周 飛,張 炎,唐詩華,邢鵬威 ,張 躍

(1.廣西壯族自治區(qū)基礎(chǔ)地理信息中心，南寧 530023；2.桂林理工大學(xué)測(cè)繪地理信息學(xué)院，桂林 541006；3.廣西空間信息與測(cè)繪重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，桂林 541006)

隨著現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)的快速發(fā)展，全球定位技術(shù)(global positioning system，GPS)在測(cè)繪工作中的應(yīng)用得以廣泛推廣，但GPS直接測(cè)定的是大地高，而實(shí)際工程中常用到的是正常高，兩者之前存在一個(gè)高程異常值，因此如何獲取高精度的高程異常值是GPS測(cè)量工作有待解決的問題[1]。目前常將粒子群算法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能算法應(yīng)用于GPS高程擬合模型的構(gòu)建，近一步提高了待求高程異常值的精度。蒲倫等[2]提出了利用粒子群算法對(duì)傳統(tǒng)多面函數(shù)擬合方法進(jìn)行優(yōu)化處理，近一步提高了多面函數(shù)中特征值的搜索效率，為擬合模型的構(gòu)建提供了合理的必要擬合參數(shù)。劉斌等[3]利用“移去-擬合-恢復(fù)”的思想，引出了基于EGM2008模型，并考慮地形因素影響的二次曲面擬合GPS高程的方法，模型的精度得到提高。劉建等[4]提出采用遺傳算法優(yōu)化徑向基(radial basis function,RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來達(dá)到全局搜索最佳徑向基函數(shù)中心值的目的，使得擬合模型能夠更好地預(yù)測(cè)高程。最小二乘支持向量機(jī)(least squares support vector machine,LSSVM)利用少量的數(shù)據(jù)樣本可以達(dá)到較好的高程擬合效果，關(guān)鍵之處在于最小二乘支持向量機(jī)中的正則化參數(shù)c和核參數(shù)σ，常規(guī)LSSVM擬合法中參數(shù)的優(yōu)化常選用交叉驗(yàn)證法，但其存在計(jì)算量大且耗時(shí)長(zhǎng)的缺陷，往往難以選定最佳參數(shù)值，擬合模型精度也難以達(dá)到期望值。尋求合適的方法提取最佳的參數(shù)值可以使擬合模型的精度得到進(jìn)一步提升[5-6]。

相比其他智能算法，人工蜂群算法(artificial bee colony,ABC)具備參數(shù)少、計(jì)算簡(jiǎn)潔、可全局搜索最優(yōu)值的特性[7]，現(xiàn)提出利用人工蜂群算法來優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)的GPS高程擬合方法，利用人工蜂群算法能夠快速廣泛有效的尋求最優(yōu)值的優(yōu)勢(shì)，為最小二乘支持向量機(jī)在規(guī)定的范圍內(nèi)找出最佳參數(shù)值，最終利用少量GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn)來構(gòu)建GPS高程擬合模型。

1 基本理論

1.1 人工蜂群算法

人工蜂群優(yōu)化算法是一種模仿蜜蜂尋找蜜源過程的生物智能優(yōu)化算法。一個(gè)蜂群中根據(jù)群內(nèi)工作的不同常常分為引領(lǐng)蜂、隨行蜂、偵查蜂三種類型，其中引領(lǐng)蜂的工作是將發(fā)現(xiàn)的食物源的信息傳遞和分享給其他在蜂穴中等待的伙伴，所傳的信息包括蜜源的方向、距離及存在的概率，隨行蜂在接收到引領(lǐng)蜂傳遞的消息后，嘗試尋找蜜源的具體位置，偵查蜂是尋找新的蜜源[8-9]。在蜜源搜尋工作中，引領(lǐng)蜂和隨行蜂各占蜂群的一半，其整個(gè)過程可以被理解為求取目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的過程。具體原理如下：

ABC首先要隨機(jī)產(chǎn)生類似于蜜源最佳位置的初始值xi(i=1,2,…,N),且N為蜂群蜜蜂的數(shù)量，待求解的空間大小與xi的范圍一致，蜜源的初始位置可以表示為

xi=md+rand(0,1) (md+Md)

(1)

式(1)中：md表示搜索范圍的最小邊界值；Md表示搜索范圍的最大邊界值；蜜源初始值隨機(jī)分布在(md,Md)的范圍內(nèi)。引領(lǐng)蜂在初始蜜源的周圍尋找新的蜜源Xj(j=1,2,…,N)，且新的蜜源位置不等于初始蜜源位置，可表示為

Xi=xi+φ(xi-xj)

(2)

式(2)中：φ是一個(gè)分布在[-1,1]之間的隨機(jī)數(shù)，利用貪婪算法來評(píng)價(jià)兩個(gè)蜜源的適應(yīng)度fit，決定進(jìn)行更新或保留原先蜜源：

(3)

式(3)中：fi為目標(biāo)函數(shù)值，進(jìn)一步需要計(jì)算隨行蜂跟從引領(lǐng)蜂尋找蜜源的概率：

(4)

隨行蜂的加入進(jìn)一步縮小搜索的范圍，并且每個(gè)隨行蜂根據(jù)在[0,1]內(nèi)產(chǎn)生的一個(gè)隨機(jī)數(shù)α來決定是否跟隨引領(lǐng)蜂，當(dāng)pi>α?xí)r，隨行蜂才會(huì)按照式(2)產(chǎn)生一個(gè)新蜜源，通過貪婪算法來決定應(yīng)保留的蜜源，在經(jīng)過有限的迭代次數(shù)后若仍未找到更優(yōu)蜜源，則化為偵查蜂，根據(jù)式(1)尋求新的蜜源，若未放棄，則做出判斷并保留最佳值。

1.2 最小二乘支持向量機(jī)

最小二乘支持向量機(jī)是由Suykens在原有支持向量機(jī)的基礎(chǔ)上提出的，支持向量機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、全局優(yōu)化、泛化能力較好等特性，而LSSVM在同時(shí)具備這些優(yōu)點(diǎn)之下還提高了收斂速度、化簡(jiǎn)了計(jì)算過程[10-11]。其具體步驟如下。

針對(duì)給定的訓(xùn)練集：

A={(x1,y1),(x2,y2),…,(xl,yl)}∈(Rn×Y)l

(5)

式(5)中：xi∈Rn，yi∈Y=R,i=1,2，…,l,利用非線性映射將樣本輸入映射到高維特征空間，構(gòu)造出高維特征空間的線性回歸函數(shù)：

g(x,w)=wTφ(x)+b

(6)

式(6)中：w為權(quán)值向量；b為閾值。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理，將其轉(zhuǎn)化為以下優(yōu)化問題：

s.t.yi=wTφ(xi)+b+ξi

(7)

式(7)中：c為正則化參數(shù)；ξ為誤差項(xiàng)；利用Lagrange函數(shù)和KKT(karush-kuhn-tucker)優(yōu)化條件可以求得LSSVM的函數(shù)模型：

Z(x)=ai[φ(xk)φ(xi)]+b

(8)

K(xk,xj)=[φ(xk)φ(xi)]

(9)

根據(jù)Hilbert-Schmidt原理，引入核函數(shù)[式(10)]，進(jìn)而將高維空間的內(nèi)積計(jì)算轉(zhuǎn)換為原空間中的函數(shù)的計(jì)算，解決了高維特征空間的計(jì)算問題，即：

(10)

選用徑向基核函數(shù)作為L(zhǎng)SSVM的核函數(shù)，以滿足GPS擬合建模需求，即：

(11)

從上面整個(gè)過程可以看出，利用最小二乘支持向量機(jī)構(gòu)建擬合模型只需要確定核函數(shù)參數(shù)σ和正則化參數(shù)c，相比原先，計(jì)算過程簡(jiǎn)潔許多。

2 ABC優(yōu)化LSSVM

與其他智能算法相比，人工蜂群算法在搜尋目標(biāo)函數(shù)最佳值的過程中不易受到自身參數(shù)的影響，且能夠進(jìn)行全局性搜查，避免了陷入局部最優(yōu)值的缺陷[12]。該算法為最小二乘支持向量機(jī)選擇最佳參數(shù)值，建立較高精度GPS高程擬合模型。ABC-LSSVM組合法的具體步驟如下：

(1)對(duì)收集的高程擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理。

(2)ABC算法參數(shù)初始化：蜂群規(guī)模N，蜜源數(shù)量N/2，蜜源連續(xù)沒被更新次數(shù)限值limit，最大迭代次數(shù)max,待優(yōu)化參數(shù)個(gè)數(shù)D，參數(shù)的搜尋區(qū)間。

(3)確定初始值：在有效的范圍內(nèi)隨機(jī)設(shè)置初始值，并計(jì)算出每個(gè)初始值所對(duì)應(yīng)的LSSVM預(yù)測(cè)的均方根誤差(RMSE),將其作為目標(biāo)函數(shù)。

(4)尋找新的蜜源：引領(lǐng)蜂利用式(2)對(duì)每個(gè)蜜源尋找產(chǎn)生新的蜜xi，并保證選擇的相鄰蜜源不是當(dāng)前蜜源及未超出范圍，計(jì)算變異后的蜜源的目標(biāo)函數(shù)值和適應(yīng)函數(shù)值，與當(dāng)前蜜源進(jìn)行比較，判斷當(dāng)前蜜源是否需要進(jìn)行更新，如果當(dāng)前蜜源未更新的次數(shù)超過限制limit,則放棄該蜜源，尋找新的蜜源。

(5)再次開發(fā)新的蜜源：引領(lǐng)蜂將更新完的蜜源信息傳遞給隨行蜂，隨行蜂經(jīng)過相應(yīng)的概率比較來決定是否要對(duì)新的蜜源進(jìn)行再次更新，若符合繼續(xù)開發(fā)的條件，隨行蜂進(jìn)行再次開發(fā)的步驟同(4),并保留下最優(yōu)蜜源(解)。

(6)迭代次數(shù)達(dá)到最大值max:當(dāng)隨行蜂的迭代次數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，沒有再找到新的更優(yōu)蜜源，則隨行蜂轉(zhuǎn)化為偵查蜂，偵查蜂會(huì)通過式(1)產(chǎn)生新的蜜源。

(7)判斷更新的蜜源是否滿足條件，當(dāng)新的蜜源(解)滿足最終要求，則保留最優(yōu)值，否則返回到(4)繼續(xù)尋找。

(8)LSSVM構(gòu)建GPS高程擬合模型：利用ABC優(yōu)化的最佳參數(shù)值，代入LSSVM中建立高程擬合模型，并通過檢測(cè)數(shù)據(jù)獲取擬合模型的內(nèi)外符合精度，進(jìn)行比較分析。

經(jīng)過多次迭代尋求最佳值的過程，ABC-LSSVM可以進(jìn)行全局性的搜尋到最佳參數(shù)，進(jìn)一步加快收斂的速度，最終獲取最佳擬合模型。

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 采集研究數(shù)據(jù)

為驗(yàn)證人工蜂群優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)擬合方法在構(gòu)建GPS高程擬合模型方面是否有效可行，同時(shí)與之前的方法構(gòu)建的模型進(jìn)行精度對(duì)比分析，選擇了廣西東北方向部分地方作為研究區(qū)，覆蓋面積約在100 km2,地形條件較為復(fù)雜，山地略多，在研究區(qū)域內(nèi)采集了41個(gè)GPS點(diǎn)數(shù)據(jù)，點(diǎn)之間相隔為1.5～2.5 km，并與水準(zhǔn)進(jìn)行了聯(lián)測(cè)，點(diǎn)位精度均滿足研究要求，為蜂群算法優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)擬合法提供必要的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)條件。在采集的41個(gè)GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn)中選擇出31個(gè)分布均勻的點(diǎn)用來構(gòu)建模型，剩余的10個(gè)GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn)用來檢驗(yàn)人工蜂群優(yōu)化后的擬合模型精度，點(diǎn)位分布如圖1所示。分別利用優(yōu)化后的最小二乘支持向量機(jī)擬合法與其他兩種方法在同一批GPS水準(zhǔn)重合點(diǎn)基礎(chǔ)上建立擬合模型，并對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

圖1 測(cè)區(qū)點(diǎn)位分布Fig.1 Distribution of points in the survey area

3.2 擬合模型精度分析

在利用人工蜂群算法優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)擬合法構(gòu)建模型時(shí)，需要對(duì)初始值及迭代次數(shù)進(jìn)行設(shè)置，將蜂群種群規(guī)模設(shè)置為20，蜜源連續(xù)沒被更新次數(shù)限值設(shè)置為100，最大迭代次數(shù)為80。由于LSSVM在進(jìn)行擬合模型的構(gòu)建時(shí)需要優(yōu)化的參數(shù)只有正則化參數(shù)c和核參數(shù)σ，因此待解問題的維數(shù)D=2，取值范圍均為(0.01,50),最后將擬合的結(jié)果與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法、常規(guī)LSSVM擬合法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。為初步驗(yàn)證擬合模型的穩(wěn)定及有效性，分別利用3種不同擬合方法進(jìn)行了多次試驗(yàn)，如表1所示為10次實(shí)驗(yàn)中模型的內(nèi)符合精度。

表1 三種擬合方法的內(nèi)符合精度比較Table 1 Comparison of internal accuracy of three fitting methods

根據(jù)表1統(tǒng)計(jì)可知，在10次的實(shí)驗(yàn)中，人工蜂群優(yōu)化后建立的模型內(nèi)符合精度均值為2.7 mm,常規(guī)LSSVM構(gòu)建模型均值為4.7 mm,BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法為5.6 mm,無論是均值還是10次實(shí)驗(yàn)中內(nèi)符合精度的波動(dòng)范圍，ABC-LSSVM組合擬合法構(gòu)建的模型均優(yōu)于其他兩種方法，且穩(wěn)定性更為理想。

為了更加詳細(xì)的對(duì)比分析3種方法的擬合效果，利用三種方法建立的擬合模型，獲取了10個(gè)擬合檢測(cè)點(diǎn)的高程異常值，并對(duì)檢測(cè)點(diǎn)的擬合殘差進(jìn)行對(duì)比分析(表2)。

從表2可以看出，ABC-LSSVM組合法的檢核點(diǎn)殘差平均值及殘差平方均值均要小于其他兩種方法，經(jīng)過對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可以看出該方法的擬合結(jié)果的變化范圍較小，擬合精度較高；而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法的變化范圍最大，擬合精度最為不穩(wěn)定，在用來建立GPS高程擬合模型時(shí)難以達(dá)到理想的精度；為了更近一步直觀地顯示ABC-LSSVM擬合法的有效可行性，繪制了10個(gè)檢核點(diǎn)的殘差變化對(duì)比圖(圖2)。

圖2 三種擬合方法的殘差對(duì)比Fig.2 Residual comparison of three fitting methods

圖2直觀形象地展示了人工蜂群優(yōu)化擬合法比常規(guī)最小二乘支持向量機(jī)擬合法更好。根據(jù)檢測(cè)點(diǎn)的殘差走勢(shì)圖可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法的殘差數(shù)值波動(dòng)最大，常規(guī)LSSVM的波動(dòng)略低于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，但相比與蜂群優(yōu)化法，其后5個(gè)檢核點(diǎn)的殘差值均高于蜂群優(yōu)化法，整體的波動(dòng)范圍遠(yuǎn)也大于蜂群優(yōu)化法，從總體精度上講，人工蜂群優(yōu)化擬合法的模型精度最佳，能夠充分的表示出實(shí)際地形特征，構(gòu)建的擬合模型精度也有所提高。

為增強(qiáng)10個(gè)檢核點(diǎn)的精度評(píng)定結(jié)果的可信度，更加形象地展示模型的精度，分別利用3種方法進(jìn)行多次試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)了15次實(shí)驗(yàn)中檢核點(diǎn)的外符合精度及均值，通過所有實(shí)驗(yàn)的平均值與單次的測(cè)量值進(jìn)行比較分析，獲取最為合理的GPS擬合模型的精度，最終的測(cè)試結(jié)果如表3所示。

表2 檢測(cè)點(diǎn)的擬合殘差對(duì)比Table 2 Comparison of fitting residuals of detection points

根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)可看出，無論是每次實(shí)驗(yàn)的外符合精度還是15次實(shí)驗(yàn)后的精度均值，人工蜂群改進(jìn)的擬合法均要優(yōu)于其他兩種方法，經(jīng)計(jì)算后蜂群改進(jìn)的擬合法構(gòu)建的擬合模型平均精度為±19.8 mm,在選用相同的一組測(cè)試數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，常規(guī)的LSSVM擬合法的擬合精度為±27.5 mm，蜂群優(yōu)化法的精度比其提高了28%，與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合方法相比，人工蜂群優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)擬合法構(gòu)建模型的精度提高了36.1%，充分說明了人工蜂群優(yōu)化擬合法可以提高GPS擬合模型的精度。

表3 不同方法的檢測(cè)精度比較Table 3 Comparison of detection accuracy of different methods

4 結(jié)論

為了解決最小二乘支持機(jī)擬合方法建立GPS高程擬合模型時(shí)參數(shù)選擇較為困難的問題，提出利用人工蜂群算法對(duì)最小二乘支持向量機(jī)擬合法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，并通過實(shí)驗(yàn)與其他方法進(jìn)行了對(duì)比分析，得出如下結(jié)論。

(1)在人工蜂群優(yōu)化算法中，設(shè)置隨機(jī)初始值及迭代次數(shù)最大值，選定參數(shù)固定范圍，通過不同的分工來增加生物的多樣性，確保最終的獲取結(jié)果為全局最優(yōu)，避免陷入局部最優(yōu)解的麻煩，尋優(yōu)過程中工作性質(zhì)的不斷轉(zhuǎn)換提高了收斂速度，短時(shí)間內(nèi)為最小二乘支持向量機(jī)構(gòu)建擬合模型提供了最佳的擬合參數(shù)。

(2)常規(guī)最小二乘支持向量機(jī)擬合法常通過交叉驗(yàn)證法尋求擬合模型參數(shù)，而本次利用人工蜂群算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，多次實(shí)驗(yàn)內(nèi)外符合精度統(tǒng)計(jì)及殘差走勢(shì)圖均表明人工蜂群算法優(yōu)化擬合法的收斂效果更佳，在有效的搜索范圍內(nèi)，更加有利于搜索最優(yōu)值的效率。

(3)根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，相比其他兩種方法，蜂群優(yōu)化擬合法的建模精度較高。其擬合模型的總體精度為±19.8 mm,比常規(guī)最小二乘支持向量機(jī)擬合法提高了28%，比BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法提高了36.1%，充分證明了人工蜂群優(yōu)化擬合法的有效可行性。

提出的蜂群優(yōu)化最小二乘支持向量機(jī)擬合法在建立模型中是否有效可行得到了充分的驗(yàn)證，但是實(shí)驗(yàn)區(qū)域范圍有限，針對(duì)較大范圍的擬合區(qū)域，該方法構(gòu)建擬合模型的穩(wěn)定性和有效性需要進(jìn)一步驗(yàn)證。