趙亞運(yùn)，李方犁

(廣東理工學(xué)院，廣東 肇慶 526100)

1 引言

求均勻帶電體電場(chǎng)強(qiáng)度的分布是大學(xué)物理中靜電場(chǎng)的重要部分，通常用直接積分或高斯定理的方法來(lái)解答。求均勻帶電圓盤中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度是大學(xué)物理中特別經(jīng)典的例題，對(duì)其熟練的掌握和理解不僅是物理思維的體現(xiàn)也是高數(shù)計(jì)算能力的展示，近些年對(duì)其相關(guān)的研究已有多種方法和文獻(xiàn)[1-4]。在大學(xué)物理教材中，不同思路處理題目往往有不同解法，但很多時(shí)候由于計(jì)算復(fù)雜等問(wèn)題限制了學(xué)生思維的發(fā)散能力，并固化教師教學(xué)講題視角。而Mathematic 作為一款功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件，在計(jì)算、畫圖和語(yǔ)言編程等方面都有很好的應(yīng)用，是目前使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一。其簡(jiǎn)單方便和易操作性，在大學(xué)物理的教學(xué)研究中有非常好的應(yīng)用前景[5-8]，可有效避免大學(xué)物理中思維的局限性；特別是在圖形繪制如畫波函數(shù)、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)圖形和干涉衍射圖樣以及積分計(jì)算方面和大學(xué)物理有很高的契合度，可以有效地處理物理中的問(wèn)題，降低學(xué)生物理學(xué)習(xí)的門檻。因此，在均勻帶電圓盤和正方形線框中心軸線上電場(chǎng)求解的基礎(chǔ)上，本文結(jié)合Mathematic 軟件的繪圖和積分計(jì)算能力，用三種思路方法求解面密度為σ，邊長(zhǎng)為2d的均勻帶電正方形平面中心軸線上距離為a處P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。

2 計(jì)算均勻帶電正方形平面中心軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度的三種方法

2.1 點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度矢量疊加法

第一種方法，將均勻帶電正方形看作是無(wú)數(shù)連續(xù)點(diǎn)電荷組成，因此中心軸線上P 點(diǎn)的電場(chǎng)即為這些點(diǎn)電荷在P 點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。首先建立一個(gè)三維空間的直角坐標(biāo)系，讓正方形位于XOY 平面如圖1 所示，則中心軸線沿Z 軸方向。在X 軸、Y 軸上取微元dx、dy，將Q 處dx與dy所圍微元面ds看作點(diǎn)電荷dq，則

圖1 XOY 平面

令PQ=r，則dq在P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度

根據(jù)正方形平面關(guān)于X 軸和Y 軸對(duì)稱性可知平面在P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度沿Z 軸方向，則EP為每個(gè)點(diǎn)電荷在P 點(diǎn)沿Z 軸方向分量的矢量和如圖2。若∠OPQ=θ，則P 點(diǎn)的電場(chǎng)dEP=4·dE·cosθ。因?yàn)?，則

圖2 每個(gè)點(diǎn)電荷Q 在P 點(diǎn)沿Z軸方向分量的矢量和

利用Mathematic 軟件對(duì)積分部分計(jì)算，輸入：Integrate[(x^2+y^2+a^2)^(-3/2),{x,0,d},{y,0,d}]，考慮到d大于零，輸出如圖3：，則

圖3 Mathematica 程序

即為均勻帶電正方形平面在中心軸線距離為a處P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，方向沿Z 軸方向。

2.2 均勻帶電直線電場(chǎng)強(qiáng)度矢量疊加法

第二種方法，將均勻帶電正方形平面看作是無(wú)數(shù)連續(xù)帶電直導(dǎo)線組成，因此中心軸線上P 點(diǎn)的電場(chǎng)即為這些連續(xù)均勻帶電直導(dǎo)線在P 點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。如圖4，將正方形平面置于三維直角平面坐標(biāo)系中，在X 軸上x 處的C 點(diǎn)取寬為dx，長(zhǎng)為AB（與Y 軸平行，大小為2d）的矩形微元面ds（ds=2d·dx），將其看為一均勻帶電直導(dǎo)線，則AB 的線密度λ=σds·2d=σ·dx。根據(jù)對(duì)稱性可知，P 點(diǎn)位于AB 中垂線上，則P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度是無(wú)數(shù)連續(xù)與Y 軸平行的均勻帶電直導(dǎo)線在中垂線上P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度在Z 軸上分量的矢量和。根據(jù)大學(xué)物理教材中均勻帶電直導(dǎo)線外某點(diǎn)的通用公式：

圖4 三維直角平面坐標(biāo)系

令PC=r則AB 在P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：

故正方形平面在P 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)：

利用Mathematic 軟件計(jì)算積分部分結(jié)果如圖5，則，沿Z 軸方向。

圖5 Mathematica 程序

2.3 均勻帶電線框電場(chǎng)強(qiáng)度矢量疊加法

第三種方法，將均勻帶電正方形平面看作是連續(xù)帶電正方形線框組成，因此中心軸線上P 點(diǎn)的電場(chǎng)即為連續(xù)均勻帶電正方形線框在P 點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量和。首先要計(jì)算一個(gè)電量為q，邊長(zhǎng)2c的均勻帶電正方形線框在中心軸線距離為n的P 點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度，如圖6 根據(jù)對(duì)稱性可知線框在P 點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度是每條邊在P 點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)于Z 軸方向分量的矢量和。結(jié)合均勻帶電直導(dǎo)線外某點(diǎn)的通用公式計(jì)算可得：

圖6 示意圖

沿Z 軸方向。利用和均勻帶電圓環(huán)軸線電場(chǎng)到圓盤軸線電場(chǎng)求解相同方法，則均勻帶電正方形平面在P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大?。?/p>

利用Mathematic 軟件計(jì)算積分部分結(jié)果如圖7,令a＞0 化簡(jiǎn)得：

圖7 Mathematica 程序

Mathematic 軟件可以通過(guò)輸入指令方便快捷的得到函數(shù)曲線圖以及三維曲面圖等，但本文主要用到的是其自帶的圖形繪圖功能繪制了一些簡(jiǎn)單圖形，如圖1、2、4 和6；另外是對(duì)其積分和雙重積分計(jì)算功能的應(yīng)用，如圖3、5 和7。

3 計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證

三種方法都算出邊長(zhǎng)為2d的均勻帶電正方形平面在中心軸線距離a處P 點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為：。當(dāng)a→+∞時(shí)，EP=0，此時(shí)正方形平面可視為點(diǎn)電荷，在無(wú)窮遠(yuǎn)處電場(chǎng)強(qiáng)度為0，與理論相符合；當(dāng)d→+∞時(shí)，，此時(shí)正方形平面為無(wú)限大均勻帶電平面，電場(chǎng)分布與理論值相一致。

4 結(jié)論

本文通過(guò)Mathematic 軟件的繪圖和計(jì)算功能，用點(diǎn)、直線和線框三種思路求解出均勻帶電正方形線框中心軸線上某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度；計(jì)算結(jié)果都相同，并與理論極限條件結(jié)論相一致，可以用于豐富教材案例?；谖闹蠱athematic 軟件的使用，它不僅可以拓展大學(xué)物理中解題的思路，也可以為該軟件在大物中的應(yīng)用提供實(shí)例參考，甚至為教師教學(xué)提供新方向。