陳 躍,黃振坤,賓紅華,陳 娟

(集美大學理學院，福建 廈門 361021)

0 引言

基于文獻[1]的工作,混沌系統(tǒng)的同步被廣泛應用到各個領域,如生態(tài)系統(tǒng)、信息處理、信息安全等領域[2-4]?；煦缦到y(tǒng)控制是一個具有挑戰(zhàn)性的課題,近幾年來學者們對其提出了很多富有成效的控制方法,比如最優(yōu)控制[5]、自適應控制[6]、有限時間控制[7]、滑?？刂芠8]等。

目前大多數研究都是考慮兩個相同或者相似連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步現象[9]?；贚yapunov穩(wěn)定性理論,文獻[10]提出了一種新的滑模方案來控制受到不確定因素和外部干擾的非線性混沌系統(tǒng)。在實際應用中,系統(tǒng)之間的耦合連接有時會斷開[11],系統(tǒng)之間的耦合可能是間歇性的,這在一定程度上可以描述為間歇性耦合。因此將研究范圍由連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)擴展到不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)是有必要的。對控制系統(tǒng)的量化研究一直受到人們的重視,并產生了很多有意義的成果[12]。一些學者發(fā)現量化作用對混沌控制系統(tǒng)的影響要比對傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)的影響大得多。然而到目前為止,這方面的研究還沒有引起足夠的重視。

從最近的研究來看,Lyapunov穩(wěn)定性理論是討論兩個不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)最常用的工具[13]。根據這個理論給一些充分條件可以實現兩個耦合混沌系統(tǒng)的同步。但是那些條件對于不連續(xù)耦合的混沌系統(tǒng)卻是無效的。文獻[14]研究了兩個不連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步問題,具有量化效應的兩個不連續(xù)耦合混沌系統(tǒng)的同步課題值得進一步探索。基于常微分的穩(wěn)定性理論和比較定理,本文建立一些新的充分條件,揭示具有量化效應控制器與系統(tǒng)同步及平均時間耦合強度的依賴性,表明在耦合強度較小的情況下也能實現系統(tǒng)的完全同步。

1 預備知識

設混沌系統(tǒng)為

(1)

其中：x(t)=(x1(t),…,xn(t))T是系統(tǒng)的狀態(tài)向量；f：Rn→Rn是連續(xù)可微的非線性向量函數。

要實現系統(tǒng)的同步,含開關周期性靜態(tài)對數量化控制器的響應系統(tǒng)為:

(2)

其中y(t)=(y1(t),…,yn(t))T是響應系統(tǒng)的狀態(tài)向量。

控制器u(t)設計為:

u(t)=q(v(t)),

(3)

v(t)=-k(t)e(t)。

(4)

其中：e(t)=y(t)-x(t)是驅動混沌系統(tǒng)與響應系統(tǒng)之間的同步誤差；u(t)=(u1(t),…,un(t))T。量化函數[15]q(·)：Rn→D是分段常值向量函數,D是Rn中的有限子集,即把Rn劃分成有限個形如{z∈Rn：q(z)=i,i∈D}的量化區(qū)域,這里采用靜態(tài)對數量化器:

(5)

其中：η=(1-ρ)/(1+ρ),wi構成q量化水平集S={±wi,wi=ρiw0,i=0,±1,…}∪{±w0}∪{0},0<ρ<1,w0>0。

在文獻[15]中,定義ηq=lim sup(#g[])/(-ln)為量化器q(·)的量化密度，其中#g[]為上式中的量化級數在區(qū)間[,1/]內的數量。量化密度ηq隨著區(qū)間[,1/]的增長呈對數形式增長。當量化級數有限時,從ηq的定義可以得到ηq=0。當ηq比較小時,量化級數也比較少,此時量化器也比較“粗糙”。因此在下面的討論中,稱ρ為量化器q(·)的量化密度。

對此類量化器,顯然有q(v)=(I+Δ)v,其中I∈Rn×n,量化同步誤差Δi∈[-η,η](i=1,2,…,n)且

(6)

選取一個開關周期性的耦合強度k(t)[16]：

(7)

其中：n=0,1,2,…；k是正常數；T是開關周期；θ(0<θ<1)是開關率。顯然,當0<θ<1時,式(3)是不連續(xù)耦合；當θ=1時,式(3)是連續(xù)耦合的。

下面給出混沌系統(tǒng)同步所用到的假設。

假設1對于函數f(x),存在一個正常數l，使得

|f(x)-f(y)|≤l|x-y|,?x,y∈Rn。

(8)

注1 條件(8)通常被稱為全局Lipschitz條件,l是Lipschitz常數。容易知道一些著名的混沌系統(tǒng)都能滿足假設1,例如Chua’s circuit[17]、Rossler-like system[18]、Genesio system[19]等。

定義1 對于混沌系統(tǒng)(1)和(2)的初始值x(0),y(0),如果下面的條件成立，

(9)

則這兩個系統(tǒng)能夠實現完全同步。

引理1(比較定理)[20]設E是R2上開集,g∈C[E,R],假設以下初值問題的解存在,且解的最大存在區(qū)間為[t0,t0+h]，

dx/dt=g(t,x),x(t0)=x0。

(10)

設u(t)∈C[(t0,t0+h),R],t∈[t0,t0+h)時,有(t,u(t))∈E,u(t0)≤x0,且

Du(t)≤g(t,u(t)),t∈[t0,t0+h)。

(11)

其中Du(t)為固定的Dini導數,則

u(t)≤x(t),t∈[t0,t0+h)。

(12)

2 主要結果

定理1 系統(tǒng)(1)和(2)在控制器(3)的作用下能夠實現同步,如果假設1成立且設計控制器耦合強度k(·)和量化信號誤差范圍Δ滿足

(13)

證明對誤差系統(tǒng)求導

f(y(t))-f(x(t))-(I+Δ)k(t)e(t)。

(14)

滿足假設1的情況下,對于任意的初值e(0)=y(0)-x(0),方程(14)有唯一全局漸進穩(wěn)定解e(t,e(0))，e(t,0)≡0是系統(tǒng)(14)的常數解。如果這個初始解是全局漸進穩(wěn)定的,那么對于每一個初始值,系統(tǒng)(1)和(2)能夠實現完全同步.

構造Lyapunov函數V(t)=eT(t)e(t)/2。兩邊求導,結合式(14)和假設1得

eT(t)l|y(t)-x(t)|-eT(t)(I+Δ)k(t)e(t)=leT(t)|e(t)|-eT(t)(I+Δ)k(t)e(t)≤

l|eT(t)e(t)|-λmin(I+Δ)k(t)|eT(t)e(t)|=-2[λmin(I+Δ)k(t)-l]V(t),

(15)

由于k(t)是間歇性的,按區(qū)間[nT,(n+θ)T)和[(n+θ)T,(n+1)T)依次分段應用引理1,有

V(t)≤Γ(t),

(16)

其中n=0,1,2,…,Γ(t)是

dΓ(t)/dt=-2[λmin(I+Δ)k(t)-l]Γ(t)

(17)

由式(17)得

(18)

顯然,t在[0,∞)上存在正整數m,使得t∈[mT,(m+1)T)。設t=mT+t1(0≤t1

(19)

根據k(t)的定義,得

(20)

由式(20),有

Γ(0)exp{-2mT[(λmin(I+Δ)k-l)θ-l(1-θ)]+2lt1}=

Γ(0)exp[-2mT(λmin(I+Δ)kθ-l)+2lt1],

(21)

注意到mT=t-t1,那么

Γ(t)≤Γ(0)exp[-2(t-t1)(λmin(I+Δ)kθ-l)+2lt1]=

Γ(0)exp[-2t(λmin(I+Δ)kθ-l)]exp(2λmin(I+Δ)kθt1)，

(22)

故

(23)

(24)

3 仿真實例

考慮R?ssler-like系統(tǒng)作為例子,它是一個三維的常微分方程組:

(25)

它的響應系統(tǒng)是:

(26)

由式(6)和方程(14)知

即u1(t)=-(1+Δ1)k(t)e1(t),u2(t)=-(1+Δ2)k(t)e2(t),u3(t)=-(1+Δ3)k(t)e3(t),

(27)

當α=0.03,β=1.5,γ=0.2,μ=1.5,λ=0.75,ξ=21.43, ?=0.075時,R?ssler-like系統(tǒng)(25)有混沌吸引子,如圖1。

顯然,當l=0.492 6時,R?ssler-like系統(tǒng)滿足Lipschiz條件。

4 結論

本文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和比較定理,分析了基于量化控制的開關周期性耦合混沌系統(tǒng)的同步動力學,給出了不含時滯下混沌系統(tǒng)同步化準則,揭示具有量化效應控制器與系統(tǒng)同步、平均時間耦合強度的依賴性,表明在耦合強度較小的情況下也能實現系統(tǒng)的完全同步,本文的結果是對現有文獻[14]結果的拓展,仿真例子驗證了結果的可行性。