■趙 霞

問題是思維的起點，創(chuàng)造的開始，學(xué)習(xí)的開端。沒有問題，就沒有數(shù)學(xué)。因此，要追求數(shù)學(xué)課堂的有效性，教師可以從問題的設(shè)計入手。恰當(dāng)?shù)恼n堂提問不僅能鞏固知識，及時反饋教學(xué)信息，而且能激勵學(xué)生積極參與，激發(fā)學(xué)生深入思考，啟迪學(xué)生的智慧。在數(shù)學(xué)例題教學(xué)中，教師尤其要重視問題的設(shè)計。下面筆者就以一道例題的教學(xué)為例，來談?wù)剶?shù)學(xué)例題教學(xué)中問題的設(shè)計。

例題：如圖1，在四邊形ABCD中，AC、BD交于點E，△ABE的面積為4，△CDE的面積為16，求四邊形ABCD的面積的最小值。

一、提問要能引領(lǐng)“知識溯源”

問題1：本題說到底是一道求面積的問題，初中階段我們有哪些常用的求面積的方法呢？

生1：面積公式法、割補法、比值法。

問題2：這三種求面積的方法一般在什么情況下應(yīng)用？

師生討論：面積公式法常用于規(guī)則圖形的面積求解。割補法一般用于不規(guī)則圖形的面積計算。我們可以借助割補法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，再算出規(guī)則圖形的面積，利用規(guī)則圖形的面積的和或差來求得不規(guī)則圖形的面積。比值法常用于已知兩個圖形的面積比的情況，如果有一個圖形的面積已知，可以輕松利用這個比值求另一個圖形的面積。如果兩個三角形相似，我們可以借助相似比求出它們的面積比；如果不相似，我們可以觀察這兩個三角形是否同高（等高）或同底（等底），如果同高（等高），面積比等于它們的底之比，如果同底（等底），面積比等于它們的高之比，最后再利用這個比值求出另一個三角形的面積。

鑒于數(shù)學(xué)問題常常運用所學(xué)過的知識加以解決，故借助“知識溯源”，可以為處理問題、明確思考方向、發(fā)掘解決問題的基本路徑找到通性通法。例題教學(xué)中教師通過恰當(dāng)?shù)奶釂枂拘褜W(xué)生已有的解題經(jīng)驗，既能鞏固學(xué)生已有的知識，又能讓學(xué)生解決問題時有的放矢，有法可依。

二、提問要能引領(lǐng)“學(xué)會選擇”

問題3：結(jié)合條件，你認(rèn)為用面積公式能求四邊形ABCD面積的最小值嗎？

生2：整個圖形是一個任意的四邊形，所以用面積公式法求面積不合適。

問題4：那么用割補法能求四邊形ABCD面積的最小值嗎？

生3：可以將四邊形ABCD的面積看成△ABD和△BCD的面積和，或者四個三角形的面積和，但也解不出來。（教師引導(dǎo)學(xué)生交流討論。學(xué)生嘗試作出高，如圖2，發(fā)現(xiàn)此法仍行不通。）

問題5：還有其他割補的方法嗎？

學(xué)生又提出了幾種割補的圖形。如圖3，將四邊形ABCD補成平行四邊形，得出S四邊形ABCD=；如圖4，將四邊形ABCD補成△DCQ，平行四邊形MNKP使S四邊形ABCD=S△DCQ-S△ABQ；如圖5，將四邊形ABCD分割成兩個直角三角形和一個直角梯形，使S四邊形ABCD=S△ABM+S梯形AMND+S△CDN。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些方法都不能求出四邊形ABCD的面積的最小值，因此割補法也不能解決這一問題。

當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)面積公式法、割補法都不能解決四邊形ABCD的面積的最值問題時，就會下意識想到比值法。

在“知識溯源”的基礎(chǔ)上，提問要善于引導(dǎo)學(xué)生對知識方法進行比較，引導(dǎo)學(xué)生從條件和結(jié)論展開聯(lián)想，擇優(yōu)選擇解題方法，為解題明確方向。這樣的提問可以培養(yǎng)學(xué)生從眾多知識中篩選有用知識的能力，培養(yǎng)學(xué)生尋找最優(yōu)方法的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生分析、解決問題的能力。

三、提問要能揭示“思想方法”

問題6：現(xiàn)在只剩下用比值法來求面積了，那么用比值法求面積的關(guān)鍵是什么呢？

生4：關(guān)鍵是求出未知圖形面積和已知圖形面積的比值。

問題7：很好，如圖2，那么這里應(yīng)該求出哪些圖形之間的面積比呢？

生5：應(yīng)該求出△ADE與△ABE、△CDE與△CBE的面積比，因為這里△ABE與△CDE的面積是已知的，如果未知三角形的面積與它們的比值求出來了，就能較容易地求出未知三角形的面積，加之這里△ADE與△ABE、△CDE與△CBE正好等高，它們的面積比就等于DE與BE的比。

問題8：但這里DE與BE的比確定嗎？四邊形ABCD的面積會隨著它們比值的變化而變化嗎？

生6：這里DE與BE的比值不確定，它們的比值改變，四邊形ABCD的面積也會隨之改變。

問題9：四邊形ABCD的面積和DE與BE的比值都是變化的量，在數(shù)學(xué)上有沒有可以研究兩個變化的量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型呢？

生7：函數(shù)模型可以研究兩個變量之間的關(guān)系。

問題10：那這里的自變量是誰？因變量又是誰？

生8：自變量是DE與BE的比值，因變量是四邊形ABCD的面積。

問題11：你們會用函數(shù)思想來解決這個問題嗎？

數(shù)學(xué)的思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂。例題教學(xué)中如何滲透數(shù)學(xué)的思想方法是教師必須思考的問題。利用階梯式的提問讓學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)解決問題的思想方法，逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的思想方法看待問題，對于學(xué)生養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看世界是非常有益的。

四、提問要能喚醒“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”

問題12：通過直接設(shè)DE與BE的比值，表示出了四邊形ABCD的面積的函數(shù)表達式。但這個函數(shù)表達式好像不是我們學(xué)過的類型，那如何來求面積的最小值呢？

生10：我們可以畫出這個函數(shù)的圖像，通過圖像來觀察它的最小值。

問題13：對于一個陌生函數(shù)，我們?nèi)绾萎嫵鏊暮瘮?shù)圖像呢？大家可參考我們初次接觸一次函數(shù)時是如何畫出它的函數(shù)圖像的。

生11：我們通過確定一次函數(shù)的取值范圍，然后列表取很多數(shù)值，得到許多對應(yīng)的點的坐標(biāo)，然后描點，再用平滑的曲線將點連接起來，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的圖像是一條直線。

學(xué)生討論，并嘗試列出表格（如下表），畫出函數(shù)圖像（如圖6）。教師指導(dǎo)點撥，提醒這里自變量x的取值范圍是x＞0。

問題14：通過列表及圖像，你們認(rèn)為x取何值時，S取得最小值？最小值是多少？

生12：結(jié)合表格和圖像，我覺得x=2時，S取得最小值36。

“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”是“四基”之一，也是數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)之一，因此，例題教學(xué)要通過恰當(dāng)?shù)奶釂杹韱拘褜W(xué)生已經(jīng)獲取的基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這樣的提問有助于鞏固數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識和技能的應(yīng)用能力。

五、提問要能提升“思維品質(zhì)”

問題15：從表格和圖像中我們發(fā)現(xiàn)x=2時S=36，并且感覺此時S的值最小，但由于這是一個陌生函數(shù)，且在x=2的周圍x還可以取無數(shù)個值，你憑什么就認(rèn)為x=2時，S有最小值？而不是x=2.001或其他值呢？你有什么科學(xué)依據(jù)嗎？（如果學(xué)生回答此問題有困難，教師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)表達式的特點來分析。）

問題16：非常棒。到現(xiàn)在為止我們已經(jīng)成功找到了四邊形ABCD面積的最小值，但老師不想就此結(jié)束，老師還想再考考你們。當(dāng)四邊形ABCD的面積取最小值時，四邊形ABCD在形狀上有沒有什么特殊之處呢？

通過提問將學(xué)生的探究引向深入，直至讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深入數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這是提高學(xué)生綜合分析問題、解決問題能力的重要環(huán)節(jié)，對于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难袑W(xué)作風(fēng)，提升學(xué)生的思維品質(zhì)有著極其重要的意義。

總之，例題教學(xué)中提問的設(shè)計是一門藝術(shù)，教師只有巧妙地設(shè)計問題，才能引領(lǐng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，才能使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)知識認(rèn)識世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)邏輯解讀世界，用數(shù)學(xué)創(chuàng)新建構(gòu)世界。