王帥 眭永興 孟祥國(guó)

1) (江蘇理工學(xué)院數(shù)理學(xué)院， 常州 213001)

2) (聊城大學(xué)物理科學(xué)與信息工程學(xué)院， 聊城 252059)

(2020 年2 月4日收到; 2020 年3 月8日收到修改稿)

量子度量學(xué)主要是利用量子效應(yīng)來(lái)提高參數(shù)估計(jì)的精度， 以期突破標(biāo)準(zhǔn)量子極限， 甚至達(dá)到海森伯極限. 本文研究了一般光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為馬赫-曾德爾干涉儀的探測(cè)態(tài)時(shí)， 在何種情況下能夠提高待測(cè)相位的測(cè)量精度. 根據(jù)量子Fisher信息理論， 盡管在探測(cè)態(tài)具有相同的平均光子數(shù)這一約束條件下， 對(duì)稱的和非對(duì)稱的光子增加操作并不能提高相位的測(cè)量精度. 但若是在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下， 對(duì)稱的和非對(duì)稱的光子增加操作卻能夠增強(qiáng)相位的測(cè)量精度. 另外， 基于宇稱測(cè)量的研究結(jié)果表明， 對(duì)于對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 只有當(dāng)待測(cè)相位趨于零時(shí)， 宇稱測(cè)量才是最優(yōu)測(cè)量. 而對(duì)于非對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 宇稱測(cè)量并不是最優(yōu)測(cè)量方案.

1 引 言

相位測(cè)量是量子精密測(cè)量領(lǐng)域中的核心內(nèi)容，其測(cè)量精度主要依賴于探測(cè)態(tài)、相位的積累方式以及測(cè)量方案， 其中探測(cè)態(tài)的選擇決定了相位測(cè)量精度的最終極限. 早在20世紀(jì)80年代， Caves[1]就提出了利用壓縮真空態(tài)作為馬赫-曾德爾干涉儀(MZI)的探測(cè)態(tài)來(lái)提高相位的測(cè)量精度， 以期超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限 (SNL)， 即 Δφ=1/(是待測(cè)未知相位，是探測(cè)態(tài)的平均光子數(shù)). 隨后， 諸如粒子數(shù)態(tài)[2-5]， N00N態(tài)[6]以及糾纏相干態(tài)[7]等這些非高斯型的非經(jīng)典量子態(tài)在量子度量學(xué)中也得到了廣泛的研究. 這些非經(jīng)典態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)，測(cè)量精度不僅可以超越SNL極限， 甚至可以達(dá)到海森伯極限 (HL)[3，8].

近幾十年來(lái)， 非高斯型量子態(tài)的制備及其非經(jīng)典性質(zhì)的研究一直是量子光學(xué)領(lǐng)域中的一個(gè)熱點(diǎn)，并取得了極大進(jìn)步[9-14]. 特別是非高斯型連續(xù)變量量子態(tài)可以彌補(bǔ)高斯型量子態(tài)和高斯局域操作在量子信息處理中的不足， 不僅成為改善量子隱形傳態(tài)[15-18]、量子密鑰分發(fā)[19，20]等量子信息技術(shù)的有效載體， 而且在相位的精密測(cè)量中也逐漸引起了人們的研究興趣[21-27]. 譬如， Birrittella和Gerry[22]在2014年根據(jù)宇稱測(cè)量方案[28]研究發(fā)現(xiàn)， 相干態(tài)和光子扣除壓縮真空態(tài)的直積態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)， 在給定相干態(tài)的振幅和壓縮態(tài)的壓縮參數(shù)的情況下， 光子扣除操作這一典型的非高斯操作可以進(jìn)一步提高相位的測(cè)量精度. 類似地， 光子扣除和光子增加單模壓縮真空態(tài)注入到非線性SU(1， 1)光學(xué)干涉儀的一端， 光子增加或扣除操作同樣可以提高相位的測(cè)量精度[23，24]. 這些研究結(jié)果與Lang和Caves[29]的工作并不矛盾， 根據(jù)量子Fisher信息理論， 他們證明的是在探測(cè)態(tài)都具有相同的平均光子數(shù)這一約束條件下， 干涉儀的一端輸入相干態(tài)， 另一端最優(yōu)輸入態(tài)是壓縮真空態(tài). 而在給定相干態(tài)的振幅和壓縮態(tài)的壓縮參數(shù)的情況下， 執(zhí)行光子扣除或增加操作后量子態(tài)的平均光子數(shù)將會(huì)增加[30].因此， 干涉儀的探測(cè)態(tài)所含有的平均光子數(shù)也就增加了， 相應(yīng)的相位測(cè)量精度也得到了提高. 基于此，考慮相干態(tài)和光子增加或扣除壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 根據(jù)量子Fisher信息理論和宇稱測(cè)量方案， Wang等[26]也詳細(xì)地研究了光子增加和光子扣除這兩種非高斯操作在量子相位精密測(cè)量中的性能表現(xiàn). 結(jié)果表明， 即使在相同的平均光子數(shù)這一約束條件下， 光子扣除或增加操作在最佳相位測(cè)量值(0)時(shí)并不能提高待測(cè)相位的測(cè)量精度， 但是， 在待測(cè)相位適當(dāng)偏離最佳測(cè)量值()時(shí)， 光子增加或扣除操作仍然可以提高相位的測(cè)量精度， 這是由于這兩種非高斯操作使得測(cè)量精度隨待測(cè)相位的變化更為穩(wěn)定[26]. 最近，Zhong等[31]進(jìn)一步指出， 基于宇稱測(cè)量時(shí)， 光子扣除或增加在相位偏離最佳測(cè)量值時(shí)， 所帶來(lái)的測(cè)量精度的提高是由宇稱測(cè)量在此處并不是最優(yōu)測(cè)量所引起的.

另一方面， Anisimov等[32]在2010年發(fā)現(xiàn)雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 通過(guò)宇稱測(cè)量方案[28]， 相位測(cè)量精度可以達(dá)到HL極限. 然而，在實(shí)驗(yàn)上制備大光子數(shù)的雙模壓縮真空態(tài)是困難的. 譬如， 在實(shí)驗(yàn)上可穩(wěn)定制備的雙模壓縮真空態(tài)所含有的平均光子數(shù)大約是4個(gè)[33]， 相應(yīng)的壓縮參數(shù)為. Gerry和 Mimih[34]還發(fā)現(xiàn)， 當(dāng)雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 所得到的相位測(cè)量精度相對(duì)于待測(cè)相位本身的大小變化很不穩(wěn)定. 而且， 當(dāng)待測(cè)相位稍微偏離最佳測(cè)量值時(shí)，相位的測(cè)量精度會(huì)隨光子數(shù)的增加而迅速變差， 甚至低于SNL極限. 為了克服這些問(wèn)題， 2012年， 基于宇稱測(cè)量方案， Carranza和Gerry[21]利用對(duì)稱光子扣除雙模壓縮真空態(tài)(量子態(tài)的兩個(gè)模扣除相同的光子數(shù))來(lái)增強(qiáng)相位測(cè)量精度， 推廣到非對(duì)稱光子扣除雙模壓縮真空態(tài)的情況. 研究發(fā)現(xiàn)， 在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下， 非對(duì)稱光子扣除操作也能提高基于量子Fisher信息的量子Cramér-Rao界限(QCRB)[35]這一最終相位測(cè)量的精度極限.與對(duì)稱的光子扣除操作相比， 在給定初始的壓縮參數(shù)下， 基于量子Fisher信息和宇稱測(cè)量的研究結(jié)果表明， 對(duì)稱的光子增加操作可以更好地增強(qiáng)相位的測(cè)量精度[25]. 在實(shí)驗(yàn)上， 光子扣除操作可以由一塊高透射率的分束器來(lái)實(shí)現(xiàn)[9]. 最近， 光子扣除單模、雙模壓縮真空態(tài)在實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)成功制備出來(lái)[12-14]. 光子增加操作在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)要困難一些，它可以由非線性晶體中的非簡(jiǎn)并參量下轉(zhuǎn)換過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)[10，11]. 目前， 利用該實(shí)驗(yàn)方案， 單光子增加相干態(tài)和熱態(tài)也已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上制備出來(lái)[10，11]. 近年來(lái)， 由于光子增加或扣除雙模壓縮真空態(tài)在量子信息處理中的潛在應(yīng)用， 它們的一些非經(jīng)典性質(zhì)， 譬如糾纏特性、光子數(shù)的亞泊松分布、壓縮性質(zhì)等得到了詳細(xì)的研究[15-18]. 隨著量子態(tài)調(diào)控技術(shù)的進(jìn)步， 光子增加雙模壓縮真空態(tài)也許在不久的將來(lái)也能在實(shí)驗(yàn)上予以實(shí)現(xiàn). 因此， 從理論上研究光子增加操作在量子相位精密測(cè)量中的應(yīng)用具有一定意義. 從實(shí)驗(yàn)制備的角度來(lái)看， 相對(duì)于對(duì)稱的雙模光子增加操作， 非對(duì)稱的光子增加操作也許更容易一些， 且更具普遍意義. 因此， 本文將考慮一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)(包括對(duì)稱的和非對(duì)稱的光子增加情況)作為MZI的探測(cè)態(tài)， 研究在何種情況下， 一般的光子增加操作可以提高相位的測(cè)量精度.

本文首先簡(jiǎn)要介紹一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 隨后基于量子Fisher信息理論， 討論光子增加操作對(duì)待測(cè)相位QCRB的影響， 接著根據(jù)宇稱測(cè)量方案討論一般光子增加雙模壓縮真空態(tài)在量子相位測(cè)量中的性能表現(xiàn)， 以及分析宇稱測(cè)量能否達(dá)到相應(yīng)的QCRB， 它是否是最優(yōu)測(cè)量方案.

2 一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)

式中k和l是光子增加的個(gè)數(shù)，為歸一化常數(shù)

最近的研究表明， 除了Fock態(tài)以外的其他量子態(tài)增加n個(gè)光子后， 誘導(dǎo)產(chǎn)生的量子態(tài)所增加的平均光子數(shù)將大于n[30]. 這一看似矛盾的結(jié)果是由于光子增加是一種概率性的非高斯操作， 成功產(chǎn)生的光子增加量子態(tài)的光子數(shù)分布與原來(lái)的量子態(tài)已經(jīng)不同[30]. 在量子光學(xué)中， 光子扣除是另外一種概率性的非高斯操作. 如果初態(tài)的光子數(shù)分布是超泊松分布， 光子扣除操作執(zhí)行于該量子態(tài)后， 它的平均光子數(shù)同樣可以明顯增加. 在圖1中， 當(dāng)雙模壓縮真空態(tài)的兩個(gè)模分別增加或扣除不同的光子數(shù)()時(shí)， 給出了相應(yīng)的光子增加或扣除雙模壓縮真空態(tài)的平均光子數(shù)隨壓縮參數(shù)z的變化. 其中， 圖 1(b)是文獻(xiàn) [35]的結(jié)果. 如圖 1(a)所示， 與雙模壓縮真空態(tài)相比， 可以明顯地看出光子增加雙模壓縮真空態(tài)增加的光子數(shù)大于的值. 對(duì)比圖1(a)和圖1(b)可以看出， 在給定相同的()取值和初始?jí)嚎s參數(shù)z時(shí)， 對(duì)稱的光子增加操作能更有效地提高量子態(tài)的平均光子數(shù)， 非對(duì)稱的光子增加操作次之， 而對(duì)稱的光子扣除操作在增加量子態(tài)的平均光子數(shù)方面的效果最差. 自然地， 在壓縮參數(shù)為零()時(shí)， 光子增加雙模壓縮真空態(tài)就退化為雙模Fock態(tài)， 即. 有趣的是， 對(duì)雙模壓縮真空態(tài)的單獨(dú)一個(gè)模增加或扣除k個(gè)光子數(shù)， 結(jié)果態(tài)都具有相同的平均光子數(shù). 這是因?yàn)閷?duì)雙模壓縮真空態(tài)的一個(gè)模增加或扣除k個(gè)光子數(shù)后， 所得到的非高斯態(tài)是一樣的， 都是雙模壓縮粒子數(shù)態(tài)[17，18]. 光場(chǎng)量子態(tài)所含有的光子數(shù)是量子精密測(cè)量中的一個(gè)重要參數(shù)， 下面將從理論上研究光子增加雙模壓縮真空態(tài)在量子精密測(cè)量中的性能表現(xiàn).

3 MZI的量子Fisher信息

MZI是一個(gè)四端口的光學(xué)干涉儀. 一般情況下， 平衡MZI主要由兩塊50∶50的分束器、兩塊相移器和兩塊反射鏡組成. 探測(cè)態(tài)先經(jīng)過(guò)第一塊50∶50的分束器(其變換由幺正算符來(lái)描述)， 再經(jīng)過(guò)相移器， 干涉儀的兩條光路所產(chǎn)生的相位差由幺正算符 e xp[-iφJ(rèn)?3] 來(lái)描述， 然后再經(jīng)過(guò)第二塊50∶50的分束器(由幺正算符exp[iπJ?1/2]來(lái)描述)后輸出， 最后進(jìn)行測(cè)量. 上面的三個(gè)演化可由一個(gè)幺正算符描述[37]

下面將擴(kuò)展文獻(xiàn)[25]的工作， 本文研究當(dāng)一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)，相應(yīng)的量子Fisher信息. 對(duì)于某一個(gè)探測(cè)態(tài)， 最終的測(cè)量極限由基于量子Fisher信息的QCRB所限定[38，39]， 即

顯然， 對(duì)于給定相同的壓縮參數(shù)z， 單模光子增加操作也可以提高量子Fisher信息. 另外， (12)式與文獻(xiàn)[35]中的(12)式是一樣的. 這是因?yàn)閷?duì)雙模壓縮真空態(tài)的一個(gè)模執(zhí)行k個(gè)光子增加操作與對(duì)它的另一個(gè)模執(zhí)行k個(gè)光子扣除操作效果是一樣的， 結(jié)果態(tài)都是雙模壓縮粒子數(shù)態(tài)[17，18]. 另一方面，在限定總的平均光子數(shù)的情況下， 光子增加操作是否也能提高量子Fisher信息? 根據(jù)量子態(tài)的平均光子數(shù)， (12)式還可以表示成

此即文獻(xiàn)[32]得到的結(jié)果.

圖2和圖3顯示了光子增加雙模壓縮真空態(tài)和光子扣除雙模壓縮真空態(tài)分別作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 相應(yīng)QCRB在()取不同值時(shí)的變化情況. 為了便于比較光子增加或扣除操作在量子精密測(cè)量中的性能表現(xiàn)， 在圖2(b)和圖3(b)直接給出了文獻(xiàn)[35]的結(jié)果. 對(duì)于一個(gè)給定的初始?jí)嚎s參數(shù)z， 光子增加和光子扣除操作都能夠提高QCRB，如圖2所示. 但在給定的和與初始?jí)嚎s參數(shù)z時(shí)， 對(duì)稱的光子增加操作能更好地提高QCRB，其次是非對(duì)稱的光子增加和扣除操作， 而對(duì)稱的光子扣除操作所提供的QCRB最差， 這也許是因?yàn)閷?duì)稱的光子增加操作能夠更好地提高量子態(tài)的平均光子數(shù)， 如圖1所示. 另一方面， 若考慮探測(cè)態(tài)都具有相同的平均光子數(shù)， 光子增加或扣除都不能提高QCRB， 且隨著光子增加或扣除數(shù)目的增加，相位的測(cè)量精度會(huì)變差， 如圖3所示. 比較圖3(a)和圖3(b)還可以看出， 隨著探測(cè)態(tài)的平均光子數(shù)變大， 光子增加雙模壓縮真空態(tài)與光子扣除雙模壓縮真空態(tài)所提供的QCRB幾乎是一樣的. 也就是說(shuō)， 隨著這兩種非高斯態(tài)的平均光子數(shù)的增加， 二者在量子相位測(cè)量中的效果近似是等效的， 這一結(jié)果與文獻(xiàn)[31]的結(jié)果相類似. 因此， 根據(jù)以上分析可見， 只有在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下， 光子增加操作才能增強(qiáng)QCRB. 從圖3可以看出， 對(duì)于一般情況， 單模光子增加操作確實(shí)會(huì)削弱量子Fisher信息.

圖 2 相位測(cè)量精度的最終極限 隨壓縮參數(shù)z的變化曲線 (a)光子增加雙模壓縮真空態(tài); (b)光子扣除雙模壓縮真空態(tài); 不同顏色類型的曲線表示對(duì)雙模壓縮真空態(tài)執(zhí)行不同光子數(shù)( )的增加或扣除操作Fig. 2. Ultimate limit of the phase sensitivity as a function of the squeezing parameter z : (a) The photon-added two-mode squeezed vacuum state; (b) the photon-subtracted two-mode squeezed vacuum state. Different color curves correspond to add to or subtract from a two-mode squeezed vacuum state with different photon numbers ( ).

圖 3 相位測(cè)量精度的最終極限 隨平均光子數(shù)的變化曲線 (a)光子增加雙模壓縮真空態(tài); (b)光子扣除雙模壓縮真空態(tài); 不同顏色類型的曲線表示對(duì)雙模壓縮真空態(tài)執(zhí)行不同光子數(shù)( )的增加或扣除操作; 最上面的黑色虛線表示SNL極限， 而下面的黑色虛線則表示HL極限Fig. 3. Ultimate limit variation of the phase sensitivity with the mean photon number: (a) The photon-added two-mode squeezed vacuum state; (b) the photon-subtracted two-mode squeezed vacuum state. Different color curves correspond to add to or subtract from a two-mode squeezed vacuum state with different photon numbers ( ). The upper black dashed line denotes the SNL limit， while the below black dashed line represents the HL limit.

4 宇稱測(cè)量和相位測(cè)量靈敏度

現(xiàn)在已經(jīng)知道， 許多非經(jīng)典態(tài)作為MZI或SU(1， 1)非線性干涉儀的探測(cè)態(tài)時(shí)， 宇稱測(cè)量方案在待測(cè)相位取某些特殊值時(shí)可以達(dá)到量子精密測(cè)量的 QCRB[3，4，6，7，41-45]. 對(duì)于路徑對(duì)稱的量子態(tài)， Seshadreesan等[43]從理論上證明了在待測(cè)相位取某些特殊值時(shí)(這些取值稱為相位最優(yōu)測(cè)量值)， 宇稱測(cè)量方案能夠達(dá)到QCRB. 本文就采用宇稱測(cè)量方案來(lái)研究一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為MZI探測(cè)態(tài)時(shí)的相位測(cè)量精度， 并分析QCRB能否達(dá)到. 宇稱測(cè)量方案對(duì)干涉儀內(nèi)部的光子損失是敏感的. 簡(jiǎn)單起見， 這里僅考慮無(wú)光子損耗的宇稱測(cè)量方案.

在文獻(xiàn)[21， 25]的工作中， 對(duì)稱光子扣除或光子增加雙模壓縮真空態(tài)均為雙模孿數(shù)態(tài)(兩個(gè)模的光子數(shù)相等)的疊加態(tài). 因此， 他們可以直接借助雙模孿數(shù)態(tài)作為MZI探測(cè)態(tài)時(shí)的宇稱測(cè)量信號(hào)[3]來(lái)研究對(duì)稱的光子扣除或光子增加操作對(duì)待測(cè)相位測(cè)量精度的影響. 現(xiàn)在考慮的是一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 它不再是雙模孿數(shù)態(tài)的疊加態(tài)，而是一般雙模數(shù)態(tài)的疊加態(tài)， 故不能直接利用文獻(xiàn)[3]的結(jié)果. 本文將借助壓縮態(tài)的相干態(tài)表象表示， 直接計(jì)算宇稱測(cè)量的信號(hào)值(見附錄A). 通過(guò)宇稱測(cè)量來(lái)獲得相位的信息， 實(shí)際上就是在干涉儀的一個(gè)輸出端測(cè)量光子數(shù)的奇偶情況， 即計(jì)算宇稱算符在輸出量子態(tài)中的期望值. 譬如， 選擇在MZI的a模輸出端口進(jìn)行光子數(shù)的宇稱測(cè)量. 宇稱算符在相干態(tài)表象下可表示為[46]

因此， 若已知干涉儀輸出量子態(tài)的顯式， 原則上就可以由 (16)式計(jì)算宇稱算符的期望值了， 進(jìn)而由誤差傳播理論給出相位測(cè)量的精度.

對(duì)于一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)， 經(jīng)過(guò)繁瑣的計(jì)算后， 最終可以得到宇稱算符在輸出量子態(tài)下的期望值(見附錄A)

由變量變換z2=/(+2) ， 可直接得到文獻(xiàn)[32]的結(jié)果. 為了便于分析， 與文獻(xiàn)[32]類似， 在(17)式中也引入了一個(gè)額外相位. 根據(jù)(17)式， 在的情況下， 容易證明兩個(gè)等式〈Πa(0)〉|k=l=1以及〈Πa(0)〉|k/=l=0 均成立. (17)式是本文的第2個(gè)重要結(jié)果， 根據(jù)該式可研究基于宇稱測(cè)量的相位分辨率和測(cè)量精度. 特別地， 當(dāng)， (17) 式還可以寫成與勒讓德多項(xiàng)式有關(guān)的簡(jiǎn)潔形式:

式中已利用勒讓德多項(xiàng)式的產(chǎn)生函數(shù)[47]

根據(jù)(17)式， 圖4反映了光子增加操作對(duì)宇稱探測(cè)信號(hào)的影響. 正如文獻(xiàn)[25]指出的一樣， 對(duì)于對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)，的峰值在處隨著k和l的增加而變窄， 這表明在給定初始?jí)嚎s參數(shù)的情況下， 對(duì)稱的光子增加操作可以提高相位測(cè)量的分辨率. 但對(duì)于非對(duì)稱的光子增加操作， 在處， 有. 此外， 由圖 4還可以看出，的峰值對(duì)應(yīng)的待測(cè)相位還與光子增加操作數(shù)k和l有關(guān).

圖 4 對(duì)于給定 和一些不同的( )值， 宇稱測(cè)量的信號(hào)值隨待測(cè)相位的變化曲線Fig. 4. Plot of the signal values of the parity detection against the phase shift for and some values of ( ).

接下來(lái)研究宇稱測(cè)量方案的相位測(cè)量精度. 由誤差傳播理論， 相位測(cè)量精度由下式確定:

特別地， 當(dāng)k=l=0 時(shí)， 容易得到雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 基于宇稱測(cè)量方案的相位測(cè)量精度為[32]

式中壓縮(參數(shù)與)量子態(tài)的平均光子數(shù)的關(guān)系為z2=/+2.

下面考慮宇稱測(cè)量方案給出的相位測(cè)量精度隨探測(cè)態(tài)的平均光子數(shù)的變化情況. 在時(shí)， 圖6給出了當(dāng)光子增加雙模壓縮真空態(tài)的k和l取不同值時(shí)， 基于宇稱測(cè)量的相位測(cè)量精度隨平均光子數(shù)的變化曲線. 圖6(a)表明， 隨著取值的增加， 對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)所提供的相位測(cè)量精度會(huì)越來(lái)越差. 圖6(b)還表明，非對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)提供的相位測(cè)量精度幾乎完全一樣. 由此可見， 一方面圖6表明， 在相同平均光子數(shù)這一約束條件下， 與雙模壓縮真空態(tài)相比可以看出， 對(duì)稱和非對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)并不能提高相位的測(cè)量精度; 另一方面， 數(shù)值證明對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 宇稱測(cè)量在待測(cè)相位φ→0 時(shí)， 能夠達(dá)到 QCRB， 是最優(yōu)測(cè)量， 如圖 3 和圖 6(a)中l(wèi)=1，2時(shí)的曲線所示. 但是， 對(duì)于非對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 數(shù)值上可以證明即使在相位的最優(yōu)測(cè)量點(diǎn)， 宇稱測(cè)量也不是最優(yōu)測(cè)量， 如圖3和圖6(b)中時(shí)的曲線所示.

圖 5 對(duì)于光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為干涉儀的探測(cè)態(tài)， 當(dāng) ( )取不同值時(shí)， 隨待測(cè)相位 的變化 (a)給定初始?jí)嚎s參數(shù) ; (b)給定相同的平均光子數(shù)Fig. 5. Phase sensitivity as a function of the phase shift for some values of ( ) when the photon-added two-mode squeezed vacuum state is considered as interferometer states: (a) For a given initial squeezing parameter; (b) for a given mean photon number .

最后， 為了說(shuō)明對(duì)于非對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 宇稱測(cè)量即使在相位最優(yōu)測(cè)量值也不是最優(yōu)測(cè)量， 在圖7中分別畫出了基于宇稱測(cè)量和量子Fisher信息得到的相位測(cè)量精度隨壓縮參數(shù)的變化曲線. 由圖7可以看出， 在給定初始?jí)嚎s參數(shù)z時(shí)， 雖然隨著非對(duì)稱的光子增加操作(k，l)取值增加， 可以提高相位的測(cè)量精度， 但宇稱測(cè)量在待測(cè)相位φ→0 處給出的相位測(cè)量精度并不能到達(dá)QCRB. 那么， 其他的一些常用的相位測(cè)量方法，例如強(qiáng)度測(cè)量或平衡零拍測(cè)量[28]， 是否可以達(dá)到基于量子Fisher信息的， 與文獻(xiàn)[35]類似，可以證明當(dāng)一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 采用光強(qiáng)測(cè)量和平衡零拍測(cè)量更不合適. 比如， 依據(jù)正交分量測(cè)量的平衡零拍測(cè)量， 正交分量(如坐標(biāo)算符)在輸出態(tài)下的信號(hào)值為零， 根本沒(méi)有相位的任何信號(hào)[48]， 而由觀測(cè)量()提供的相位測(cè)量精度在處是發(fā)散的， 這與文獻(xiàn)[49]的工作類似.

圖 6 在 時(shí)， 對(duì)于光子增加雙模壓縮真空態(tài)的( )不同取值， 相位測(cè)量精度 隨平均光子數(shù)的變化曲線 (a)對(duì)稱光子增加的情況( ); (b)非對(duì)稱光子增加的情況( ); 最上面的黑色虛線表示SNL極限，下面的黑色虛線則表示HL極限Fig. 6. Plots of the phase sensitivity as a function of the mean photon number of the photon-added two-mode squeezed vacuum state for some different values of ( ) at: (a) Symmetric photon-added two-mode squeezed vacuum state ( ); (b) asymmetric photon-added twomode squeezed vacuum state ( ). The upper black dashed line denotes the SNL limit， while the below black dashed line represents the HL limit.

圖 7 和給定不同( )取值時(shí)， 相位測(cè)量精度隨初始?jí)嚎s參數(shù)z的變化 (a)基于宇稱測(cè)量得到的相位測(cè)量精度; (b)基于量子Fisher信息得到的最終測(cè)量界限Fig. 7. Phase sensitivity as a function of the initial squeezing parameter z for different values of ( ) at :(a) The phase sensitivity obtained by the parity detection;(b) the ultimate limit of phase sensitivity obtained by the quantum Fisher information.

因此， 以上量子Fisher信息理論的結(jié)果表明，只有在給定初始?jí)嚎s參數(shù)z的情況下， 光子增加操作才可以增強(qiáng)相位的測(cè)量精度. 而在給定相同平均光子數(shù)這一約束條件時(shí)， 光子增加操作則不能提高相位的測(cè)量精度. 當(dāng)采用宇稱測(cè)量這一具體的相位測(cè)量方案時(shí)， 研究結(jié)果表明， 對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)時(shí)， 宇稱測(cè)量在時(shí)是一種最優(yōu)測(cè)量. 但對(duì)于非對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 宇稱測(cè)量即使在相位最優(yōu)測(cè)量值處也不最優(yōu)測(cè)量.

5 結(jié) 論

本文研究了一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)， 以及它在相位測(cè)量精度中的性能表現(xiàn). 一方面根據(jù)量子Fisher信息理論， 研究結(jié)果表明: 在給定探測(cè)態(tài)具有相同的平均光子數(shù)這一約束條件下， 與雙模壓縮真空態(tài)相比， 光子增加雙模壓縮真空態(tài)并不能提高相位的測(cè)量精度. 但若是給定初始?jí)嚎s參數(shù)z， 與雙模壓縮真空態(tài)相比，對(duì)稱和非對(duì)稱光子增加操作都能增強(qiáng)QCRB， 只是對(duì)稱的光子增加操作效果更好一些. 這也許是由于對(duì)稱的光子增加操作可以更好地提高雙模壓縮真空態(tài)的平均光子數(shù)的緣故. 因此， 一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)在量子度量學(xué)中具有一定的應(yīng)用價(jià)值. 另一方面， 根據(jù)宇稱測(cè)量這一具體的測(cè)量方案， 理論結(jié)果表明: 對(duì)于給定初始的壓縮參數(shù)，對(duì)稱的光子增加操作在相位最優(yōu)測(cè)量值附近時(shí)能夠提高相位的測(cè)量精度， 并且能夠達(dá)到QCRB. 但對(duì)于非對(duì)稱光子增加雙模壓縮真空態(tài)， 宇稱測(cè)量卻不能達(dá)到QCRB. 因此， 對(duì)于一些非經(jīng)典態(tài)作為MZI的探測(cè)態(tài)， 宇稱測(cè)量并不總是一種最優(yōu)測(cè)量.

附錄A 宇稱算符在MZI輸出態(tài)下的期望值

為了計(jì)算的方便， 本文利用雙模壓縮真空態(tài)在相干態(tài)表象下的展開式， 即

那么， 一般的光子增加雙模壓縮真空態(tài)可以表示成

當(dāng)光子增加雙模壓縮真空態(tài)輸入到MZI進(jìn)行傳播時(shí)， 根據(jù)(6)式和(7)式， 輸出量子態(tài)可以寫成

相應(yīng)地， 輸出態(tài)的左矢為

把(A3)式和(A4)式代入到(16)式， 并利用數(shù)學(xué)積分公式(Puri R R 2001Mathematical Methods of Quantum Optics(Berlin: Springer-Verlag) pp267—270)