為

(8)

通過速度v對時間t的積分可得電動滑臺位移x的數學模型為

(9)

電動滑臺的位移曲線如圖3所示。

圖3 電動滑臺的位移曲線

當距離給定時，為了得到滑臺相對應的位移曲線，需要確定3個時間段的具體數值，設它們之間的關系為

t1=t3-t2=kT

(10)

式中：T為運動周期，即t3=T；k值由式(11)確定。

王平生提出，“鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略的核心是解決我國農業(yè)農村農民目前的不發(fā)達、不興旺、不富裕、不協調、不環(huán)保的‘三農’問題，達到生產、生活、生態(tài)的‘三生’融合、協調發(fā)展，真正實現農業(yè)發(fā)展、農村變樣、農民受惠，最終建成小康社會的美麗鄉(xiāng)村。”鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略要堅持農業(yè)農村優(yōu)先發(fā)展，加快推進農業(yè)農村現代化。其重點是深化農村土地制度改革，深化農村集體產權制度改革，完善農業(yè)支持保護制度，發(fā)展多種形式適度規(guī)模經營，培育新型農業(yè)經營主體。

(11)

式中：m為負常數；k0為k的初始值。

設電動滑臺運動的總位移量為X，則X與T之間的關系滿足式(12)。

(12)

綜上所述，當總位移確定時，式(9)中的時間參數t1、t2和t3的值便可通過式(10)～式(12)確定，得到電動滑臺具體的位移曲線。整個算法流程圖如圖4所示。

圖4 電動滑臺運動規(guī)律流程圖

2.2 建立狀態(tài)方程

設電動滑臺的位移為x，速度為v，令

(13)

式中X(t)為狀態(tài)變量。

設S為滾珠絲杠的導程，可知滾珠絲杠轉角與電動滑臺位移的傳動關系為

(14)

則系統的狀態(tài)方程為

(15)

量測方程為

Z(t)=HX(t)+V(t)

(16)

轉移矩陣F、控制矩陣G和量測矩陣H分別為

設定采樣周期為Δt，對連續(xù)系統的狀態(tài)方程和量測方程進行離散化處理，得：

(17)

可以通過式(3)～式(7)迭代得到每一時刻電動滑臺位移的最優(yōu)估計值。

2.3 位置補償系統設計

為了減少系統的累積誤差，計算當前時刻位置的最優(yōu)估計值與下一時刻位置的期望值的差值，并將其作為下一時刻運動控制的位移增量，以補償每一時刻的位置誤差。設計的補償系統框圖如圖5所示。

圖5 基于卡爾曼濾波的位置補償控制系統

控制系統工作流程如下：

(1)卡爾曼濾波器將得到的位置編碼器數據轉換為電機角度值θ；

(3)計算k時刻位置的真實值與k+1時刻位置的期望值差值Δx，并將其作為相鄰兩時刻的位移增量，以此補償k時刻的位移誤差；

(4)根據電動滑臺機械結構之間的傳動關系確定與位移增量Δx相對應的電機轉角增量Δθ，再結合電機的分辨率得到控制器需要發(fā)送的脈沖數量。

(5)驅動器按照接收到的脈沖數量和頻率驅動電機轉動。

3 實驗結果與分析

本實驗的主控制板采用S5P4418嵌入式開發(fā)板，電機驅動采用HB808C驅動器，電機采用帶編碼器的42步進電機，電動滑臺導程為1 mm。設定采樣周期為1 ms，最大速度Vmax=10 mm/s，位移量為130 mm。

3.1 基于卡爾曼濾波但無位置補償的電動滑臺運動控制實驗

將運動軌跡的期望值、測量值以及卡爾曼濾波器處理后的最優(yōu)估計值繪制在一幅圖中，實驗結果如圖6、圖7所示。

圖6 基于卡爾曼濾波但無位置補償時電動滑臺的位移曲線

圖7 M區(qū)域放大圖

由圖7可以看出，卡爾曼濾波算法可以有效抑制噪聲干擾。根據數據結果顯示：經21步迭代后位置數據的誤差數量級降到了10-4，經過113步迭代后位置數據的誤差數量級降到了10-5，說明經卡爾曼濾波算法處理后的數據能夠快速收斂并且十分接近于真實值。但從圖6中可以看出最優(yōu)估計值與期望值之間的偏差越來越大，數據顯示在最終時刻位置的誤差為3.37 mm，其主要原因在于系統沒有進行位置補償從而造成位置誤差不斷累積，使得電動滑臺的軌跡跟蹤精度不理想。

3.2 基于卡爾曼濾波且有位置補償的電動滑臺運動控制實驗

在3.1小節(jié)的基礎上給控制系統增加位置補償功能之后，實驗結果如圖8、圖9所示。

圖8 基于卡爾曼濾波且有位置補償時電動滑臺的位移曲線

圖9 N區(qū)域放大圖

滑臺位置的測量值和最優(yōu)估計值都更加接近期望值，數據結果顯示期望值與最優(yōu)估計值之差一直穩(wěn)定在0.1 mm左右，系統的軌跡跟蹤精度得到顯著提高。

4 結束語

本文首先介紹了卡爾曼濾波的原理和算法流程；然后根據期望位移量設計電動滑臺的運動控制律，此運動控制律能使電動滑臺以零速度以及零加速度狀態(tài)到達目標位置；最后使用卡爾曼濾波算法得到系統狀態(tài)的最優(yōu)估計值，并將其作為控制系統的反饋值以代替?zhèn)鞲衅鳒y量值用于電動滑臺的位置補償。實驗結果表明，卡爾曼濾波算法得到的電動滑臺位置最優(yōu)估計值能夠快速逼近其真實值，有效地抑制了噪聲干擾；基于最優(yōu)估計值進行位置補償后，電動滑臺的位置控制精度得到明顯改善。