桑婷

【摘 要】本文旨在歸納極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透點，并以圓的教學(xué)為例，結(jié)合教師的教法，得出小學(xué)教師在教學(xué)過程中對小學(xué)生極限思想滲透的廣度和深度。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);極限思想;滲透;應(yīng)用

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)明確提出課程目標(biāo)之一是使學(xué)生獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能。可見，數(shù)學(xué)思想是學(xué)生應(yīng)該要培養(yǎng)的。

1? ?極限的描述性定義

在小學(xué)階段，用孩子們聽得懂的語言，如越來越靠近、靠近到兩者之間的距離越來越小、無限接近卻又不能到達(dá)等詞句來表示極限的內(nèi)涵。

2? ?從有限到無限，從無限到極限

極限思想其實是從有限中認(rèn)識無限，從近似中認(rèn)識精確的一種數(shù)學(xué)思想。因此，在學(xué)生還無法理解極限這一抽象概念時，教師要在教學(xué)中帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識“無限”，如提出“有沒有最大的自然數(shù)”，讓學(xué)生探索“無限”。除了在“數(shù)與代數(shù)”模塊中探索無限，在幾何教學(xué)中，也有許多概念是具有無限性的，如線段的一端無限延長就成了射線，線段兩端無限延伸就成了直線，射線、直線就是具有無限性的概念。學(xué)生在對比線段與射線、直線的區(qū)別時，就會體會到無限延長的涵義，初步形成極限思想的雛形。雖然我們可以從無限中認(rèn)識極限思想，但是“無限”并不等于“極限”。無限的結(jié)果有兩種，一種是收斂;一種是發(fā)散;而收斂的無限過程才是極限思想的表現(xiàn)。所以，認(rèn)識無限知識只是讓學(xué)生積累一些感性認(rèn)識，而真正運(yùn)用極限理論是在圓的教學(xué)中。

3? ?極限思想在圓的教學(xué)中的應(yīng)用研究

3.1? 圓的認(rèn)識

3.1.1? 課堂片段

教師課前準(zhǔn)備了很多正方形紙片（19cm×19cm）分發(fā)給學(xué)生（每人三張）。

師：請同學(xué)們拿出一張正方形紙片，找到正方形的中心，然后在正方形的邊上隨便選取一些點分別與正方形中心點相連。請大家量一量這些線段的長度，它們都相等嗎？最長和最短的線段相差多少？

生操作：（將正方形對角線折，兩條對角線相交于一點，即正方形的中心……）最長線段是正方形頂點與正方形的中心的連線，量得13.4cm;最短線段是正方形一條邊的中點與正方形的中心的連線，量得是9.5cm;最長與最短線段相差3.9cm。

師：接下來，請拿出另一張正方形紙片，跟著老師折一折，剪一剪。將正方形對折，將對折后的紙折出中線，再折出四等分線。將角的頂點對齊，與它較遠(yuǎn)的四等份線進(jìn)行折疊，另一邊再折過去，接下來把角的頂點和另一條四等分線與折好圖形邊的交點相連，沿著這條線剪下圖形（正六邊形）。和剛剛一樣，你會有怎樣的結(jié)論呢？

生：線段有的相等，有的不相等。最大相差1.2cm。

師：接下來，我們來動手剪一個正八邊形。

生：線段有的相等，有的不等。最大相差0.7cm。

師：對比剛剛?cè)齻€圖形，它們的不同點在哪？

生：正多邊形的邊數(shù)越多，邊上一點和中心的連線就越接近。

師：你覺得正方形、正六邊形和正八邊形哪個更加接近圓？

生：正八邊形。

師追問：那如果正六十四邊形，你能想象出它的樣子嗎？

學(xué)生想象，然后教師用多媒體課件展示。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：正六十四邊形更接近圓。

師總結(jié)：正多邊形邊數(shù)無限增多，就接近于圓。也就是正多邊形的邊上一點與中心的連線，最大相差越來越接近0的時候，就越接近圓了。

師追問：那你能得到圓上一點與圓心的連線之間的關(guān)系嗎？

學(xué)生探究得出圓的半徑都相等，直徑都相等。

3.1.2? 教學(xué)分析

教學(xué)方法：正多邊形逼近圓。

在這個教學(xué)過程中，教師先從最簡單的正方形入手，慢慢增加正多邊形的邊數(shù)，讓學(xué)生從動態(tài)的有限變化中感受無限變化的過程。這個過程并不是單純地教授學(xué)生圓的半徑都相等，而是讓學(xué)生通過幾個熟悉的圖形，慢慢增加邊數(shù)，感悟正多邊形的邊數(shù)越多，就越接近圓這個關(guān)鍵。這里面蘊(yùn)含了極限思想，在無限增加邊數(shù)時，學(xué)生就有了極限思想的雛形，也建立了直線型圖形與曲邊圖形的聯(lián)系，為以后的圓的面積教學(xué)奠定了基礎(chǔ)。

教學(xué)出發(fā)點：圓的半徑都是相等的。

整個教學(xué)過程抓住了我國古代著作《墨經(jīng)》中寫道的：圓，一中同長也。它的意思是：圓是從中心點到周邊任何一點的距離都相等的圖形。用現(xiàn)在的定義來說就是同一平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合叫作圓。因此，這個教學(xué)設(shè)計不僅符合小學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，也是對高年級學(xué)生思維的發(fā)展以及極限思想的發(fā)展。

3.2? 圓的面積

3.2.1? 課堂片段

教師先讓學(xué)生在課前將書后的圓剪下來，然后課上組織學(xué)生自己動手操作，分別將圓平均分成16等份和32等份，再將分成的小扇形交叉拼一拼。

師：你能拼成我們以前學(xué)過的平面圖形嗎？

生：可以將圓轉(zhuǎn)化成長方形。

師追問：拼成的圖形就是長方形嗎？

生：是近似的長方形。因為它的底邊有小波浪，上下兩邊不是線段。

師：對比16等分和32等分拼成的圖形，它們有什么區(qū)別？

生：分成32等份更接近長方形。

師追問：那如果分成64等份又會拼成怎樣的圖形呢，還能繼續(xù)分下去嗎？

此時，教師用多媒體課件進(jìn)行動態(tài)的展示，把一個圓平均分成64份、128份……

師：同學(xué)們，你們看了課件上拼成的圖形，有什么感受嗎？

生：平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形。

3.2.2? 教學(xué)分析

在圓的面積推導(dǎo)過程中，最難理解的就是“平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長方形”。教師在教學(xué)時，通過16等份和32等份的圓的對比，使學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)：32等份的要更接近長方形。教師運(yùn)用多媒體課件，讓學(xué)生看到動態(tài)的拼的過程。對比16等份、32等份、64等份……拼成的圖形，學(xué)生會得出結(jié)論：平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形越接近長方形。這就完成了從曲邊圖形到直線型圖形的轉(zhuǎn)化。在多媒體展示過程中，教師僅僅展示了一小部分，但是學(xué)生卻知道還能繼續(xù)往下分。通過經(jīng)驗，學(xué)生能夠想象圓的無限分割，這就在無形之中滲透了極限思想。

3.3? 小結(jié)

在實踐方面，教師應(yīng)該了解小學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，從學(xué)生實際出發(fā)，在小學(xué)階段潛移默化地滲透無限思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，而不在于讓學(xué)生真正利用極限思想解決較難的問題。在實際教學(xué)過程中，教師要更加注重數(shù)學(xué)思想的滲透，而不在于點透。

4? 極限思想教學(xué)對學(xué)生現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想建立的啟蒙意義

在小學(xué)階段，學(xué)生學(xué)習(xí)的不僅僅是浮于表面的知識，更重要的是隱含在知識中的數(shù)學(xué)思想。只有將數(shù)學(xué)思想放在教學(xué)的出發(fā)點和落腳點上，學(xué)生才能從表面的知識中挖掘出數(shù)學(xué)思想，這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)才是真正事半功倍的。雖然課標(biāo)沒有特別指出極限思想的教學(xué)要點，但是教師要充分理解數(shù)學(xué)教材內(nèi)容，探究其中的滲透點，從無限思想出發(fā)感悟極限思想。

極限思想對小學(xué)階段學(xué)生而言是有一定理解難度的，但是它也具有很大的啟蒙意義，它是學(xué)生第一次接觸到曲邊圖形而產(chǎn)生的思想，是串聯(lián)小學(xué)、初高中和大學(xué)的紐帶。在滲透極限思想的過程中，學(xué)生發(fā)展了抽象思維能力和邏輯推理能力，為自身數(shù)學(xué)思維的良好發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。