張嘉琪，孟 洋，沈 凱，樊睿辰

(中國核動(dòng)力研究設(shè)計(jì)院，成都 610041)

0 引言

雙軸差速立式捏合機(jī)是固體推進(jìn)劑藥漿生產(chǎn)的關(guān)鍵設(shè)備，其混合作用的優(yōu)劣將直接影響固體推進(jìn)劑藥漿的質(zhì)量[1]。據(jù)現(xiàn)有捏合機(jī)設(shè)備混合機(jī)理的研究，表明混合釜流場(chǎng)為層流流場(chǎng)，流體具有流線不變性、時(shí)變性較差、粒子運(yùn)動(dòng)軌線不相交等特點(diǎn)。在工程中，常用雙軸行星運(yùn)動(dòng)攪拌槳對(duì)固體推進(jìn)劑藥漿進(jìn)行攪拌混合[2]。

國內(nèi)外有部分學(xué)者對(duì)捏合機(jī)混合機(jī)理做出了研究，研究結(jié)果表明，雙軸行星運(yùn)動(dòng)攪拌槳槳尖的運(yùn)動(dòng)軌跡具備混沌運(yùn)動(dòng)的特征，并且混沌運(yùn)動(dòng)是促進(jìn)藥漿混合的關(guān)鍵因素。但是，受制于固體推進(jìn)劑藥漿的易燃易爆性，在混合工藝過程中，只能通過捏合機(jī)混合釜的泄爆罩窗口觀察藥漿混合過程，對(duì)藥漿混合過程中混沌作用的產(chǎn)生以及影響尚缺乏足夠認(rèn)識(shí)。

本文將針對(duì)雙軸行星運(yùn)動(dòng)攪拌槳槳尖的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析，研究其在層流混合系統(tǒng)中的混沌行為，即遍歷性、分叉與混沌表征，并通過流場(chǎng)示蹤試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證分析。

1 雙軸行星運(yùn)動(dòng)攪拌槳槳尖遍歷特性

在層流混合系統(tǒng)中，由于混合流場(chǎng)內(nèi)的流體受控于線性粘性力，流線保持不變，其時(shí)變性較差，粒子的運(yùn)動(dòng)軌線不相交，很難達(dá)到較優(yōu)的混合效果[3]。根據(jù)Reynolds的研究成果，有效的層流混合是由于流體被反復(fù)的拉伸和折疊[4]。

在非線性動(dòng)力學(xué)的研究領(lǐng)域內(nèi)，示蹤劑在流場(chǎng)區(qū)域反復(fù)拉伸和折疊的過程可通過Smale馬蹄映射進(jìn)行描述，拉伸和折疊過程使得示蹤劑具有局部發(fā)散而整體在流場(chǎng)區(qū)域有界的特性，即Smale馬蹄意義下的混沌[5]。流體混合需要物質(zhì)線和面的充分拉伸和折疊，在兩種流體需要充分混合而所需的能量要盡可能小的情況下，混沌則非常有效[6]。

*L雙軸立式差速立式捏合機(jī)混合釜模型如圖1所示?；旌细睆紻=130 mm、高度H=108 mm，有效容積為*L。遠(yuǎn)心槳中心點(diǎn)為Ok，遠(yuǎn)心槳直徑Dk=64 mm，遠(yuǎn)心槳螺旋角θk=π/4，偏心距為ek=29.5 mm；近心槳中心點(diǎn)為Os，近心槳直徑Ds=64 mm，近心槳螺旋角θs=π/2.838，偏心距為es=14.75 mm；遠(yuǎn)心槳轉(zhuǎn)速為ωk，近心槳轉(zhuǎn)速為ωs，公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速為ωH。設(shè)定遠(yuǎn)心槳和公轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)、近心槳逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為正轉(zhuǎn)，遠(yuǎn)心槳和公轉(zhuǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)、近心槳順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)為反轉(zhuǎn)，遠(yuǎn)心槳轉(zhuǎn)速、近心槳轉(zhuǎn)速與公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速的比例為：ωk=-2ωs=9.37ωH。同時(shí)，將迎向槳葉自轉(zhuǎn)方向的槳葉曲面定義為迎料面，遠(yuǎn)離槳葉自轉(zhuǎn)方向的槳葉曲面定義為背料面。遠(yuǎn)心槳槳尖距近心槳最小距離為c1=2 mm，距實(shí)驗(yàn)容器側(cè)壁距離為c2=2 mm，距實(shí)驗(yàn)容器底面距離為c3=2 mm。

(a)Top view (b)Front view

遠(yuǎn)心槳、近心槳槳葉的三維數(shù)學(xué)模型分別為

(1)

式中ζ為遠(yuǎn)心槳或近心槳軸向投影的旋轉(zhuǎn)角；θ為遠(yuǎn)心槳或近心槳的螺旋角[7]。

遠(yuǎn)心槳與近心槳既有自轉(zhuǎn)又有公轉(zhuǎn)，在實(shí)驗(yàn)容器徑向截面中，依據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理建立笛卡爾直角坐標(biāo)系XOY、XkOkYk、XsOsYs，遠(yuǎn)心槳槳葉槳尖Ik、Jk運(yùn)動(dòng)方程如下：

(2)

(3)

近心槳槳葉槳尖Is、Js運(yùn)動(dòng)方程如下：

(4)

(5)

當(dāng)ωk=20 rpm，t=30 s時(shí)，遠(yuǎn)心槳槳尖Ik的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2(a)所示，近心槳槳尖Is的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2 (b)所示。

當(dāng)ωk=20 rpm時(shí)，遠(yuǎn)心槳槳尖Ik、Jk與近心槳槳尖Is、Js在混合釜的運(yùn)動(dòng)軌跡見圖3?？梢?，在時(shí)間t足夠大的情況下，遠(yuǎn)心槳近心槳槳尖的運(yùn)動(dòng)軌跡可以遍歷至整個(gè)混合釜平面位置。因此，可稱雙軸差速立式捏合機(jī)混合釜模型是遍歷的。

2 混合釜模型Poincaré截面

結(jié)合式(1)、式(2)與式(3)，截取u=0截面，當(dāng)ωk=20 rpm時(shí)，遠(yuǎn)心槳槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡Poincaré截面見圖4。結(jié)合式(1)、式(4)與式(5)，截取u=0截面，當(dāng)ωk=20 rpm時(shí)，近心槳槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡Poincaré截面見圖5。

(a)Trajectory of the telecentric propeller tip Ik (b)Trajectory of the proximal propeller tip Is

(a)t=30 s (b)t=300 s (c)t=1000 s

(a)t=10 s (b)t=20 s (c)t=200 s (d)t=5000 s

(a)t=10 s (b)t=20 s (c)t=200 s (d)t=5000 s

分析圖4、圖5可知，隨著時(shí)間t的增加，遠(yuǎn)心槳與近心槳槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡Poincaré截面圖內(nèi)的離散點(diǎn)集中在某些特定區(qū)域，并不隨時(shí)間t的增加而發(fā)生逃逸特定區(qū)域的狀況，由此說明遠(yuǎn)心槳與近心槳槳尖的運(yùn)動(dòng)最終實(shí)現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。

根據(jù)Devaney對(duì)混沌的定義，混沌運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)特征是系統(tǒng)長期行為對(duì)初值的敏感依賴性。動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的行為取決于兩個(gè)因素：一個(gè)是系統(tǒng)的運(yùn)行演化規(guī)律，在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為動(dòng)力學(xué)方程；另一個(gè)是系統(tǒng)現(xiàn)在的狀態(tài)，在數(shù)學(xué)上稱為初始條件[8]。處于混沌狀態(tài)的系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)軌道將敏感地依賴于初始條件。從兩個(gè)及其鄰近的初值出發(fā)的兩條軌道，在短時(shí)間內(nèi)似乎差距不大，但在足夠長的時(shí)間以后，必然呈現(xiàn)出顯著的差異。從長期行為看，初值的小改變?cè)谶\(yùn)動(dòng)過程中不斷被放大，導(dǎo)致軌道發(fā)生巨大偏差，即系統(tǒng)長期行為對(duì)初值的敏感依賴性[9]。

判斷系統(tǒng)是否處于混沌運(yùn)動(dòng)可根據(jù)Poincaré截面法的定義：在多位相空間中適當(dāng)選取一截面，在此截面上的某一對(duì)共軛變量取固定值作為Poincaré截面。觀察運(yùn)動(dòng)軌跡Poincaré截面的交點(diǎn)，當(dāng)Poincaré截面上只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)或少數(shù)離散點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)Poincaré截面上是一封閉曲線時(shí)，運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)；當(dāng)Poincaré截面上是一些成片的密集點(diǎn)時(shí)，則為混沌運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于雙軸差速立式捏合機(jī)的遠(yuǎn)心槳與近心槳，其運(yùn)動(dòng)方式由自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)共同組成，槳葉槳尖在自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的存在將形成對(duì)槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡的干擾，經(jīng)過足夠長的時(shí)間，槳尖運(yùn)動(dòng)最終實(shí)現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。為證明這一論點(diǎn)，排除槳葉的公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，考察遠(yuǎn)心槳槳葉自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，遠(yuǎn)心槳槳尖運(yùn)動(dòng)的Poincaré截面如圖6。同理，考察近心槳槳葉自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，近心槳槳尖運(yùn)動(dòng)的Poincaré截面見圖7。

(a)t=10 s (b)t=5000 s

由圖6與圖7可知，遠(yuǎn)心槳與近心槳在排除公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著時(shí)間t的增加，其Poincaré截面為兩條曲線，槳尖運(yùn)動(dòng)為準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，無法實(shí)現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。因此，遠(yuǎn)心槳與近心槳的混沌運(yùn)動(dòng)是自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)共同作用才得以實(shí)現(xiàn)。又由圖4(a)、圖5(a)、圖6(a)、圖7(a)可知，在槳葉轉(zhuǎn)動(dòng)的初期，即時(shí)間t較小的時(shí)候，此時(shí)有無公轉(zhuǎn)都對(duì)槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡影響較小，槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡的Poincaré截面均未呈現(xiàn)出混沌狀態(tài)。但隨著時(shí)間t的增加，即從公轉(zhuǎn)的長期行為觀察，公轉(zhuǎn)對(duì)槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡的影響不斷被放大，使包含公轉(zhuǎn)的槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡的Poincaré截面最終實(shí)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。

(a)t=10 s (b)t=5000 s

3 混合釜流場(chǎng)示蹤實(shí)驗(yàn)

本實(shí)驗(yàn)在中國航天科工集團(tuán)某基地進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)設(shè)備為某小型立式捏合機(jī)。攪拌槳豎直安裝，由近心槳與遠(yuǎn)心槳組成，由垂直升降系統(tǒng)帶動(dòng)與混合釜組成捏合機(jī)的攪拌系統(tǒng)。

混合釜采用透明的圓柱形亞克力材料制作，容器壁厚為3 mm，透光率可達(dá)92%，為減少光線在圓柱形容器側(cè)壁的折射作用造成視覺偏差，從而影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，參考Nor Hanizah Shahirudin[10]和D J Lamberto[11]的解決辦法：將圓柱形實(shí)驗(yàn)容器裝入一個(gè)正方體有機(jī)玻璃容器內(nèi)，兩個(gè)容器之間注入透明的實(shí)驗(yàn)溶液。本實(shí)驗(yàn)制作了一個(gè)頂部開孔的亞克力材料方形罩，將混合釜模型固定在方形罩里面，混合釜模型與方形罩之間充滿實(shí)驗(yàn)溶液。實(shí)驗(yàn)溶液選用甘油分析純，24 ℃，甘油粘度μ=1.1 Pa·s，密度ρ=1200 kg/m3。示蹤劑選用熒光素鈉，熒光素鈉在波長為362 nm的紫外線(UV)照射下可激發(fā)出黃綠色的熒光。

實(shí)驗(yàn)過程中保持24 ℃恒溫，在實(shí)驗(yàn)之前將實(shí)驗(yàn)溶液靜止放置12 h以消除溶液中混入的空氣氣泡。為保證示蹤劑在流場(chǎng)內(nèi)可保持良好的跟隨性，示蹤劑溶液由混入3%熒光素鈉的甘油溶液制成。靜止10 min后示蹤劑并無明顯的擴(kuò)散作用，圖8中混合釜頂部的示蹤劑是取出注射器時(shí)形成的，并非是示蹤劑的擴(kuò)散，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果沒有影響。同時(shí)，為獲得最好的示蹤效果，實(shí)驗(yàn)過程中嘗試了多個(gè)示蹤劑的添加位置，例如混合釜頂部、底部、側(cè)壁、中心等處，最終發(fā)現(xiàn)在混合釜底部和底部側(cè)壁位置添加示蹤劑的實(shí)驗(yàn)效果最為明顯。用注射器各推入5 ml示蹤劑到混合容器的底部中心與容器底部側(cè)壁，將兩個(gè)362 nm UV光源固定在容器左右兩側(cè)，如圖8所示。

圖8 示蹤劑添加位置示意圖

當(dāng)遠(yuǎn)心槳自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速ωk=20 rpm時(shí)，示蹤劑運(yùn)動(dòng)的變化趨勢(shì)如圖9所示。槳葉旋轉(zhuǎn)使迎料面產(chǎn)生向下的軸向速度，促使容器底部側(cè)壁的示蹤劑沿側(cè)壁向上運(yùn)動(dòng)，底部中心的示蹤劑沿底部向四周擴(kuò)散，兩處示蹤劑均形成完整的流線。當(dāng)遠(yuǎn)心槳槳葉運(yùn)動(dòng)到容器側(cè)壁的示蹤劑附近時(shí)，吸引示蹤劑纏繞遠(yuǎn)心槳運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到遠(yuǎn)心槳與近心槳之間的捏合區(qū)時(shí)，由于遠(yuǎn)心槳與近心槳具有2∶1的速度差，可以切斷示蹤劑完整的流線，產(chǎn)生剪切與折疊作用。隨后，示蹤劑受到槳葉迎料面向下軸向速度的影響，向容器底部運(yùn)動(dòng)，同時(shí)向四周擴(kuò)散。

雙軸行星運(yùn)動(dòng)攪拌槳在攪拌時(shí)，如圖9(e)所示，遠(yuǎn)心槳與近心槳均可以對(duì)示蹤劑進(jìn)行拉伸，示蹤劑纏繞在遠(yuǎn)心槳與近心槳周圍。示蹤劑在兩槳葉之間的捏合區(qū)發(fā)生剪切與折疊作用，如圖9(f)所示。在混合釜流場(chǎng)示蹤實(shí)驗(yàn)中，示蹤劑流線被遠(yuǎn)心槳與近心槳反復(fù)拉伸與折疊，最終散布于整個(gè)流場(chǎng)，在主觀視覺上，此時(shí)示蹤劑在混合釜流場(chǎng)內(nèi)開始變得雜亂不堪，可以判斷此時(shí)的混合釜流場(chǎng)處于混沌狀態(tài)。

(a)t=1 s (b)t=5 s (c)t=10 s

(d)t=15 s (e)t=20 s (f)t=30 s

4 結(jié)論

(1)通過流體運(yùn)動(dòng)方程，將混合釜內(nèi)流體流動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立了混合釜流場(chǎng)映射模型。

(2)通過對(duì)捏合機(jī)攪拌槳槳尖運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行分析，證明了攪拌槳行星運(yùn)動(dòng)過程中，槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡遍歷整個(gè)混合釜流場(chǎng)。并通過攪拌槳槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡的Poincaré截面圖，發(fā)現(xiàn)槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡的Poincaré截面圖中的離散點(diǎn)密集的分布在某些固定的區(qū)域，由此判斷攪拌槳槳尖運(yùn)動(dòng)為混沌運(yùn)動(dòng)。槳尖運(yùn)動(dòng)軌跡的Poincaré截面圖中離散點(diǎn)的密集程度與攪拌時(shí)間和攪拌轉(zhuǎn)速有關(guān)。

(3)通過混合釜流場(chǎng)示蹤試驗(yàn)，驗(yàn)證了混合釜模型的混沌理論，兩個(gè)攪拌槳的行星運(yùn)動(dòng)將使混合釜流場(chǎng)最終引發(fā)混沌運(yùn)動(dòng)。