成小院

一、教學內容分析

函數(shù)與方程是中學數(shù)學的重要內容，既是初等數(shù)學的基礎，又是初等數(shù)學與高等數(shù)學的連接紐帶，在整個高中數(shù)學教學中占有非常重要的地位。

本節(jié)通過對二次函數(shù)圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的情形.它既揭示了初中一元二次方程與相應的二次函數(shù)的內在聯(lián)系，引出對函數(shù)知識的總結拓展。

本節(jié)課滲透著重要的數(shù)學思想 “特殊到一般的歸納思想”?“方程與函數(shù)”和“數(shù)形結合”的思想，因此教好本節(jié)至關重要。

二、學生學習情況分析

學生之前已經學習了函數(shù)的圖象和性質，因此從學生熟悉的二次函數(shù)圖象入手介紹函數(shù)的零點，從認知規(guī)律上講，應該是容易理解的。一元二次方程是初中的重要內容，學生應該有較好的基礎對于它根的個數(shù)以及存在性學生比較熟悉，這也為我們歸納函數(shù)的零點與方程的根聯(lián)系提供了知識基礎。但是學生對其他函數(shù)的圖象與性質認識不深（比如三次函數(shù)），對于高次方程還不熟悉，缺乏更多類型的例子，讓學生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點、函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系應該是學生學習的難點。加之函數(shù)零點的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學中應加強師生互動，盡多的給學生動手的機會，讓學生在實踐中體驗二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應的一元二次方程讓學生研討，從而直觀地歸納、總結、分析出二者的聯(lián)系。

三、設計思想

教學理念：培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，學會嚴密思考，并從中找到樂趣

教學原則：注重各個層面的學生

教學方法：啟發(fā)誘導式

四、教學目標

以二次函數(shù)的圖象與對應的一元二次方程的關系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點的關系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法;學會在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點的判定方法。讓學生在探究過程中體驗發(fā)現(xiàn)的樂趣，體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，從特殊到一般的歸納思想，培養(yǎng)學生的辨證思維以及分析問題解決問題的能力。

五、教學重點難點

重點：函數(shù)零點與方程根之間的關系;連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點的判定方法。

難點：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點的關系;探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點的方法。

六、教學程序設計

1.方程的根與函數(shù)的零點.

問題1：先來觀察幾個具體的一元二次方程的根及其相應的二次函數(shù)的圖象：如圖7-1

1方程與函數(shù)

2方程與函數(shù)

3方程與函數(shù)

[師生互動]

師：教師引導學生解方程、畫函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點坐標的關系，推廣到一般的方程和函數(shù)引出零點概念。

零點概念：對于函數(shù)y=f（x）（x∈D），把使f（x）=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）（x∈D）的零點。

師：填表格

生：經過獨立思考，填完表格

師提示：根據(jù)零點概念，提出問題，零點是點嗎？零點與函數(shù)方程的根有何關系？

生：經過觀察表格，得出第一個結論

師再問：根據(jù)概念，函數(shù)y=f（x）的零點與函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸交點有什么關系

生：經過觀察圖像與x軸交點完成解答，得出第二個結論

師：概括總結前兩個結論（請學生總結）。

1）概念：函數(shù)的零點并不是“點”，它不是以坐標的形式出現(xiàn)，而是實數(shù)。例如函數(shù)的零點為x=-1，3

2）函數(shù)零點的意義：函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標.

3）方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。

師：引導學生仔細體會上述結論。

再提出問題：如何并根據(jù)函數(shù)零點的意義求零點？

生：可以解方程而得到（代數(shù)法）;

可以利用函數(shù)的圖象找出零點.（幾何法）

第一階段設計意圖

本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結了二次函數(shù)零點情況，給學生一個清晰的解題思路。

2.零點存在性的探索

師：要求生用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖4 ?A、B兩點，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個學生上臺板書：

生：兩個學生畫出連接A、B兩點的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線l相交。

師：再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖A、B兩點，引導學生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說明連接A、B兩點的函數(shù)曲線交點必在區(qū)間?（a，b） 內。

生：觀察下面函數(shù)f（x）=0的圖象（如圖5）并回答

圖5

①區(qū)間[a，b]上______（有/無）零點;f（a）·f（b）_____0（<或>）。

②區(qū)間[b，c]上______（有/無）零點;f（b）·f（c）_____0（<或>）。

③區(qū)間[c，d]上______（有/無）零點;f（c）·f（d）_____0（<或>）。

師：教師引導學生結合函數(shù)圖象，分析函數(shù)在區(qū)間端點上的函數(shù)值的符號情況，與函數(shù)零點是否存在之間的關系。

生：根據(jù)函數(shù)零點的意義結合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點存在的條件，并進行交流、評析總結概括形成結論）

一般地，我們有：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）·f（b）<0，那么函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內有零點，即存在c?∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根。

第二階段設計意圖：

教師引導學生探索歸納總結函數(shù)零點存在定理，培養(yǎng)歸納總結能力和邏輯思維

3.例范研究

已知函數(shù)f（x）= -3x⁵-6x+1有如下對應值表：

函數(shù)y=f（x）在哪幾個區(qū)間內必有零點？為什么？

通過本例引導探索，師生互動

探求1：如果函數(shù)y=?f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）>0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內沒有零點嗎？

探求2：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）·f（b）<0時，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內有零點，但是否只一個零點？

探求3：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內有零點時一定有f（a）·f（b）<0 么？

探求4：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內有零點時一定有f（a）·f（b）<0 ？

師：總結兩個條件：

1）函數(shù)y=?f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線

2）在區(qū)間[a，b]上有f（a）·f（b）<0

一個結論：函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]內至少存在一個零點

補充：什么時候只有一個零點？

（觀察得出）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]內單調時只有一個零點

求函數(shù)的零點個數(shù).問題：

1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點個數(shù)？

2）判斷函數(shù)的單調性，由單調性你能得該函數(shù)的單調性具有什么特性？