席建普， 劉同士， 李亞?wèn)|， 李 彬， 趙則祥

(中原工學(xué)院 機(jī)電學(xué)院， 鄭州 450007)

大口徑非球面鏡由于其特殊的光學(xué)性能，越來(lái)越廣泛地被應(yīng)用到現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)中，例如空間光學(xué)系統(tǒng)、激光核聚變裝置、高能激光武器系統(tǒng)等[1-3]，對(duì)其表面形貌精度的要求也越來(lái)越高。大口徑非球面鏡大多是由硬脆性材料組成，其制造工藝過(guò)程包括粗磨、精磨和拋光3個(gè)階段。其中的拋光過(guò)程可提高其面形精度和表面粗糙度，但拋光過(guò)程去除量小、效率低、周期長(zhǎng)，因此磨削階段保持適當(dāng)?shù)牟牧先コ苤匾?，但拋光過(guò)程中的中頻誤差將影響到整個(gè)生產(chǎn)周期[4]。磨削階段的非球面鏡表面輪廓特征包括表面粗糙度、表面波紋度和形狀輪廓。表面波紋度如果在磨削階段不能很好地被控制，拋光階段的波紋輪廓?jiǎng)t難以被高效去除，這將嚴(yán)重影響非球面鏡的加工效率[5]。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者通過(guò)建立表面粗糙度形成機(jī)理預(yù)測(cè)模型，仿真分析了非球面鏡表面粗糙度的影響因素[6-8]。且磨削表面波紋度的研究也受到學(xué)者的關(guān)注。BIERMANN等[9-10]主要針對(duì)鋼件磨削顫振引起的表面波紋度進(jìn)行研究，結(jié)果表明磨削工藝參數(shù)影響顫振大小和相移變化。盛曉敏等[11]分析硬脆性SiC平面磨削表面波紋度的影響因素，證明砂輪速度是表面波紋產(chǎn)生的主導(dǎo)因素。畢果等[12-13]分析了非球面磨削表面波紋度產(chǎn)生機(jī)理，并對(duì)非球面磨削過(guò)程中表面波紋的產(chǎn)生與加工工藝參數(shù)和磨削方式的關(guān)系進(jìn)行了研究，結(jié)果表明選擇合理的加工參數(shù)可以改善工件表面的波紋度。林曉輝等[14]根據(jù)光柵平行磨削加工方式對(duì)軸對(duì)稱(chēng)非球面表面粗糙度和表面波紋度的作用機(jī)理進(jìn)行研究，并結(jié)合磨削試驗(yàn)驗(yàn)證了砂輪振動(dòng)是波紋度產(chǎn)生的主要因素。CAO等[15-16]提出了砂輪表面形貌的仿真模型及其對(duì)工件表面粗糙度的影響，分析了磨削參數(shù)和砂輪振動(dòng)參數(shù)對(duì)表面波紋度的影響，結(jié)果表明：調(diào)整振幅、磨粒大小和磨削參數(shù)可優(yōu)化工件表面質(zhì)量或給定參數(shù)可預(yù)測(cè)工件表面形貌。BADGER等[17]研究了砂輪的偏心對(duì)磨削表面波紋度的影響，根據(jù)磨削參數(shù)和砂輪偏心提出了預(yù)測(cè)工件表面波紋度模型，驗(yàn)證了砂輪偏心將影響磨削力、砂輪磨損、砂輪溫度和表面波紋度。PAOLO等[18]為了分析工件表面波紋度，建立了在線預(yù)估模型及方法，分析了砂輪表面微波紋對(duì)工件表面的影響，并基于最小二乘法驗(yàn)證了加工過(guò)程中動(dòng)態(tài)線性模型的可靠性。

以上研究都對(duì)工件表面形貌的形成機(jī)理進(jìn)行了仿真分析，并證明磨削振動(dòng)是產(chǎn)生工件表面波紋度的關(guān)鍵因素。而對(duì)于磨削主軸振動(dòng)與表面波紋度的關(guān)系，以及磨削工藝參數(shù)與表面波紋度三維模型的關(guān)系研究較少。因此，可以從三維模型角度建立磨削主軸振動(dòng)、磨削工藝參數(shù)與表面波紋度的關(guān)系，為磨削過(guò)程提供理論參考。

通過(guò)對(duì)交叉磨削方式下磨削大口徑非球面鏡的動(dòng)力學(xué)分析，預(yù)測(cè)其表面波紋度在磨削階段的分布規(guī)律，建立表面波紋度與磨削工藝參數(shù)之間的三維模型。首先，建立磨削主軸動(dòng)力學(xué)模型，分析磨削振動(dòng)產(chǎn)生機(jī)理和磨削振動(dòng)影響因素；其次，根據(jù)磨削工藝參數(shù)分析表面波紋度三維輪廓產(chǎn)生機(jī)理，仿真分析磨削工藝參數(shù)對(duì)表面波紋度的影響和三維波紋度特性；最后，通過(guò)實(shí)際磨削試驗(yàn)，驗(yàn)證所建立的三維波紋度分布模型的合理性。

1 大口徑非球面鏡磨削加工方式

根據(jù)砂輪類(lèi)型將大口徑光學(xué)非球面鏡在磨削階段的加工方式分為盤(pán)形橫向磨削、交叉磨削、斜軸點(diǎn)磨削以及杯型砂輪點(diǎn)磨削和非對(duì)稱(chēng)自由磨削等。而對(duì)于大口徑非球面鏡，其曲率半徑大，采用交叉磨削方式可提高砂輪的接觸面積，材料去除率高。

圖1為大口徑非球面鏡磨削機(jī)床UPM900。磨削試驗(yàn)機(jī)床包括3個(gè)直線軸和2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，交叉平行磨削方式時(shí)采用XZ軸插補(bǔ)以及工作臺(tái)C軸完成非球面鏡輪廓的磨削成形和精磨加工；磨削過(guò)程中砂輪的磨削刃能均勻地接觸工件表面，降低了砂輪的磨損，提高了磨削的精度和穩(wěn)定性。

XZ軸的直線運(yùn)動(dòng)軌跡根據(jù)NURBS生成插補(bǔ)路徑，加工過(guò)程中XZ軸插補(bǔ)進(jìn)給，磨削加工路徑在工件表面表現(xiàn)為螺旋線軌跡，通過(guò)砂輪速度、XZ軸進(jìn)給速度以及C軸旋轉(zhuǎn)速度配合完成磨削過(guò)程。

磨削用砂輪為進(jìn)口D25砂輪(金剛石顆粒尺寸25～32 μm)，其直徑為400 mm，圓弧半徑為90 mm。通過(guò)反復(fù)補(bǔ)償磨削，形成高精度表面形貌，包括表面形狀精度、表面波紋度、表面粗糙度。磨削過(guò)程中由于砂輪軸采用液體靜壓支撐方式，在磨削力作用下，砂輪軸將產(chǎn)生振動(dòng)，從而影響工件表面質(zhì)量。

圖 1 大口徑非球面磨削設(shè)備UPM900

2 非球面鏡磨削表面波紋度產(chǎn)生機(jī)理

2.1 表面波紋度

表面波紋度是介于磨削表面粗糙度和幾何形狀之間的特征量，并且在拋光過(guò)程中難以去除。GB/T 16747—1997規(guī)定了表面波紋度的參數(shù)術(shù)語(yǔ)和評(píng)價(jià)體系，以及波紋度參數(shù)的評(píng)價(jià)方法。表面波紋度反映振動(dòng)強(qiáng)度大小，可用波紋度算術(shù)平均值Wa、波紋度均方根值偏差Wq等表示[17]：

(1)

(2)

式中：h(xi,yi)為表面采樣點(diǎn)的偏差值；xi和yi為采樣點(diǎn)坐標(biāo)值；M和N為采樣的點(diǎn)數(shù)。

2.2 液體靜壓主軸振動(dòng)模型

磨削表面波紋度主要是由砂輪與工件之間的相對(duì)振動(dòng)造成的，包括磨削系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)和自激振動(dòng)。砂輪的強(qiáng)迫振動(dòng)主要由其不平衡量引起，且由強(qiáng)迫振動(dòng)引起的波紋度在工件回轉(zhuǎn)方向可見(jiàn)連續(xù)的直線或窄帶痕跡。而自激振動(dòng)由再生效應(yīng)引起，即砂輪磨削受力引起的振動(dòng)，存在平動(dòng)和擺動(dòng)2種方式，從而產(chǎn)生磨削表面的波紋度，同時(shí)影響其表面粗糙度。

將磨削砂輪主軸系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一個(gè)多自由度系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，磨削過(guò)程中由于砂輪的接觸點(diǎn)均勻，可以將磨削時(shí)的磨粒合力近似為恒力。

圖 2 磨削主軸動(dòng)力學(xué)模型

圖2中的磨削過(guò)程中的液體靜壓主軸可以看作一個(gè)剛體，即一個(gè)對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)軸的剛性圓柱體——?jiǎng)傂赞D(zhuǎn)子。主軸不平衡量引起的振動(dòng)可換算成砂輪接觸點(diǎn)的振動(dòng)幅值和頻率。剛體的質(zhì)量為m，液體靜壓剛體3個(gè)方向的阻尼分別為cx、cy、cz，剛性分別為kx、ky、kz。牛頓-歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表達(dá)了主軸剛體的平移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)自由度。主軸剛體在XYZ方向和3個(gè)空間中，存在3個(gè)平移運(yùn)動(dòng)和3個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。剛體質(zhì)心O在慣性坐標(biāo)系O(XYZ)與參考坐標(biāo)系o(xyz)中的平移和歐拉旋轉(zhuǎn)變換為振動(dòng)平移和旋轉(zhuǎn)角度。運(yùn)動(dòng)剛體存在5個(gè)自由度，3個(gè)沿XYZ軸的平移自由度，位移分別為x(t)、y(t)、z(t)，1個(gè)繞Y軸旋轉(zhuǎn)變換為剛體的自由度，1個(gè)為XZ軸慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)自由度。表面波紋度主要是由主軸剛體的振動(dòng)位移產(chǎn)生，因此，研究表面波紋度主要研究砂輪相對(duì)于工件之間的平移運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于受迫振動(dòng)，磨削過(guò)程中被磨削材料表現(xiàn)為硬脆特性，難以加工。磨削過(guò)程中磨具與工件的相互作用力產(chǎn)生了砂輪的相對(duì)偏心量，在高速旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生振動(dòng)。設(shè)質(zhì)點(diǎn)o的偏心量e在X方向上，則偏心量坐標(biāo)可表示為：

(3)

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，在O(XYZ)坐標(biāo)系中不平衡量的強(qiáng)迫力與磨削力作用時(shí)，由于Y方向的振動(dòng)變換較小，只考慮X和Z方向的振動(dòng)位移，主軸剛體平移運(yùn)動(dòng)方程為：

(4)

式中：ω為主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。

連續(xù)作用下的激勵(lì)力可以簡(jiǎn)化為N個(gè)脈沖激勵(lì)作用的疊加，通過(guò)拉普拉斯變換和拉普拉斯逆變換得到振動(dòng)位移響應(yīng)解為：

(5)

從式(5)中可以看出：主軸振動(dòng)響應(yīng)的位移大小與阻尼比、頻率比和不平衡量有關(guān)。通過(guò)分析其幅頻響應(yīng)特性，可以了解系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅和相位差隨頻率變化的規(guī)律。磨削主軸的不平衡量可以通過(guò)測(cè)量或自平衡系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)，以降低到最低水平。交叉磨削通過(guò)XZC軸的插補(bǔ)運(yùn)動(dòng)完成，因此砂輪存在振動(dòng)形式如式(5)的正弦振動(dòng)。

2.3 表面三維波紋度模型

張翊等[13]研究了微小振動(dòng)對(duì)超精密磨削的影響，建立了主軸振動(dòng)的余弦模型，并根據(jù)振動(dòng)的模型分析了表面波紋的形成機(jī)理。CHEN等[7]假設(shè)砂輪主軸旋轉(zhuǎn)中心振動(dòng)的模型為正弦波形狀，研究砂輪振動(dòng)表面的粗糙度和亞表面損傷。以上研究都將砂輪的動(dòng)態(tài)振動(dòng)過(guò)程假設(shè)成一定幅值的正弦或者余弦振動(dòng)。本研究中的砂輪主軸振動(dòng)為正弦振動(dòng)，交叉磨削過(guò)程中表面波紋的產(chǎn)生原理如圖3。

圖 3 交叉磨削表面波紋產(chǎn)生原理

圖3中砂輪的中心在Z方向的運(yùn)動(dòng)軌跡為[15]：

z(t)=R+Asin(2πf0t+φ)

(6)

式中：A為砂輪振幅，f0為磨削砂輪軸的旋轉(zhuǎn)頻率，R為砂輪半徑，φ為磨削砂輪的最初相位角。

在二維坐標(biāo)系XOZ平面中，工件隨X軸運(yùn)動(dòng)，為得到振動(dòng)變化與x坐標(biāo)的關(guān)系，沿X軸的坐標(biāo)表示為：

x=fwfrt-R0

(7)

式中：fr為X軸進(jìn)給速度，fw為工件旋轉(zhuǎn)頻率，R0為工件半徑。

引入砂輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和工件轉(zhuǎn)動(dòng)頻率比率：

(8)

式中：a為整數(shù)項(xiàng)，代表螺旋波紋的數(shù)量N；ε(0≤ε<1)為分?jǐn)?shù)項(xiàng)。

將式(7)和式(8)代入式(6)。為模型計(jì)算方便，在以后的計(jì)算中可將砂輪磨削的最初相位角φ定義為0，得出砂輪振動(dòng)表面輪廓：

(9)

因磨削過(guò)程中在圓周方向也存在角度位移，式(7)可表示為極坐標(biāo)形式，角度隨時(shí)間變化為：

(10)

式中：nw為工件轉(zhuǎn)速，r/min。

聯(lián)立式(6)和式(10) 得到：

(11)

式中：角度θ′=2πn+θ1，θ1為工件旋轉(zhuǎn)的初始角度，n為工件旋轉(zhuǎn)圈數(shù)。

工件旋轉(zhuǎn)圈數(shù)相對(duì)位移為：

(12)

為更直觀地表達(dá)磨削表面的波紋分布情況，需根據(jù)空間坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)磨削砂輪的振動(dòng)軌跡進(jìn)行離散處理。聯(lián)立式(6)和式(7)消去t，且θ=2π(x+R0)/fr，θ為旋轉(zhuǎn)角度，得：

z(θ)=R+Asin[θ(a-ε)]

(13)

將式(13)在圓柱坐標(biāo)系P(r，θ，z)中表達(dá)，且隨著加工的進(jìn)行，極坐標(biāo)半徑減小為r時(shí)，θ=2π(-r+R0)/fr；同時(shí)，將整數(shù)部分a和分?jǐn)?shù)部分ε分開(kāi)，得到砂輪軸與工件之間振動(dòng)形成的表面輪廓表達(dá)式：

(14)

式中：r為極坐標(biāo)半徑，隨著加工進(jìn)行極坐標(biāo)半徑增大。

將式(14)進(jìn)行離散點(diǎn)處理，可得：

(15)

式中：N1為加工工件旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，N2為每圈的角度Δθ等分?jǐn)?shù)。

式(15)中描述的為磨削過(guò)程中砂輪在工件表面的離散路徑。

2.4 磨削振動(dòng)表面波紋度仿真

根據(jù)磨削砂輪運(yùn)動(dòng)軌跡，磨削過(guò)程中砂輪的振動(dòng)將形成磨削表面的波紋度。從離散的輪廓公式(13)可以看出：三維的表面波紋度形成與砂輪轉(zhuǎn)速、工件轉(zhuǎn)速和X方向進(jìn)給速度有關(guān)。圖4為砂輪轉(zhuǎn)速和工件進(jìn)給速度對(duì)工件表面波紋度的影響仿真結(jié)果，固定磨削深度35 μm。其中圖4a和圖4b仿真時(shí)定義砂輪的振幅分別為4.0 μm和6.5 μm。砂輪主軸的振動(dòng)頻率f0=ns/60，工件軸轉(zhuǎn)速頻率fw=nw/60，將砂輪主軸轉(zhuǎn)速和工件X方向進(jìn)給速度作為主影響因素時(shí)，由圖4可以看出：隨著X軸進(jìn)給速度增大，表面波紋度增大趨勢(shì)明顯，砂輪主軸振動(dòng)幅值越大表面波紋度越大。因此，磨削工藝參數(shù)的合理匹配將直接影響到加工表面波紋度的大小。

(a) 幅值4.0 μmAmplitude for 4.0 μm

(b) 幅值6.5 μmAmplitude for 6.5 μm

為了對(duì)離散的振動(dòng)軌跡仿真分析，將交叉磨削方式的砂輪磨削點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡定為螺旋線軌跡，因而Z軸的振動(dòng)使磨削工件表面產(chǎn)生了空間波紋。根據(jù)式(14)對(duì)圓柱坐標(biāo)進(jìn)行分析，磨具與工件之間的相對(duì)位移關(guān)系與X軸進(jìn)給速度、砂輪振動(dòng)頻率與工件轉(zhuǎn)動(dòng)頻率比值有關(guān)，振動(dòng)的幅值A(chǔ)與磨削過(guò)程的吃刀量有關(guān)。取砂輪的振動(dòng)幅值A(chǔ)=0.005 mm，ε=0.3，fr=3 mm/r。當(dāng)a=1時(shí)，得到砂輪振動(dòng)產(chǎn)生的表面波紋度三維圖如圖5a；當(dāng)a=3時(shí)，得到砂輪振動(dòng)產(chǎn)生的表面波紋度三維圖如圖5b。從圖5可以看出：a=3時(shí)的波紋條比a=1時(shí)的波紋條密，即a越大，紋路越多波紋度越大。

圖6為砂輪的振動(dòng)幅值A(chǔ)=0.005 mm，a=20，ε=0.4，fr=4 mm/r時(shí)砂輪振動(dòng)產(chǎn)生的表面波紋三維圖。從圖6可以看出：波紋相較于圖5變得更密，這是由于a值更大時(shí)，砂輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和工件轉(zhuǎn)動(dòng)頻率比值增大，致使表面波紋產(chǎn)生的紋路較明顯。且由于波長(zhǎng)λ1(λ1=fr/ε)變化不大，基本符合所建立的模型。

根據(jù)以上仿真結(jié)果可知，在相同的磨削深度，振幅固定的情況下，要實(shí)現(xiàn)高的表面波紋精度，需要調(diào)整X軸進(jìn)給速度、砂輪轉(zhuǎn)動(dòng)頻率和工件轉(zhuǎn)動(dòng)頻率，合理匹配磨削加工工藝參數(shù)實(shí)現(xiàn)高精度磨削。

(a) a=1

(b) a=3

a=20，ε=0.4

3 試驗(yàn)分析

利用四軸磨削機(jī)床采用交叉磨削方式加工大口徑非球面鏡，工件直徑為320 mm，磨削工藝參數(shù)如表1所示。

利用Taylor PGI輪廓測(cè)量?jī)x測(cè)量工件表面波紋值，通過(guò)對(duì)比同一區(qū)域的波紋度數(shù)值，分析表面波紋度

表1 磨削表面波紋測(cè)試工藝參數(shù)

與磨削工藝參數(shù)間的關(guān)系，研究最佳工藝參數(shù)區(qū)間。不同磨削深度下砂輪轉(zhuǎn)速對(duì)工件表面波紋度的影響如圖7所示。

圖 7 不同磨削深度下砂輪轉(zhuǎn)速對(duì)表面波紋度的影響Fig. 7 Effect of grinding wheel speed on surface waviness under different grinding depths

由圖7可知：磨削深度為50 μm的表面波紋度大于磨削深度為30 μm的。這是因?yàn)槟ハ魃疃仍酱?，振?dòng)的幅值越大，表面波紋度明顯增大。且隨著砂輪轉(zhuǎn)速的增大工件表面波紋的大小呈非線性變化。當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度達(dá)到1 600 r/min時(shí)，表面波紋顯著減?。簧拜嗈D(zhuǎn)速達(dá)到1 800 r/min時(shí)，表面波紋最小。根據(jù)砂輪磨削力公式可知砂輪轉(zhuǎn)速增大磨削力減小，因此在砂輪轉(zhuǎn)速?gòu)? 200 r/min增大到1 800 r/min時(shí)，振動(dòng)幅值減小，所以表面波紋度減?。坏?dāng)砂輪轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大超過(guò)1 800 r/min時(shí)，砂輪偏心量增大，導(dǎo)致振動(dòng)幅值增大，表面波紋也相繼增大。由此可見(jiàn)砂輪轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，工件轉(zhuǎn)速為20 r/min，X軸進(jìn)給速度為1.6 mm/r是較優(yōu)的工藝參數(shù)。

為了更好地驗(yàn)證模型的合理性，在砂輪轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，工件轉(zhuǎn)速為10 r/min及X軸進(jìn)給速度為1.2 mm/r條件下，采用交叉磨削方式進(jìn)行表面波紋度分析，磨削后的工件如圖8所示。從圖8中可以明顯看到加工后工件表面的紋路分布，且分布較均勻。該波紋主要由砂輪振動(dòng)產(chǎn)生，并且從邊緣到工件中心位置呈規(guī)律性弧形曲線分布。經(jīng)統(tǒng)計(jì)，螺旋紋路值為181，該數(shù)值與模型中的砂輪轉(zhuǎn)速與工件轉(zhuǎn)速相除的整數(shù)部分一致。

圖 8 精密磨削后工件照片F(xiàn)ig. 8 Photo of workpiece after fine grinding

采用Taylor PGI3D輪廓測(cè)量?jī)x測(cè)量磨削后的工件表面，取樣長(zhǎng)度為45 mm。圖9是在徑向方向測(cè)量的工件表面波紋度分布情況。由圖9可以看出：工件表面波紋度幅值在5.8 μm左右，并且波紋的波長(zhǎng)為1.3 mm。

4 結(jié)論

根據(jù)大口徑非球面鏡交叉磨削方式，分析了砂輪主軸由于磨削偏心產(chǎn)生的不平衡振動(dòng)過(guò)程，建立表面波紋度形成機(jī)理的三維模型，并對(duì)表面波紋的形成進(jìn)行仿真分析。

交叉磨削過(guò)程中，工件表面的波紋紋路是由砂輪主軸振幅、X軸進(jìn)給速度、砂輪轉(zhuǎn)速和工件的轉(zhuǎn)速匹配決定的。仿真和磨削試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了建立的離散三維表面波紋度模型的合理性，并給出了最佳磨削工藝參數(shù)匹配范圍為砂輪轉(zhuǎn)速1 600～1 800 r/min，X進(jìn)給速度1～3 mm/r，工件旋轉(zhuǎn)速度20 r/min。采用此工藝參數(shù)可減小工件表面波紋度，提高拋光效率，實(shí)現(xiàn)大口徑非球面鏡的高效制造。