□王曉東

（啟東市教師發(fā)展中心，江蘇啟東 226200）

高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，按知識的發(fā)生發(fā)展自然形成的若干學(xué)習(xí)模塊展開片段式和局部性的學(xué)習(xí)研究活動，通過不斷地追問本質(zhì)、厘清關(guān)系、構(gòu)建結(jié)構(gòu)等一系列思維過程，促思維、長智慧、提學(xué)力，促進(jìn)學(xué)生的研究力、理解力、應(yīng)用力和創(chuàng)新力提升，形成系統(tǒng)思維的結(jié)構(gòu)觀念[1].

數(shù)學(xué)教學(xué)要在理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)的基礎(chǔ)上設(shè)計和踐行活動.基于“四個理解”的高中模塊化研學(xué)如何促進(jìn)學(xué)生形成積極的內(nèi)在動機(jī)，形成兼具務(wù)真性、批判性、創(chuàng)造性的基本思維特征？現(xiàn)以《拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)為例加以說明.

一、理解數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之本

理解數(shù)學(xué)，就是從整體上把握教材的結(jié)構(gòu)，把握知識產(chǎn)生的背景和前后聯(lián)系，把握其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法[2].章建躍博士認(rèn)為：“要充分發(fā)揮‘一般化觀念’對數(shù)學(xué)創(chuàng)新活動的引導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對象的基本路徑，獲得有價值的數(shù)學(xué)結(jié)論.”[3]拋物線是學(xué)生高中階段接觸到的第三種圓錐曲線，所以，橢圓、雙曲線的研究思路是學(xué)生開展研學(xué)活動的基礎(chǔ).通過研學(xué)方法的聯(lián)想類比、遷移應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)思維在相關(guān)知識的軌道上運行和展現(xiàn)，能激發(fā)學(xué)生愿意嘗試和基于邏輯合理猜想的意愿，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行新知探索并產(chǎn)生高階思維，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統(tǒng)性.

【教學(xué)實錄】概念起始模塊的研學(xué)過程

師：解析幾何的實質(zhì)是用代數(shù)的方法解決幾何問題.前面我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線兩類圓錐曲線，那么研究它們的思路是什么？

生（齊答）：先推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程，然后研究其性質(zhì).

師：如何推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

生（齊答）：建系，設(shè)點，列式，化簡.

師：我簡單總結(jié)一下：以橢圓為例，首先看其圖形特征（到兩定點的距離和為定值），然后推導(dǎo)得出標(biāo)準(zhǔn)方程，接下來研究其性質(zhì).其過程是從形到數(shù)再到形.

教師板書總結(jié).

師：今天，我們采用同樣的研究路徑來研究拋物線.

【設(shè)計意圖】模塊化研學(xué)通過從數(shù)學(xué)的角度抽象出一類事物本質(zhì)特征，形成對相似問題的研究方法.沒有邏輯聯(lián)系，就沒有思想方法的統(tǒng)整，知識的生成就沒有生命力.本節(jié)課的起始模塊，選取與新知有相似關(guān)系的圓錐曲線進(jìn)行類比聯(lián)系，喚醒學(xué)生已有的思維策略和思維方法.建系，設(shè)點，列式，化簡，證明，是學(xué)生熟悉的橢圓、雙曲線的研究方法，用其來審視拋物線，并將其遷移應(yīng)用于拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)之中，能成功推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.這種有序的研究思路，能從整個圓錐曲線的知識模塊中進(jìn)行類化方法系統(tǒng)，提升數(shù)學(xué)觀念.

二、理解教學(xué) 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之道

理解教學(xué)，就是靈活選擇教學(xué)活動的組織方式，引導(dǎo)學(xué)生以研學(xué)視野從不同角度看待問題、分析問題和思考問題，形成對一個問題更準(zhǔn)確、更全面和更深刻的認(rèn)識.課堂創(chuàng)新的本質(zhì)在于教學(xué)過程中如何激發(fā)學(xué)生更好地思考，重視思維化教學(xué).教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生確立研究意愿，明確研究對象的一般邏輯順序，有意識地讓學(xué)生確立研究的框架和手段，引導(dǎo)學(xué)生注重內(nèi)容、路徑、方法的歸納總結(jié)，幫助學(xué)生由“學(xué)科思維”逐步走向“學(xué)會思維”，由“認(rèn)同性思維”走向“批判性思維”.

【教學(xué)實錄】拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)模塊的研學(xué)過程

師（給出圖1）：研究了拋物線的定義后，下面我們應(yīng)該做什么？

圖1

生（齊答）：推導(dǎo)方程.

師：推導(dǎo)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般要經(jīng)歷哪些過程？

生（齊答）：建系，設(shè)點，列式，化簡，證明.

師：很好，請大家來推導(dǎo)一下拋物線的方程，然后小組交流.為了研究的方便，我們統(tǒng)一約定定點F與定直線l間的距離為p.

（學(xué)生自行研究推導(dǎo)，并進(jìn)行小組交流）

師：哪位同學(xué)來展示一下研學(xué)成果？

生1：我們以直線l為y軸，以過點F垂直于l的直線為x軸，建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系.

圖2

師：很好，具體推導(dǎo)過程給大家講一講.

生 1：如圖 2，顯然定點F(p,0)，設(shè)拋物線上任意一點M(x,y)，M在定直線l上的投影為M′. 根據(jù)題意MF=MM′，即化簡可得方程為y2=2px-p2.

師：從建系，設(shè)點，列式，化簡等研究步驟來看，上面的推導(dǎo)很完整，大家有沒有問題？

生2：我有一個疑問，等式中出現(xiàn)了x的絕對值，為什么？

師：這是一個很好的問題，大家想想這是為什么？要不要加？

生1：x的絕對值代表點到y(tǒng)軸的距離，如果點M(x,y)在點M′的左邊，這時候必須要加.

師：這位同學(xué)提出了一個很好的話題，涉及拋物線的不同開口方向問題，這一點，我們在后面會繼續(xù)研究.

師：還有其他的建系和推導(dǎo)方式嗎？

生2：我們是以F點為原點，平行于直線l的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，我們得到的方程為y2=2px+p2.（圖略）

生3：我們推導(dǎo)的方程更為簡單.我們在初中研究的拋物線，大多頂點在原點，因此，我們?nèi)∵^點F且垂直于l的直線為x軸，x軸與l交于N，以線段NF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，我們得出的方程為y2=2px.（圖略）

師：同學(xué)們的研究能力太強(qiáng)了.其實，建系的方式可以有n種，得出的拋物線方程也會有n種不同的形式.但這些方程有內(nèi)在關(guān)聯(lián).

生（一臉茫然）：有關(guān)聯(lián)嗎？

師：（幾何畫板演示，如圖3）我們可以從圖象的左右平移中發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，看出方程間的關(guān)系.

圖3

師：所以，我們把形如y2=2px(p＞ 0)的方程叫作拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：剛才有同學(xué)提出了拋物線的開口方向問題，我們來思考一下，可能會有幾種常見的不同開口方向？

生4：應(yīng)該有四種吧.向右，向左，向上，向下.我不太確定.

師：好的.按照這位同學(xué)的猜想，大家來推導(dǎo)一下相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程.（學(xué)生小組合作進(jìn)行推導(dǎo)并交流）

師：哪個小組來展示一下？

生5：我們組的研究結(jié)果是這樣的.（展臺展示，教師指正修改，如圖4）

圖4

圖5

師：不錯，這個組以拋物線的頂點為原點，推導(dǎo)了4 種形式的拋物線方程.我們把形如y2=2px(p＞0) ，y2=-2px(p＞ 0) ，x2=2py(p＞ 0)，x2=-2py(p＞ 0)都稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

師：我們來繼續(xù)研究. 對于形如y2=2px(p＞0)的拋物線，我們知道其開口向右，頂點為(0 ,0 )，焦點準(zhǔn)線方程為x=那么其他開口方向的拋物線的性質(zhì)是怎樣的？請大家繼續(xù)研究.

生6：（展臺展示，教師及時指正）我們的研究結(jié)果如圖5.

【設(shè)計意圖】模塊化研學(xué)通過遷移進(jìn)階化、思維可視化，加深對關(guān)聯(lián)概念之間差異性的認(rèn)識，著力培養(yǎng)學(xué)生形成說理、批判、質(zhì)疑、反思的理性思維習(xí)慣.本模塊的學(xué)習(xí)，借助熟悉的研究圓錐曲線的框架流程，以三種不同形式的建系方式，得出相應(yīng)的方程，關(guān)聯(lián)比較后，自然得出標(biāo)準(zhǔn)方程.在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)不同開口方向的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，并相應(yīng)得出性質(zhì).這種從統(tǒng)領(lǐng)性問題出發(fā)，以一般性研究視角，不斷地將新概念納入已有概念體系，幫助學(xué)生在相互聯(lián)系中認(rèn)識其本質(zhì)，形成知識的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗.

三、理解學(xué)生 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之要

理解學(xué)生，就是研判將學(xué)的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)的聯(lián)系，明察學(xué)生的思維層次，順應(yīng)學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，創(chuàng)造適合學(xué)生認(rèn)知水平且有挑戰(zhàn)性的研學(xué)活動，不斷豐富學(xué)生研學(xué)的視野，提煉一般的數(shù)學(xué)思想，建立研究問題的框架導(dǎo)圖.結(jié)構(gòu)性思維的確立，教師要作為教學(xué)活動的引導(dǎo)者和組織者，通過設(shè)計新穎而不斷深入的問題情境，體現(xiàn)對學(xué)生探索、求知的尊重，引導(dǎo)學(xué)生確立研究問題的思維路徑，不斷地發(fā)現(xiàn)問題、生成問題，然后完善問題、發(fā)展問題.

【教學(xué)實錄】拋物線性質(zhì)的研學(xué)過程

師：認(rèn)識了拋物線的性質(zhì)，下面我們一起來研究例1.（過程略）

例1求拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

變式探究1求拋物線x2=4y的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

變式探究2求拋物線y=4x2的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

變式探究3求拋物線y2=ax(a≠0)的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

【設(shè)計意圖】模塊化研學(xué)通過概念理解、變式驅(qū)動、知能入框三大環(huán)節(jié)，實現(xiàn)理解數(shù)學(xué)概念、解釋數(shù)學(xué)思想、反思數(shù)學(xué)思維的效能.本模塊圍繞一個母題進(jìn)行變式研究，通過不同形狀位置的反復(fù)變換，結(jié)合數(shù)形結(jié)合和分類討論兩種數(shù)學(xué)思想，確立“先定形，后定量”的同一類問題的思維導(dǎo)圖.這種基于一個問題的深度變式研究，能讓學(xué)生學(xué)會猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路與方法，也讓學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識逐步明朗且不斷深化，實現(xiàn)對核心問題的“明朗化”和“再聚焦”.

四、理解技術(shù) 高中數(shù)學(xué)模塊化研學(xué)之效

理解技術(shù)，就是緊密圍繞課堂教學(xué)主線，在思維的疑難處和關(guān)鍵處，通過技術(shù)創(chuàng)設(shè)直觀的教育形態(tài)，突破學(xué)生思維的難點和盲點，促進(jìn)更深層次的遷移性學(xué)習(xí).現(xiàn)代教育技術(shù)具有“思維可視化”的特點，能突破傳統(tǒng)教學(xué)無法給學(xué)生提供的動態(tài)展示，使得抽象的數(shù)學(xué)模型變得直觀化，也讓學(xué)生數(shù)學(xué)地“看”和“學(xué)”有了更多的可能.合理使用教育技術(shù)，不僅可以改善課堂的教學(xué)形態(tài)，也為學(xué)生理解數(shù)學(xué)提供了新的認(rèn)知途徑，思維時空得到突破，思維能力得到增強(qiáng)，探尋數(shù)學(xué)新知的能力得到鍛煉.

【教學(xué)實錄】拋物線定義理解模塊的研學(xué)過程

師：給出拋物線的定義.在平面內(nèi)，與一個定點F和一條定直線l（l不經(jīng)過點F）的距離相等的點的軌跡叫拋物線.（幾何畫板進(jìn)行演示）

師：同學(xué)們，審視一下拋物線的定義，有怎樣的啟示？

（學(xué)生進(jìn)行小組討論）

生：一個定點F和一條定直線l.

生：l不經(jīng)過點F.

師（追問）：如果l經(jīng)過點F，則點的軌跡是什么？

生：（展開討論）是過點F且垂直于l的一條直線.

（教師用幾何畫板進(jìn)行驗證）

師：（板書）拋物線的定義可以概括為：一動三定.一動：即形成軌跡的動點M.三定：即一定點：F為焦點；一定直線：l為拋物線的準(zhǔn)線；一定值：點M到點F的距離與它到定直線l的距離相等.

師：（總結(jié)）平面內(nèi)到一定點距離與到一定直線距離相等的點的軌跡不一定是拋物線.當(dāng)直線l經(jīng)過點F時，點的軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線；當(dāng)l不經(jīng)過點F時，點的軌跡是拋物線.

【設(shè)計意圖】模塊化研學(xué)的過程體現(xiàn)為抽象化認(rèn)識、圖表化演繹、研學(xué)化推進(jìn)、框架化構(gòu)建的特點，學(xué)生不斷提煉總結(jié)，從思路、知識、方法等方面進(jìn)行歸納，形成模塊的思維邏輯結(jié)構(gòu).本節(jié)課，教育技術(shù)的使用雖然不多，但在本模塊的學(xué)習(xí)中，緊扣拋物線概念的組成要素，針對l不經(jīng)過點F的知識模糊點等，借助幾何畫板進(jìn)行一般觀念的直觀驗證，有利于學(xué)生深刻理解概念，形成研學(xué)思考的習(xí)慣.同時，在拋物線方程的推導(dǎo)過程中，為發(fā)現(xiàn)在不同建系方式下得出的不同方程間的內(nèi)在聯(lián)系，借助幾何畫板，通過圖象移動，直觀地呈現(xiàn)出不同方程的內(nèi)在聯(lián)系，自然地引出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，有利于學(xué)生從形象思維和直覺思維過渡到邏輯思維.

總之，追尋數(shù)學(xué)的本源，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，體悟數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵，培育分析探求、解決問題的科學(xué)思維習(xí)慣和理性精神，高中模塊化研學(xué)應(yīng)當(dāng)可以有更大的作為.