李牮

1) (西湖大學(xué)理學(xué)院， 杭州 310024)2) (浙江西湖高等研究院理學(xué)研究所， 杭州 310024)(2020 年6 月2日收到; 2020 年6 月5日收到修改稿)

Yu-Shiba-Rusinov態(tài)是由磁性雜質(zhì)原子在超導(dǎo)體中誘導(dǎo)出的超導(dǎo)能隙內(nèi)的束縛態(tài). 它們可以作為構(gòu)造拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的基本單元. 本文闡述了基于Yu-Shiba-Rusinov態(tài)的不同維度拓?fù)涑瑢?dǎo)的統(tǒng)一理論框架， 并通過簡單的特例加以解釋. 這里的理論是理解多個相關(guān)實驗的基礎(chǔ).

近年來人們對拓?fù)湮镔|(zhì)態(tài)， 尤其是拓?fù)涑瑢?dǎo)體[1—10]的興趣主要有兩個方面: 一是它為一個傳統(tǒng)的科學(xué)領(lǐng)域——固體物理學(xué)帶來的研究范式的革新， 二是它在另一個方興未艾的領(lǐng)域——量子計算中 的 潛 在 應(yīng) 用[1，11，12]. 基 于Yu-Shiba-Rusinov(YSR)態(tài)[13—15]的拓?fù)涑瑢?dǎo)體系[16—34]是體現(xiàn)這兩點的一個好例子. YSR態(tài)指的是由磁性雜質(zhì)原子在(常規(guī))超導(dǎo)體中誘導(dǎo)的超導(dǎo)能隙內(nèi)的束縛態(tài).這種束縛態(tài)的存在被于淥[13]， Shiba[14]和Rusinov[15]于1960年代各自獨立發(fā)現(xiàn)， 并被Yazdani等[35]于1997年首次通過掃描隧道顯微鏡實驗觀察到.另一方面， 作為最接近可行的拓?fù)淞孔佑嬎惴桨傅幕A(chǔ)[36]， 拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的形成往往有著對于超導(dǎo)、自旋軌道耦合以及磁性這三者關(guān)聯(lián)的微妙要求[37—39].在 多 種 構(gòu) 建 拓 撲 超 導(dǎo) 的 路 徑 之 中[3，23，37，38，40—48]，YSR態(tài)自然成為了一種有效的元件. 這里重要的是: 在實驗上， 需要將磁性“雜質(zhì)”原子進(jìn)行有序的組裝甚至操控[23，29，30，33，34，48]; 在理論上， 需要對YSR態(tài)組成的超導(dǎo)能隙內(nèi)的“能帶”和邊界態(tài)進(jìn) 行 刻 畫 和 拓 撲 分 類[22，24，28，31，49]. 這 兩 方 面 在 現(xiàn)階段都已經(jīng)取得了重要的進(jìn)展， 并直接導(dǎo)致了在相關(guān)體系中對馬約拉納零能模的成功觀測和甄別[23，29，30，33，34，48]. 本文受限于作者的專長， 將集中討論基于YSR態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)理論框架. 作為一篇總結(jié)性的文章， 將著重于理論的自完備性和通用性，并輔以簡單的特例作解釋. 我們推薦讀者從引文中獲取更多細(xì)節(jié)， 尤其是關(guān)于這里所展示的理論如何應(yīng)用于實際體系[24，31，49].

作為出發(fā)點， 考慮一個由常規(guī)超導(dǎo)體(SC)和磁性原子(M)晶格組成的復(fù)合平均場模型，

這里 α 和 β 分別代表超導(dǎo)體(c算符)和磁性原子(d算符)中除自旋(s)外的自由度(例如軌道)，αˉ是 α 的時 間 反演; ξαs，α′s′，hβs，β′s′和 vαs，βs′皆為矩陣元; Δ 為超導(dǎo)配對序參量， 被設(shè)為實的常數(shù)(不依賴于 α ); rM∈ΛM是磁性原子的位置， 這些位置的集合 ΛM可以是一個點( DM=0 )， 一條鏈( DM=1 )，或一個二維晶格( DM=2 )， 我們把垂直于這個集合構(gòu)成的子空間的位置矢量記為 r⊥， 而這個子空間本身屬于 r⊥=0 ; 當(dāng) DM＞0 ，kM表示磁性原子晶格的波矢(動量)，B Z 表示其布里淵區(qū).

首先考慮超導(dǎo)體. 選取動量空)間的Nambu基矢其中黑體的 cs代表了特定自旋s不同軌道 α 的c算符組成的矢量 . 以此為基， 超導(dǎo)體的BdG哈密頓量為

這里黑體的 ξ 代表了矩陣形式的 ξαs，α′s′. 在上面的形式中用到了正常態(tài)部分 ξ (k) 的時間反演不變性:Tξ(-k)T-1=ξ(k)， 其中 T為時間反演算符( T2=- 1 ). 相應(yīng)地， 超導(dǎo)體自身在能隙中的格林函數(shù)為

這里因為能隙中沒有極點， 暫且省略E附帶的無窮小虛部， 只在需要時把它加回去.

然后對隧穿哈密頓量做一定的簡化. 假設(shè)磁性原子和超導(dǎo)體間的隧穿是完全局域的， 并且不依賴于位置或自旋: vαs，βs′(r-rM)=vαβδss′δ(r-rM) .由 此隧穿哈密頓量變成

其中 KM為磁性原子的倒格子基矢(當(dāng) DM＞0 )，n為整數(shù)組成的矢量. 這里對n的求和可以理解為將超導(dǎo)態(tài)的動量平移進(jìn)磁性原子晶格的布里淵區(qū).

由此得到磁性原子在能隙中(由超導(dǎo)體帶來)的自能為

其中 k⊥為對應(yīng)于 r⊥的動量;而黑體v代表矩陣形式的 vαβ. 這里已經(jīng)選擇了作為磁性原子的Nambu基矢(下同)， 并用到了v的時間反演不變性: T vT-1=v .

進(jìn)一步， 磁性原子的完全格林函數(shù)為

值得一提的是， 如果把磁性原子當(dāng)成完全的經(jīng)典自旋S， 并假設(shè)它與超導(dǎo)體通過局域的交換相互作用進(jìn)行耦合， 則方程 (9)中的格林 函數(shù)應(yīng)替換為

GM(E+，kM) 在|E |＜Δ 范圍內(nèi)的極點可以給出YSR束縛態(tài)( DM=0 )或YSR能帶( DM＞0 )的能譜. 當(dāng)能譜在零能存在能隙時， 定義如下“有效 哈密頓量”:

注意雖然 H (kM) 具有哈密頓量的形式(其厄密性易證)， 它并不能用來有效描述系統(tǒng)的動力學(xué)(除非系統(tǒng)在超導(dǎo)能隙中間存在非常低能的YSR態(tài))，它的主要用途是幫助我們得到拓?fù)洳蛔兞縖50]. 為此， 先證明 H (kM) 滿足粒子-空穴對稱性: PH(kM)P-1=-H(-kM)， 其中 P 為粒子-空穴變換算符. 在已經(jīng)選定的Nambu基下， 粒子-空穴變換算符形式如 下:

其中 τ2為對應(yīng)于粒子-空穴自由度的泡利算符. 已知磁性原子自身的哈密頓量 HM(kM) ， 超導(dǎo)體自身的哈密頓量 HSC(k) ， 以及兩者的耦合項V在構(gòu)造時 均已滿足粒子-空穴對稱性. 由此不難證明

從而可見 H (kM) 確實滿足粒子-空穴對稱性， 在一般情形下屬于Altland-Zirnbauer對稱類[51]中的D類( P2=1 ).

依據(jù)對拓?fù)浞诸惖囊延兄R[4—6，9]， 可以基于H(kM) 來 定義拓?fù)洳蛔兞? 依賴于維度 DM， 拓?fù)洳蛔兞康亩x如下.

1) DM=0 . 這是傳統(tǒng)的YSR束縛態(tài)情形[13—15].H完全局域(不存在動量 kM)， 且 P HP-1=-H .拓 撲不變量 ν0∈2即為系統(tǒng)基態(tài)的費(fèi)米子奇偶性[1]，

其中Pf代表Pfaffian， U為使得 U?PU=K 的幺正矩陣， 而 K 代表復(fù)共軛. 這里易證U總是存在，且A為實的反對稱矩陣.

2) DM=1 . 這是一維磁性原子鏈的情形[18，23，24，29—31，33]. GM(E+，kM) 的 極 點 構(gòu) 成 一 維YSR能帶. H (kM) 在 kM=0，π (選取自然單位)兩處具有動量空間局域的對稱性: PH(kM=0，π)P-1=-H(kM=0，π) . 這類似于上面零維的情形. 拓?fù)洳?變量 ν1∈Z2即為這兩處費(fèi)米子奇偶性的異同[1]，

3) DM=2 . 這是二維磁性原子晶格的情形[25，28，34]. GM(E+，kM) 的極點構(gòu)成二維YSR能帶.拓?fù)洳蛔兞?ν2∈Z 即為對應(yīng)此二維能帶的陳數(shù)[25，28，52]，

其中 d SkM為布里淵區(qū)的積分面積元; Eb(kM) 和ub(kM) 為 H (kM) 的本征值和本征矢(b為不同本征矢的標(biāo)記， 對應(yīng)于“能帶”標(biāo)記). 注意 Eb(kM) 具有不依賴于 kM的確定符號(已經(jīng)假設(shè)零能處有能隙). 這里尤其需要注意的是 Eb(kM) 和 ub(kM) 并非真正的YSR能帶， 它們僅用于幫助計算拓?fù)洳蛔兞?ν2[50].

以上討論了一般性理論， 下面研究一些簡單的例子. 在這些例子中忽略除自旋外的其他內(nèi)部自由度. 因此， 耦合項成為常數(shù)(不妨設(shè)為實) v =vσ0，其中 σ0為對應(yīng)于自旋的單位矩陣; 時間反演算符可以寫為 T=iσ2K ; 使得 U?PU=K 的幺正矩陣可 以選為

考慮最簡單的三維超導(dǎo)體

其中 k ≡|k| . 以下再次分不同的維度 DM進(jìn)行討論.

零維YSR束縛態(tài)( DM=0 ) 這種情況下， 對所有的動量進(jìn)行積分， 得到[22]

其中 ρ 為超導(dǎo)體在正常態(tài)下費(fèi)米能處的態(tài)密度; τ和 σ 分別是對應(yīng)于粒子-空穴和自旋自由度的泡利矩陣. 由此

其中 G ≡πρv2通常被稱為耦合函數(shù)或線寬函數(shù).

假設(shè) h =εMσ3-μMσ0， 相應(yīng)的 HM=εMτ0σ3-μMτ3σ0， 則

此處及下文中在不產(chǎn)生歧義的情況下省略單位矩陣 σ0和 τ0. 注意在H中， 耦合函數(shù) G 等效地取代了Δ .

從 GM(E+) 的極點， 得到Y(jié)SR束縛態(tài)的能譜:

此處及下文中都假設(shè) G ?Δ . 上面的結(jié)果在μM=0 時退化為熟悉的形式[13—15]:

另一方面， 根據(jù)方程(15)， 從H得到對應(yīng)于系統(tǒng) 基態(tài)費(fèi)米子奇偶性的拓?fù)洳蛔兞?ν0:

這顯然與上面的YSR能譜自洽: 當(dāng) EYSR=0 時，ν0失去定義， 對應(yīng)于臨界點. 從(27)式也可以看到， 當(dāng)磁性原子的自旋劈裂能量 | εM| 足夠大時， 只有一個自旋態(tài)被占據(jù)， 系統(tǒng)基態(tài)費(fèi)米子奇偶性為奇;但是增強(qiáng)超導(dǎo)體和磁性原子之間的耦合 G 可以導(dǎo)致這一奇偶性的反轉(zhuǎn).

一維YSR鏈( DM=1 ) 在這種情況下， 先對所有垂直于鏈的動量 k⊥進(jìn)行積分， 但是保留平行于 鏈的動量 k//作為參數(shù)， 得到[31]

這與方程(22)形式相同， 但是這里的(二維能帶)費(fèi)米面處的態(tài)密度 ρ 會依賴于 k//. 由此得到自 能

在一維鏈中假設(shè)

其中動能項 ε0(kM) 是 kM的偶函數(shù)， 而自旋軌道耦合項 εSO(kM) 是 kM的奇函數(shù)， 這兩項都滿足時間反演不變性. 注意在實際的物理體系中， 自旋軌道耦合項可以主要通過具有強(qiáng)自旋軌道耦合的超導(dǎo)體(例如鉛)經(jīng)由自能引入. 這里僅為簡單起見， 直接在磁性原子的哈密頓量中引入自旋軌道耦合.

進(jìn)一步， 磁性原子鏈的完全格林函數(shù)以及零能處 的“等效哈密頓量”為

從

GM(E+，kM)

的極點， 得到Y(jié)SR能帶的能譜(仍假 設(shè) ? k

M

:G(k

M

)?Δ )

[31]

:

這里在(33)式右側(cè)省略了P，εSO和 G 作為 kM的函數(shù)的標(biāo)記. 時間反演不變性要求 εSO(kM=0，π)=0， 因 此 只 要 假 設(shè) εSO(kM／=0，π)／= 0 (同 時G(kM)／=0 已經(jīng)由 G (kM)?Δ 所滿足)， 則YSR能帶只能在 kM=0 或 π 兩處閉合， 且閉合需滿足條件P(kM=0 或 π )=0 . 一旦能隙存在， 根據(jù)方程(17)從H (kM) 得 到拓?fù)洳蛔兞?ν1:

當(dāng) ν1=1 時， 一維YSR鏈處于拓?fù)浞瞧接瓜?很明顯， (35)式與我們對YSR能譜的分析就拓?fù)湎嘧兊呐R界條件而言是自洽的. 值得再次注意的是， 在 H (kM) 中 ， 耦合函數(shù) G 等效地取代了 Δ . 事實上， 正是這種等效替換使得拓?fù)涑瑢?dǎo)相中的馬約拉納零能模的衰減長度( ∝ 1/G )遠(yuǎn)小于超導(dǎo)相干長度( ∝ 1/Δ )[24，31，49].

二維YSR格子( DM=2 ) 類似于上面的計算， 先對垂直于二維格子的動量 k⊥進(jìn)行積分， 但是保 留平行于二維格子的動量 k//作為參數(shù)， 得到

這里的 ρ 為依賴于 k//的(一維能帶)費(fèi)米面處的態(tài)密 度. 由此得到自能

對二維磁性原子晶格假設(shè)

其中 σ//≡(σ1，σ2)， 而黑體的 ?SO亦代表一個二維矢量. 時 間 反 演 不 變 性 要 求 動 能項 ε0(kM) 是 kM的偶 函 數(shù)， 而 自 旋 軌 道 耦 合 項 ?SO(kM) 是 kM的 奇 函數(shù). 再次注意在實際的物理體系中， 自旋軌道耦合項更加可能主要通過具有強(qiáng)自旋軌道耦合的超導(dǎo)體經(jīng)自能引入. 這里直接在磁性原子的哈密頓量中加入自旋軌道耦合項僅為簡單起見.

這樣的二維磁性原子晶格的完全格林函數(shù)以及零能處的“等效哈密頓量”分別為

此處YSR能帶的能譜與方程(33)及(34)一致，僅需定義 εSO≡|?SO| ， 以及注意這里的動量為二維. 同樣類似于一維的情況， 只要假設(shè)在 kM∈TRIM≡{(0，0)，(0，π)，(π，0)，(π，π)} 之 外 εSO(kM)／=0 ，則YSR能帶只能在以上四處時間反演不變動量點閉合， 且閉合需滿足條件 P (kM∈TRIM)=0 . 如果能隙存在， 理論上可以根據(jù)方程(19)從 H (kM) 得到拓?fù)洳蛔兞?ν2. 但是在不對 ε0(kM) 和 ?SO(kM) 的函數(shù)形式做進(jìn)一步假設(shè)的前提下，ν2作為各參量的函數(shù)的閉合表達(dá)式很難寫出. 因此僅給出 ν2的奇偶性 判據(jù)[28]:

當(dāng) ν2為奇數(shù)時， 二維YSR晶格一定處于拓?fù)浞瞧接瓜? 拓?fù)淦接古c非平庸相之間的相變可以通過改變磁性原子的能帶 ε0(kM) 、化學(xué)勢 μM、自旋劈裂能 εM或耦合函數(shù) G (kM) 而實現(xiàn)[25，28].

通過以上的討論， 本文構(gòu)建了基于YSR態(tài)的拓?fù)涑瑢?dǎo)理論基本框架. 本文聚焦于(當(dāng) DM＞0時)對YSR晶格體態(tài)的討論. 因為這是定義拓?fù)洳蛔兞康年P(guān)鍵， 但是沒有討論拓?fù)浞瞧接钩瑢?dǎo)態(tài)的直接產(chǎn)物， 也是拓?fù)涑瑢?dǎo)體最引人注目的特性: 馬約拉納零能模/邊界態(tài)[8，10，53，54]. 這一方面是因為馬約拉納零能模/邊界態(tài)的存在性已經(jīng)可以由非平庸拓?fù)洳蛔兞客ㄟ^本體-邊界對應(yīng)原理[9]給出， 另一方面是因為馬約拉納零能模/邊界態(tài)作為釘扎在缺陷上的特殊本征態(tài)， 其具體形式依賴模型細(xì)節(jié)， 從而不適于本文對通用性的考慮. 值得強(qiáng)調(diào)的是， 作為研究拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)的最主要動機(jī)之一， 拓?fù)淞孔佑嬎愕倪M(jìn)展正是有賴于由馬約拉納零能模構(gòu)筑的拓?fù)淞孔颖忍匾约皩ζ涞?編織)操作[1，11，12，55]. 實現(xiàn)這些步驟， 包含提出切實可行的理論方案和提供沒有歧義的實驗證據(jù)， 是當(dāng)前正待解決的問題. 另外，本文的理論假設(shè)忽略了至少兩個可能的重要額外因素: 電子相互作用和無序. 就前者而言， 已知相互作用的存在可以改變某些系統(tǒng)的拓?fù)浞诸怺56，57];就后者而言， 已知的一種有趣情形是， 即使磁性原子呈(二維)無定形排布， 它們?nèi)匀豢赡苷T導(dǎo)出非平庸拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)[32]. 另外， 對于考慮上面兩種額外因素后如何刻畫拓?fù)涑瑢?dǎo)(無論是否基于YSR態(tài))的細(xì)致深入研究也是需要努力的方向.

作者感謝Alex Weststr?m的有益討論. 作者希望以本文向Yu-Shiba-Rusinov中Yu(于淥)致敬——他于1965年同樣發(fā)表于《物理學(xué)報》的工作(引文[13])是本文理論的基石之一.