肖 武,韓 丹,劉志斌,陳 琳,馬南南

(1.中石化股份公司勝利油田分公司勘探開(kāi)發(fā)研究院，東營(yíng) 257000；2.中國(guó)石油冀東油田分公司陸上油田作業(yè)區(qū)，唐山 063004；3.西南石油大學(xué)理學(xué)院，成都 610500)

石油是國(guó)家的戰(zhàn)略能源，中國(guó)油藏地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜。油藏類型多樣，如淺層天然水驅(qū)油藏、中、深層注水開(kāi)發(fā)油藏、深層低滲透油藏、溶解氣驅(qū)油藏、潛山碳酸鹽巖等。當(dāng)油田開(kāi)發(fā)達(dá)到一定階段時(shí)，為了增加產(chǎn)量必須實(shí)施增產(chǎn)措施，不同類型油田所需的增產(chǎn)措施不同[1]。常見(jiàn)的措施有二氧化碳吞吐、壓裂、酸壓、解堵、反抽等，每種措施的增產(chǎn)效果受多種因素的影響[2-3]。增產(chǎn)措施效果直接影響油田的經(jīng)濟(jì)效益，較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)措施增加產(chǎn)量可以對(duì)油井準(zhǔn)確實(shí)施合適的增產(chǎn)措施，從而使油田的效益最大化[4-5]，所以措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)對(duì)油田的高效開(kāi)發(fā)具有重要的意義。

多因素灰色預(yù)測(cè)模型被Deng[6]提出后就一直被改進(jìn)。一些學(xué)者改進(jìn)了單變量線性灰色模型，Wang等[7]提出了一種改進(jìn)的灰色預(yù)測(cè)模型PRGM(1,1)，集成了粒子群優(yōu)化算法和數(shù)據(jù)指數(shù)預(yù)處理方法從而擴(kuò)展了預(yù)測(cè)模型的適用性。Wei等[8]將背景系數(shù)引入灰色多項(xiàng)式模型，提出了多項(xiàng)式階數(shù)選擇、背景系數(shù)搜索和參數(shù)估計(jì)的算法框架，推導(dǎo)了累加序列仿射變換與參數(shù)估計(jì)之間的定量關(guān)系。Wang等[9]建立了灰色Verhulst模型，為了避免在建模理論中代入微分方程的差分方程產(chǎn)生的誤差，推導(dǎo)了非等間隙模型，并將微分模型應(yīng)用于研究CO2排放與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。Ayvaz等[10]為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)電量消耗提出了非齊次離散微分模型并驗(yàn)證了模型的有效性。隨著發(fā)展單變量非線性灰色模型也得到了改進(jìn)。Wang等[11]為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)中國(guó)具有非線性小樣本特征的高科技企業(yè)的主要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，提出了一種優(yōu)化非線性灰色伯努利模型求解最優(yōu)參數(shù)最終建立了優(yōu)化模型。Wu等[12]提出了一種將灰色累積生成技術(shù)與Holt-Wins方法相結(jié)合的空氣質(zhì)量指數(shù)預(yù)測(cè)模型，提高了空氣質(zhì)量指標(biāo)預(yù)測(cè)精度。Wang等[13]采用非線性最小二乘法建立了灰色Bass模型并給出了微分方程的白化解，解決了新產(chǎn)品擴(kuò)散預(yù)測(cè)問(wèn)題。Wu等[14]提出了一種基于灰色關(guān)聯(lián)分析的最小二乘支持向量機(jī)模型，并設(shè)計(jì)了加權(quán)自適應(yīng)二階粒子群優(yōu)化算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，將模型成功應(yīng)用到天然氣消耗預(yù)測(cè)中。Ren等[15]提出了一種非等間距非齊次指數(shù)微分模型并成功應(yīng)用于循環(huán)荷載作用下的累積塑性變形預(yù)測(cè)。Cui等[16]為了提高微分預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，提出了一種新的灰色預(yù)測(cè)模型及其優(yōu)化模型，建立了用最小二乘法求解新模型參數(shù)的計(jì)算公式，并利用微分方程進(jìn)行推導(dǎo)，得到了微分模型的時(shí)間響應(yīng)序列。但是預(yù)測(cè)指標(biāo)往往受多種因素影響，所以一些學(xué)者對(duì)多變量非線性灰色模型進(jìn)行改進(jìn)。Zeng等[17]發(fā)現(xiàn)了傳統(tǒng)多變量微分模型中建模機(jī)制、參數(shù)估計(jì)和模型結(jié)構(gòu)是造成模型精度低下的三大主要原因，在傳統(tǒng)模型基礎(chǔ)上引入線性修正項(xiàng)和灰色作用量項(xiàng)來(lái)改進(jìn)模型的性能，新模型具有更合理的建模過(guò)程和更穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，解決了傳統(tǒng)模型的三個(gè)缺陷。Zeng等[18]提出了一種新多變量的基于動(dòng)態(tài)背景值系數(shù)的微分模型，利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)動(dòng)態(tài)背景值系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，推導(dǎo)出新模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)和最終恢復(fù)表達(dá)式，并用高斯函數(shù)對(duì)模型進(jìn)行了證明和簡(jiǎn)化。Deng等[19]提出了一種信息單元的數(shù)值映射算法，將生物分子序列的基礎(chǔ)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模的數(shù)字序列。在此基礎(chǔ)上，利用多元微分模型分析了小尺度碎片能量的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)，了解了遺傳信息的存在。Li等[20]建立了灰色關(guān)聯(lián)分析與微分模擬聯(lián)合模型，研究了區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展系統(tǒng)中人口、資源、經(jīng)濟(jì)和環(huán)境系統(tǒng)之間的相互協(xié)調(diào)關(guān)系。Hsu[21]研究了多因素微分模擬模型，并將模型應(yīng)用研究了臺(tái)灣獨(dú)立銀行的破產(chǎn)概率與宏觀經(jīng)濟(jì)的關(guān)聯(lián)關(guān)系。Tien[22]指出了傳統(tǒng)多因素微分模型利用一階累加生成序列計(jì)算存在的問(wèn)題，并提出了通過(guò)卷積積分或用初等函數(shù)擬合模型項(xiàng)來(lái)建立正確的模型。

當(dāng)預(yù)測(cè)指標(biāo)受多因素影響時(shí)，多種因素的時(shí)間序列變化規(guī)律就決定了預(yù)測(cè)指標(biāo)的變化趨勢(shì)，一階累加生成個(gè)算子(1-AGO)一般用于灰色預(yù)測(cè)模型中的初始數(shù)據(jù)處理，此種處理方式是將新舊時(shí)間序列數(shù)據(jù)的影響程度同等對(duì)待，但是不同時(shí)期的影響因素?cái)?shù)據(jù)可能對(duì)預(yù)測(cè)指標(biāo)的影響程度不同，為了權(quán)衡影響因素新舊數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)指標(biāo)的影響程度分?jǐn)?shù)階累加生成算子被提出。Mao等[23]提出了一種擴(kuò)展的單因素分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測(cè)模型，Yang等[24]通過(guò)利用傅里葉級(jí)數(shù)表示殘余項(xiàng)從而改進(jìn)了分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)性能，其他學(xué)者也改進(jìn)了分?jǐn)?shù)階灰色預(yù)測(cè)模型[25-28]。

灰色預(yù)測(cè)模型參數(shù)的確定一般采用最小二乘法[29-31]，但是否是誤差平方和越小對(duì)應(yīng)著指標(biāo)預(yù)測(cè)誤差也就越小。誤差平方和中誤差項(xiàng)越大所起到的作用越大，而誤差項(xiàng)越小所起到的作用越小。當(dāng)存在異常值時(shí)，模型與整體定律的偏差明顯。當(dāng)系數(shù)較大時(shí)，數(shù)據(jù)與全律的變化隨數(shù)據(jù)值的增大而增大，所以進(jìn)一步優(yōu)化模型的參數(shù)是必要的。

基于調(diào)研研究發(fā)現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化下的多因素分?jǐn)?shù)階微分模擬預(yù)測(cè)模型研究較少，提出一種基于參數(shù)優(yōu)化的多因素分?jǐn)?shù)階微分模擬預(yù)測(cè)模型，旨在建立一種多因素下措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)模型，以便為措施的評(píng)價(jià)與措施優(yōu)化提供研究基礎(chǔ)。首先建立多因素分?jǐn)?shù)階微分模擬系統(tǒng)模型，并給出模型參數(shù)求解方法和參數(shù)與分?jǐn)?shù)階優(yōu)化的方法；綜合考慮油田實(shí)際的措施增產(chǎn)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的可行性及數(shù)據(jù)參數(shù)變化規(guī)律，確定影響二氧化碳吞吐措施與壓裂措施增產(chǎn)的主要影響因素，并將建立的微分模擬進(jìn)行措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)，利用部分措施增產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)訓(xùn)練，利用其余增產(chǎn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)情況，通過(guò)評(píng)價(jià)模型計(jì)算結(jié)果證明微分模擬模型預(yù)測(cè)的有效性。

1 模型建立與參數(shù)優(yōu)化

1.1 模型建立

定義：X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(m)}為原始序列，m為變量的個(gè)數(shù)。X(r)={x(r)(1),x(r)(2),…,x(r)(m)} (r∈R+)為X(0)的r階累加序列(r-AGO)，r為階數(shù)。其中:

k=1,2,…,m

(1)

(2)

(3)

式中：a、bi、u為參數(shù)，將式(3)代入式(2)中，令t=k,可以得到：

(4)

式(4)中：α1、αi、β為參數(shù)分別為

(5)

(6)

其中:

(7)

多因素分?jǐn)?shù)階灰色微分方程微分求解可得到第k+1個(gè)時(shí)刻的r階預(yù)測(cè)值，結(jié)果如式(8)所示：

(8)

根據(jù)逆累加生成算子原理，可以得到第k+1個(gè)時(shí)刻的0階預(yù)測(cè)值:

(9)

1.2 參數(shù)優(yōu)化

1.2.1 分?jǐn)?shù)階微分模型參數(shù)優(yōu)化

(10)

式(10)可以簡(jiǎn)寫(xiě)成為

(11)

式(11)中：

(12)

(13)

1.2.2 分?jǐn)?shù)階優(yōu)化

在最小平均相對(duì)誤差條件下，運(yùn)用粒子群算法對(duì)分?jǐn)?shù)階微分模型的分?jǐn)?shù)階進(jìn)行優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)如式(14)所示：

(14)

圖1展示了粒子群算法的結(jié)構(gòu)流程。運(yùn)用粒子群算法[32]優(yōu)化分?jǐn)?shù)階的步驟如下。

圖1 粒子群算法優(yōu)化結(jié)構(gòu)流程Fig.1 PSOA program flowchart of fractional order optimization

步驟1隨機(jī)初始化粒子群中粒子的位置和速度，一般可取pB=1。

步驟2將粒子中pB設(shè)置為當(dāng)前位置，gB設(shè)置為最佳位置。

步驟3計(jì)算當(dāng)r=pB時(shí)分?jǐn)?shù)階微分模型的平均相對(duì)誤差F(pB),δ為給定的收斂值，如果|F(pB)-F(gB)|≤δ，則r=gB。如果|F(pB)-F(gB)|>δ,繼續(xù)下一步。

步驟4更新粒子的位置與速度：

V=ωV+c1ra(pB-P)+c2ra(gB-P)

(15)

式(15)中：ωV為粒子的速度，ra為隨機(jī)數(shù)，P為目前位置，c1、c2為學(xué)習(xí)因子。

P=P+V

(16)

(17)

如果粒子適應(yīng)度優(yōu)于pB,則pB設(shè)置為新位置，如果粒子適應(yīng)度優(yōu)于gB,則gB設(shè)置為新位置；

步驟5計(jì)算群體適應(yīng)度方差σ2并計(jì)算F(gB)。

(18)

(19)

步驟6計(jì)算變異概率pm：

(20)

步驟7生成隨機(jī)數(shù)ε∈[0,1]，如果ε

gBk=gBk(1+0.5η)

(21)

步驟8如果ε≥pm，判斷收斂準(zhǔn)則是否滿足，如果不滿足轉(zhuǎn)到步驟3，如果滿足轉(zhuǎn)向下一步。

2 評(píng)價(jià)模型

采用三種統(tǒng)計(jì)準(zhǔn)則對(duì)分?jǐn)?shù)階微分預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行了評(píng)價(jià)，分別是決定系數(shù)(R2)、根均方誤差(RMSE)、平均絕對(duì)百分誤差(MAPE)。R2用于識(shí)別觀測(cè)數(shù)據(jù)值和模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)值之間的擬合優(yōu)度；RMSE是最常用監(jiān)測(cè)預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值不一致的方法之一，可以指示模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確程度；MAPE常用于評(píng)估預(yù)測(cè)模型的整體預(yù)測(cè)性能。

(22)

(23)

(24)

式中：xi,e為實(shí)際觀測(cè)值；xi,p為預(yù)測(cè)值；xi,a為實(shí)際觀測(cè)值的平均值。

3 模型應(yīng)用及結(jié)果分析

在油田開(kāi)發(fā)的中后期，由于地層能量的損失油田產(chǎn)量遞減逐漸嚴(yán)重，為了提高油田的產(chǎn)量保證油田的經(jīng)濟(jì)效益，必須對(duì)油井實(shí)施增產(chǎn)措施，油田的增產(chǎn)措施有多種，一般常規(guī)增產(chǎn)措施有二氧化碳吞吐、壓裂、酸壓、解堵、反抽等，不同措施對(duì)不同類型的油井增產(chǎn)效果不同，措施的優(yōu)化選擇決定了油井增產(chǎn)的效果和油田的經(jīng)濟(jì)效益，然而油田的措施優(yōu)選的主要依據(jù)是措施的增產(chǎn)效果，所以油田措施增產(chǎn)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)可以為措施選擇與優(yōu)化提供重要依據(jù)。為此對(duì)二氧化碳吞吐與壓裂兩種措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)進(jìn)行了研究，影響二氧化碳吞吐與壓裂增產(chǎn)的因素很多，包括剩余油飽和度、儲(chǔ)層厚度、地層壓力、黏度、自然裂縫滲透率、孔隙度、人工構(gòu)造滲透率、人工裂縫長(zhǎng)度、注采工藝等，但在一定時(shí)期內(nèi)的采油過(guò)程中，有些因素保持不變或者變化非常微小，有些因素有一定變化且數(shù)據(jù)信息相對(duì)容易獲得。綜合考慮油井增產(chǎn)的所有因素，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)措施增產(chǎn)，但準(zhǔn)確獲取所有影響因素的數(shù)據(jù)信息是困難或者說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此在研究二氧化碳吞吐與壓裂措施增產(chǎn)效果預(yù)測(cè)時(shí)，僅選取了部分主要的影響因素?cái)?shù)據(jù)作為控制變量，此處的主要影響因素個(gè)數(shù)可以根據(jù)油田措施增產(chǎn)實(shí)際采集數(shù)據(jù)信息進(jìn)行調(diào)整，可以增加或者減少主要的因素個(gè)數(shù)。表1展示了選取的主要因素。

表1 措施增產(chǎn)主控因素Table 1 Main control factors for well stimulation

單因素分析法是研究油田措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)的有效方法。為了研究油井增產(chǎn)措施對(duì)增加產(chǎn)量的影響，應(yīng)研究同一口油井實(shí)施增產(chǎn)措施的增產(chǎn)情況，改變影響增產(chǎn)措施的單個(gè)變量，來(lái)觀察增產(chǎn)效果，從而找到所有影響因素的作用效果。但油井增產(chǎn)措施實(shí)施周期較長(zhǎng)且成本較高，利用單因素分析法研究措施增油預(yù)測(cè)模型幾乎是不可能實(shí)現(xiàn)的。因此，選取了中國(guó)某油田同一區(qū)塊同樣地質(zhì)類型且實(shí)施同種增產(chǎn)措施的多口油井進(jìn)行措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)研究。獲取了油井2015—2016年24個(gè)月的連續(xù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，將每個(gè)月所有油井指標(biāo)數(shù)據(jù)的平均值作為研究的數(shù)據(jù)值，得到了如表2、表3所示的實(shí)際數(shù)據(jù)信息。表2所示為二氧化碳吞吐措施增油量(x0)及影響二氧化碳吞吐增油量的主要影響因素剩余油飽和度(x1)、地層壓力系數(shù)(x2)與吞吐輪次(x3)的關(guān)系。如表3所示壓裂措施增油量(y0)及影響壓裂措施增產(chǎn)的主要影響因素剩余油飽和度(y1)、儲(chǔ)層滲透率(y2)與預(yù)計(jì)裂縫半長(zhǎng)(y3)的關(guān)系。

表2 二氧化碳吞吐措施增產(chǎn)數(shù)據(jù)Table 2 Data on increasing production of CO2huff and puff

為了說(shuō)明所建立的參數(shù)優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階微分模型(M3)預(yù)測(cè)效果，選取了多元回歸模型(M1)與多元灰色系統(tǒng)預(yù)測(cè)模型(M2)兩種傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)效果對(duì)比。所有模型均使用前18個(gè)月的措施增產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型參數(shù)訓(xùn)練，運(yùn)用后6個(gè)月的增產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)模型的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行評(píng)價(jià)。三種預(yù)測(cè)模型分別對(duì)二氧化碳吞吐與壓裂增產(chǎn)措施增產(chǎn)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，增產(chǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果如表4、表5所示。

表3 壓裂措施增產(chǎn)數(shù)據(jù)Table 3 Data on increasing production of fracturing

表4 二氧化碳吞吐措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 4 Forecast result of increasing production CO2 huff and puff

續(xù)表4

表5 壓裂措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果Table 5 Forecast result of increasing production fracturing

從表4可以發(fā)現(xiàn)參數(shù)優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階微分模型(M3)在訓(xùn)練數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的MAPE均小于其他兩種模型的數(shù)值；模型M3的評(píng)價(jià)指標(biāo)RMSE小于其他兩種模型的數(shù)值，反映了M3模型的優(yōu)越性；模型M3的R2更接近于1，說(shuō)明模型M3預(yù)測(cè)效果較好；綜合三種評(píng)價(jià)指標(biāo)分析，在三種預(yù)測(cè)模型中模型M3對(duì)二氧化碳吞吐措施增產(chǎn)的預(yù)測(cè)效果最好。

從表5可以發(fā)現(xiàn)模型(M3)在訓(xùn)練數(shù)據(jù)的MAPE小于其他兩種模型的數(shù)值；模型M3的評(píng)價(jià)指標(biāo)RMSE與模型M2的RMSE非常接近且均小于M1模型的RMSE；三種模型的R2均小于0，說(shuō)明三種模型的R2評(píng)價(jià)均不理想，但在MAPE值評(píng)價(jià)中模型M3的值最小，說(shuō)明模型M3的預(yù)測(cè)誤差在三者中最小，綜合三種評(píng)價(jià)指標(biāo)分析，在對(duì)壓裂措施增產(chǎn)的預(yù)測(cè)中模型M3效果最好。

圖2 各模型對(duì)二氧化碳吞吐措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)Fig.2 Increased production prediction of CO2 huff and puff by each models

圖2分別展示了模型M1、M2與M3對(duì)二氧化碳吞吐措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果及預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)的對(duì)比曲線。圖3分別展示了模型M1、M2與M3對(duì)壓裂措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)結(jié)果預(yù)測(cè)值與原始數(shù)據(jù)的對(duì)比曲線，共有24組數(shù)據(jù)，其中前18組數(shù)據(jù)為模型參數(shù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其余6組數(shù)據(jù)用于模型預(yù)測(cè)結(jié)果檢驗(yàn)，從圖3曲線可以發(fā)現(xiàn)模型M3的擬合與預(yù)測(cè)能力都優(yōu)于其他兩種預(yù)測(cè)模型，展現(xiàn)了M3模型對(duì)油田措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)的優(yōu)勢(shì)。

圖3 各模型對(duì)壓裂措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)Fig.3 Increased production prediction of fracturing by each models

4 結(jié)論

為了解決油田措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)問(wèn)題建立了參數(shù)優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階微分模擬預(yù)測(cè)模型，通過(guò)模型建立與模型的實(shí)際應(yīng)用及效果評(píng)價(jià)分析得到以下認(rèn)識(shí)與結(jié)論。

(1)參數(shù)優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階微分模擬預(yù)測(cè)模型具有改變不同時(shí)間數(shù)據(jù)作用權(quán)重與優(yōu)化預(yù)測(cè)性能提升的特點(diǎn)。

(2)通過(guò)預(yù)測(cè)性能的對(duì)比，參數(shù)優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階微分模擬預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)性能優(yōu)于一般的預(yù)測(cè)模型。

(3) 參數(shù)優(yōu)化的分?jǐn)?shù)階微分模擬預(yù)測(cè)模型能對(duì)二氧化碳吞吐措施增產(chǎn)與壓裂措施增產(chǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，說(shuō)明模型具有一定的適應(yīng)性，模型可以用來(lái)進(jìn)行油田措施增產(chǎn)預(yù)測(cè)研究。