何一凡，劉晨晨，蔣青云，尹承平

（華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院，廣州510006）

引 言

古斯-漢欣（Goos-H?nchen，GH）位移是指非常窄的光束發(fā)生全反射的時候，反射點(diǎn)與入射點(diǎn)不是同一點(diǎn)，于 1947年被 GOOS和 H?NCHEN在實(shí)驗(yàn)上證實(shí)［1］。古斯-漢欣位移的機(jī)理解釋主要有兩種，它們分別是能流法［2-3］和穩(wěn)態(tài)相位法［4］。其中穩(wěn)態(tài)相位法的解釋如下：入射光是一系列具有不同波矢方向的單色平面波疊加的有限束寬的光束，當(dāng)它在界面發(fā)生全反射時，不同波矢方向的單色平面波會產(chǎn)生不同的相移，疊加之后就會引起反射光在界面的橫向位移。由于其有趣的特性，可應(yīng)用于較高精確度和靈敏度傳感，包括位置傳感、溫度傳感［5-6］和溶液濃度傳感［7］，從而體現(xiàn)了其極大的應(yīng)用價值。

GH位移自從被實(shí)驗(yàn)證實(shí)后就不斷被科學(xué)家們反復(fù)研究［8-16］。2006年，WANG等人［9］研究了 1維光子晶體中缺陷模附近的GH位移，由于光束的電磁場能量流在缺陷層中呈高度局域化并沿著缺陷層界面方向流動導(dǎo)致了缺陷模附近的GH位移得到顯著增強(qiáng)。同年，F(xiàn)AN等人［11］研究了由石墨烯覆蓋的半無限介電常數(shù)近零材料的結(jié)構(gòu)在太赫茲波段下反射光束的GH位移，研究發(fā)現(xiàn)，不同偏振態(tài)的入射光所產(chǎn)生的GH位移方向也有所不同，不僅如此，此結(jié)構(gòu)的GH位移的大小極度依賴于入射光的頻率。2017年，MA等人［12］研究了宇稱-時間（parity-time，PT）對稱的多層結(jié)構(gòu)的 GH位移，研究發(fā)現(xiàn)，在破缺點(diǎn)和相干完美吸收點(diǎn)下都能實(shí)現(xiàn)很大的GH位移，且GH位移的大小還可通過結(jié)構(gòu)層數(shù)來進(jìn)行調(diào)節(jié)。2018年，WANG等人［13］研究了在太赫茲波段下石墨烯-介電常數(shù)近零材料-石墨烯結(jié)構(gòu)的GH位移，研究發(fā)現(xiàn)，此結(jié)構(gòu)的GH位移可通過石墨烯的化學(xué)勢來進(jìn)行調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)最大的GH位移值約為入射波長的200倍。而石墨烯化學(xué)勢除了可通過柵電壓進(jìn)行調(diào)節(jié)之外，還可以通過化學(xué)摻雜進(jìn)行調(diào)節(jié)，由于此結(jié)構(gòu)的GH位移對石墨烯的化學(xué)勢很敏感，可根據(jù)GH位移來測量石墨烯的摻雜水平。上述的研究皆表明，石墨烯可對各種結(jié)構(gòu)的GH位移實(shí)現(xiàn)調(diào)控。

六方氮化硼作為天然雙曲超材料，具有原子級平整的表面。作為基底，六方氮化硼能夠保持覆蓋在其表面石墨烯的2維特性，減小因?yàn)楸砻嫫鸱斐傻妮d流子散射［17］，同時維持石墨烯的電學(xué)特性以及支持等離激元-聲子極化混合模式的傳播。另外，六方氮化硼作為各向異性材料，有著與各向同性材料完全不同的特性。本文中將研究由石墨烯覆蓋的半無限六方氮化硼的GH位移，有望得到新穎的特性。

1 理論模型與計(jì)算方法

考慮將石墨烯插入介質(zhì)1和介質(zhì)2之間，結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。其中 εj（j＝1，2）表示介質(zhì)的介電常數(shù)，θ為入射角，Dr為GH位移。在接下來的分析中，假定介質(zhì)1為空氣，其介電常數(shù)ε1＝1，介質(zhì)2為半無限的六方氮化硼，其介電常數(shù)表示為：

式中，ω為入射光的角頻率，u＝⊥或∥，分別表示垂直于光軸所在平面和平行于光軸所在的平面，ε∞和γ分別代表高頻介電常數(shù)和阻尼常數(shù)，ωLO和ωTO分別表示橫向和縱向光學(xué)聲子的共振頻率。對于垂直于光軸所在的平面有：ε∞，⊥＝4.87，ωLO，⊥＝1610cm-1，ωTO，⊥＝1370cm-1，γ⊥＝5cm-1；對于平行于光軸所在的平面有：ε∞，∥＝2.95，ωLO，∥＝830cm-1，ωTO，∥＝780cm-1，γ∥＝4cm-1。

Fig.1 Structure diagram of graphene-hexagonal boron nitride

ARTMANN利用穩(wěn)態(tài)相位法對GH位移的物理機(jī)制進(jìn)行了闡述，其所對應(yīng)的位移量的表達(dá)式如下［4］：

式中，φr表示反射相位，可以從反射系數(shù)r＝r eiφr計(jì)算出來。經(jīng)過計(jì)算，給出了吸收材料反射光束的古斯-漢欣位移［18］：

式中，Re［r（θ）］表示反射系數(shù)的實(shí)部，Im［r（θ）］代表反射系數(shù)的虛部。

結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)可以用傳輸矩陣方法進(jìn)行計(jì)算。通過單層石墨烯的電磁場可由如下的傳輸矩陣進(jìn)行連接：

對于TE波：

對于TM波：

則結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)可以表示為：

式中，Mij為矩陣M的矩陣元，ε0和μ0分別代表真空的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。對于TE波，波矢量在z方向上的分量表示為對于TM波，波矢量在z方向上的分量表示為k1z＝

σ表示為石墨烯的電導(dǎo)率，一般由帶內(nèi)躍遷和帶間躍遷兩部分組成，其表達(dá)式如下：式中，Ef為石墨烯的化學(xué)勢，τ為弛豫時間，e為元電荷的電荷量，h—為約化普朗克常量。

六方氮化硼作為單軸各向異性的非鐵磁材料，在TM模式下，其布儒斯特角對應(yīng)的表達(dá)式為［19］：

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與討論

Fig.2 The relationship between the threephysical quantity and the incident angle under different chemical potential values of graphenea—GH shif—reflection coefficien—reflection phase

在下面的計(jì)算中，考慮TM模式下反射光的GH位移。由于六方氮化硼的雙曲性質(zhì)均表現(xiàn)在中紅外頻段，將波數(shù)固定為 k＝820cm-1（波長 λ＝12.195μm）。石墨烯最大的優(yōu)點(diǎn)是其化學(xué)勢可調(diào)，首先研究石墨烯化學(xué)勢對結(jié)構(gòu)GH位移的影響，如圖2a所示，其中石墨烯的弛豫時間τ＝100fs。從圖2a中可以看到，與不含石墨烯的情況相比較（見圖2a中實(shí)線），反射光的GH位移得到明顯的增強(qiáng)（見2a中其它類型的線條）。當(dāng)石墨烯化學(xué)勢Ef＝0.3eV時，如圖2a中黑色的虛線所示，在入射角為60°左右得到一個較大的GH位移，其大小為Dr≈20λ；隨著石墨烯化學(xué)勢的持續(xù)增大，達(dá)到Ef＝0.4eV，如圖2a中黑色的點(diǎn)線所示，GH位移也繼續(xù)增大，達(dá)到最大值Dr≈100λ；當(dāng)石墨烯化學(xué)勢增加到Ef＝0.5eV時，圖2a中黑色的點(diǎn)虛線所示，GH位移由正值轉(zhuǎn)變?yōu)樨?fù)值，其大小為Dr≈-30λ；當(dāng)石墨烯化學(xué)勢增加到 Ef＝0.6eV時，圖2a中黑色的短點(diǎn)線所示，GH位移開始變小，其值大小變?yōu)镈r≈-12λ。為了更好地理解GH位移的物理機(jī)制，給出了在不同石墨烯化學(xué)勢下，反射系數(shù)和反射相位隨入射角的變化關(guān)系，如圖2b和圖2c所示。由（9）式給出六方氮化硼的布儒斯特角，經(jīng)過計(jì)算得到θTM＝59.91°。由于六方氮化硼的介電常數(shù)為復(fù)數(shù)，除此之外，結(jié)構(gòu)還嵌入了石墨烯，所以導(dǎo)致光在該結(jié)構(gòu)的反射系數(shù)取最小值時，其入射角并不完全等于θTM。從圖2b可以發(fā)現(xiàn)，反射系數(shù)模的確是在布儒斯特角附近取一個最小值。從圖2c中可以發(fā)現(xiàn)，反射相位在布儒斯特角附近急劇變化。相比于不含石墨烯的情況，加入石墨烯后，反射相位有一個π相位的突變，其中曲線斜率表示為GH位移的大小，斜率越大，則GH位移值就越大。而反射相位隨著角度的變化趨勢表示GH位移的方向，若反射相位隨入射角度變化呈現(xiàn)單調(diào)遞增，如圖2c中點(diǎn)虛線和短點(diǎn)線所示，結(jié)合（2）式可知，其GH位移則為負(fù)值；若反射相位隨入射角度變化呈現(xiàn)單調(diào)遞減，如圖2c中實(shí)線。虛線以及點(diǎn)線所示，其GH位移則為正值。

從（8）式可知，弛豫時間也對石墨烯的電導(dǎo)率也有一定的影響。所以接下來則研究了石墨烯的弛豫時間τ對此結(jié)構(gòu)GH位移的影響，如圖3a所示，其中石墨烯的化學(xué)勢Ef＝0.4eV。當(dāng)弛豫時間τ＝100ps時，如圖3a中虛線所示，在入射角為θ＝59.86°時得到最大的 GH位移 Dr≈106λ；當(dāng)弛豫時間 τ＝0.01ps時，如圖3a中實(shí)線所示，在入射角為θ＝60.6°時得到最小的GH位移Dr≈16λ。相應(yīng)地，圖3b和圖3c中分別給出了在不同石墨烯弛豫時間值下，反射系數(shù)和反射相位與入射角的關(guān)系。從圖3b發(fā)現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的布儒斯特角對石墨烯弛豫時間的變化很敏感。從圖3c發(fā)現(xiàn)，反射相位在布儒斯特角附近有一個π相位的突變，3條曲線的相位均從0轉(zhuǎn)變?yōu)?π，且都隨入射角度的變化呈現(xiàn)單調(diào)遞減的關(guān)系。由此可知：通過改變石墨烯的弛豫時間可以調(diào)節(jié)GH位移的大小，但不能改變其方向。

Fig.3 The relationship between the three physical quantities and incident angle under different relaxation time values of graphenea—GH shif—reflection coefficien—reflection phase

Fig.4 The relationship between Goos-H?nchen shift and incident angle under different number of graphene layers

以上的研究針對的是單層石墨烯。對于多層石墨烯，當(dāng)滿足條件石墨烯層數(shù)N≤6時，石墨烯之間的相互作用就會特別弱，彼此之間的相互作用可以忽略不計(jì)，其電導(dǎo)率則滿足σtotal＝Nσ的線性關(guān)系［20］。接下來研究石墨烯層數(shù)對GH位移的影響，如圖4所示。其中石墨烯的化學(xué)勢Ef＝0.1eV，弛豫時間τ＝100fs。對于石墨烯層數(shù)時N≤4，結(jié)構(gòu)的GH位移隨著層數(shù)的增加而增加，且均表現(xiàn)為正值，當(dāng)N＝4時，其GH位移得到最大值為Dr≈70λ；當(dāng)石墨烯層數(shù)N≥5時，結(jié)構(gòu)的GH位移隨著層數(shù)的增加而減小，且均表現(xiàn)為負(fù)值，當(dāng)N＝5時，其GH位移得到負(fù)最大值為Dr≈-33λ。研究表明，石墨烯的層數(shù)不僅可以改變此結(jié)構(gòu)GH位移的大小，還能改變其方向。

最后討論在六方氮化硼Ⅰ型雙曲區(qū)域內(nèi)（780cm-1～830cm-1）其它波數(shù)下的GH位移，如圖5所示。其中石墨烯的層數(shù)N＝1，弛豫時間分別為τ＝100fs。從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，在波數(shù) k＝780cm-1時，石墨烯化學(xué)勢Ef＝0.1eV，在入射角為θ＝68.78°下得到的最大GH位移為Dr≈-90λ，如圖中黑色實(shí)線所示；在波數(shù)k＝790cm-1時，石墨烯化學(xué)勢Ef＝0.1eV，在入射角為 θ＝68.06°下得到的最大 GH位移為 Dr≈-158λ，如圖中虛線所示；在波數(shù)k＝800cm-1時，石墨烯化學(xué)勢Ef＝0.1eV，在入射角為θ＝66.92°下得到的最大GH位移為Dr≈166λ，如圖中點(diǎn)線所示；在波數(shù)k＝810cm-1時，石墨烯化學(xué)勢Ef＝0.2eV，在入射角為θ＝64.85°下的得到的最大GH位移為Dr≈-450λ，如圖中點(diǎn)虛線所示。取最大GH位移下的入射角度不一樣是因?yàn)椴既逅固亟桥c六方氮化硼的介電常數(shù)有關(guān)，而六方氮化硼的介電常數(shù)由于入射頻率有關(guān)。隨著波數(shù)的增大，布儒斯特角會往低角度方向移動。從中可以看到：通過合理調(diào)節(jié)石墨烯的化學(xué)勢，在Ⅰ型雙曲區(qū)域任何一個波數(shù)下都能實(shí)現(xiàn)一個較大的GH位移。

Fig.5 The relationship between Goos-H?nchen shift and incident angle under different wavenumbers

3 結(jié) 論

本文中主要運(yùn)用了傳輸矩陣法研究了TM模式下石墨烯覆蓋半無限六方氮化硼結(jié)構(gòu)在中紅外頻段下的古斯-漢欣（GH）位移，討論了石墨烯的化學(xué)勢值、弛豫時間以及層數(shù)對此結(jié)構(gòu)的GH位移的影響。研究結(jié)果表明：石墨烯的引入可以極大地增強(qiáng)GH位移，通過合理調(diào)節(jié)石墨烯的化學(xué)勢和層數(shù)，GH位移均可實(shí)現(xiàn)從正到負(fù)的轉(zhuǎn)變；石墨烯的弛豫時間直接影響GH位移的大小。除此之外，通過合理地調(diào)節(jié)石墨烯的化學(xué)勢，此結(jié)構(gòu)在六方氮化硼的Ⅰ型雙曲區(qū)域內(nèi)（780cm-1～830cm-1）的任何一個波數(shù)下，都能任實(shí)現(xiàn)一個較大的GH位移，其中在波數(shù)k＝810cm-1時能實(shí)現(xiàn)的GH位移為Dr≈450λ。此研究結(jié)果對于設(shè)計(jì)全光開關(guān)、光學(xué)傳感器具有重要意義。