張學祥，王若冰，劉艷梨,2，楊小龍，吳洪濤

(1.南京航空航天大學機電學院，江蘇 南京 210016) (2.江蘇安全技術職業(yè)學院機械工程系, 江蘇 徐州 221011)

與傳統(tǒng)的串聯(lián)式工業(yè)機器人的開環(huán)結構不同，Stewart并聯(lián)機構是由并聯(lián)支鏈構成的閉環(huán)運動系統(tǒng)[1]。相比于串聯(lián)機構，它具有剛度高、輸出力/質量比大、無位置誤差累積、重復性好等優(yōu)勢，在運動模擬、隔振技術、并聯(lián)機床、大型天文望遠鏡等領域有著廣泛的應用[2]。 然而，由于被動鉸鏈數(shù)量較多，使得其運動學精度較難保證[3]。并聯(lián)機構控制器采用機構內部運動學參數(shù)來控制機構運動，研究表明，機構鉸鏈及驅動桿的制造和裝配誤差使得機構內部運動學參數(shù)不準確，是導致并聯(lián)機構的實際位姿與期望位姿產(chǎn)生偏差的主要原因[4]。依靠提高并聯(lián)機構零部件加工制造精度的方法來提高并聯(lián)機構位姿精度，會大大提高加工制造成本。相比而言，對裝配好的并聯(lián)機構運動學參數(shù)進行標定，是更加經(jīng)濟高效的方法。

標定一般包括運動學參數(shù)誤差建模、位姿測量、參數(shù)辨識和誤差補償?shù)炔襟E[5]。根據(jù)位姿信息的獲取方式，可將并聯(lián)機構的標定方法分為自標定[6]和外部標定[7]。因為自標定需要在被動鉸鏈處安裝位移傳感器[8]，而本文所標定的并聯(lián)機構在被動鉸鏈安裝傳感器比較困難，因而選用外部標定法。

Gao等[9]提出一種利用激光跟蹤儀和線性最小二乘法對Stewart機構進行標定的方法，由于并聯(lián)機構運動學具有非線性，所以該方法辨識得到的個別參數(shù)會出現(xiàn)明顯的不合理偏差。張文昌等[10]提出一種利用步進迭代法進行運動學誤差參數(shù)識別的方法，對Delta并聯(lián)機構運動學誤差進行了標定。楊小磊等[11]分別用最小二乘法和Levenberg- Marquardt(LM)算法對6自由度機械臂進行運動學標定仿真，發(fā)現(xiàn)LM的辨識效果更好。樊銳等[12]建立了包括虎克鉸鉸點位置、球鉸鉸點位置、初始支腿長以及導軌偏轉角度在內的54個運動學參數(shù)的6-PUS并聯(lián)機構參數(shù)誤差模型。Shi等[13]用隨機LM對Planar-Delta機構進行了標定，實驗結果表明，該算法與傳統(tǒng)算法相比具有效率高、精度高、易于實現(xiàn)的優(yōu)點。

為了提高6-UPS并聯(lián)機構運動學精度，本文基于前人研究成果，用微分法推導了6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)誤差模型，然后分別運用Gauss- Newton(GN)算法和LM進行6-UPS并聯(lián)機構運動學標定仿真，比較其在有測量誤差時的辨識效果。最后用激光跟蹤儀和 LM對6-UPS并聯(lián)機構進行了運動學參數(shù)標定實驗。

1 誤差建模

1.1 6-UPS并聯(lián)機構的運動學參數(shù)

6-UPS并聯(lián)機構如圖1所示，由動平臺、基座以及6條支腿構成。支腿采用電動缸驅動，每條支腿上下兩端分別通過球鉸和虎克鉸與動平臺和基座相連，可以看作是由6組“萬向節(jié)副(U)-移動副(P)-球面副(S)”支鏈并聯(lián)構成的閉環(huán)運動系統(tǒng)。如圖1所示，分別采用坐標系O′-x′y′z′和O-xyz表示動平臺的體坐標系{A}和基坐標系{B}。上下鉸點分別用Ai,Bi表示，i=1，2，…，6。任取6-UPS并聯(lián)機構的第i個封閉支鏈O-Bi-Ai-O′滿足：

lisi=p+Rai-bii=1,2,…,6

(1)

式中：si為第i條支腿的單位向量；p為{A}到{B}的位置矢量；R為{A}到{B}的姿態(tài)矩陣；ai為上鉸點Ai在{A}下的位置矢量,ai=[axiayiazi]T；bi為下鉸點Bi在{B}下的位置矢量,bi=[bxibyibzi]T；li=Li+Δli，為第i條支腿的長度，Li和Δli分別為第i條支腿的初始長度和驅動增量。

圖1 6-UPS并聯(lián)機構實物圖及結構簡圖

1.2 6-UPS并聯(lián)機構運動學參數(shù)誤差模型

6-UPS并聯(lián)機構的誤差建模即為推導機構運動學參數(shù)誤差與執(zhí)行端位姿誤差的關系式。

(2)

式中：dp=[dxdydz]T，為機構的位置誤差；dθ=[dαdβdγ]T,為機構的姿態(tài)角誤差；dai，dbi分別為上下鉸點的位置誤差。

聯(lián)立6條支鏈的運動學微分方程，提取位姿參數(shù)及運動學參數(shù)，可將式(2)整理為矩陣形式：

Jxδx=Jdδe

(3)

δe為運動學參數(shù)誤差；δx=[dpTdθT]T，為動平臺位姿誤差。一般并聯(lián)機構的雅可比矩陣Jx可逆，則式(3)可整理為:

δx=Jδe

(4)

2 辨識算法

6-UPS并聯(lián)機構正向運動學模型可用支腿驅動位移Δl與對應理論位姿xt之間的映射關系表示為[14]：

xt=f(Δl,e)

(5)

式中：Δl=[Δl1Δl2… Δl6]T。

δxj=xrj-xtj=xrj-f(Δlj,e)

j=1,2,…,n

(6)

根據(jù)并聯(lián)機構實測位姿與理論位姿的殘差平方和來構造代價函數(shù)S(e)[15]：

(7)

運動學參數(shù)標定的核心內容即通過最小化代價函數(shù)S(e)來估計機構實際運動學參數(shù)。這是一個典型的非線性最小二乘優(yōu)化問題[16]。求解非線性最小二乘問題，最常用的方法是GN，但是該方法當?shù)c處的負梯度方向與其迭代方向正交或接近正交時，可能會出現(xiàn)假收斂。LM是對GN的改進，比GN更加穩(wěn)健，且在迭代初值與真實值差距較大的情況下也能很好地收斂[17]。

對含有運動學參數(shù)誤差δe的正向運動學模型f(Δl,e+ δe)進行一階泰勒展開，可得：

f(Δl,e+δe)≈f(Δl,e)+Jδe

(8)

S(e+δe)≈[δX-Hδe]T[δX-Hδe]

(9)

代價函數(shù)最小化的必要條件為其導數(shù)為零[16]。因此對式(9)求導，忽略二階偏導項，令結果為零矩陣，可得：

HTHδe=HTδX

(10)

方程左側的HTH即為忽略二階偏導項的近似Hessian矩陣。由式(10)可得GN迭代步長δe：

δe=(HTH)-1HTδX

(11)

為保證近似Hessian矩陣的正定性，從而確保δe代表S(e)的下降方向，在HTH添加阻尼項λI(λ>0)，可得LM迭代步長：

δe=(HTH+λI)-1HTδX

(12)

采用LM對6-UPS并聯(lián)機構運動學參數(shù)進行辨識的步驟如下：

3)計算雅可比矩陣Hk。

辨識算法流程圖如圖 2所示。

圖2 辨識算法流程圖

3 仿真實驗

Gao等[9]研究表明，標定過程中所測位姿越多、涵蓋工作空間范圍越廣，則誤差雅可比矩陣的條件數(shù)越小，辨識得到的運動學參數(shù)越準確。同時為保證近似Hessian矩陣HTH的可逆性，實驗測量組數(shù)n需滿足m≤6n，m為待辨識的運動學參數(shù)數(shù)目[12]，即最小實驗位姿數(shù)目為7。綜合考慮實驗工作量及所測位姿的涵蓋范圍，本文在6-UPS并聯(lián)機構工作空間中選取了64組理論位姿XT0進行實驗。

表1 支鏈1和2運動學參數(shù)誤差辨識仿真結果 mm

4 標定實驗

4.1 實驗方案

本文采用faro激光跟蹤儀進行位姿測量，其測量精度為16 μm+0.8 μm/m。實驗設備如圖4所示。在下平臺5個參考點上固定靶球基座。用激光跟蹤儀測量5個點的坐標，以2點作為基坐標系{B}的原點O，用1，2，3點構造直線作為x軸，用5個點坐標構造xOy平面，以平面法向為z軸，在激光跟蹤儀自帶測量軟件CAM2 Measure中建立基坐標系{B}。用同樣的方法可以建立固結在動平臺上的動坐標系{A}。

在CAM2 Measure中，可以方便地讀取{A}到{B}位置矢量p，姿態(tài)角θ則要通過測量兩坐標系坐標軸之間的夾角計算求得。記rxy為{A}的x軸與{B}的y軸之間夾角的余弦值，其他符號以此類推，姿態(tài)角θ(α,β,γ)的計算公式如下[18]：

圖4 實驗設備

(13)

在6-UPS并聯(lián)機構工作空間中選取64組初始理論位姿XT0，根據(jù)機構的理論運動學參數(shù)，驅動支腿運動到指定位置。待機構穩(wěn)定后，利用上述方法可在CAM2 Measure中得到圖5所示的64組實測位姿XR。構造殘差方程δX0=XR-XT0，用第2節(jié)所述算法對機構實際運動學參數(shù)進行辨識。

圖5 實測位姿

4.2 實驗結果

辨識得到的6-UPS并聯(lián)機構的實際運動學參數(shù)見表2。辨識結束后，將并聯(lián)機構控制器內的理論參數(shù)替換為辨識到的實際參數(shù)，以達到誤差補償?shù)哪康摹?/p>

為了觀察標定對機構定位精度的提升效果，隨機選取25組位姿進行驗證，針對每組位姿，分別根據(jù)機構的理論參數(shù)和辨識參數(shù)驅動支腿運動到指定位置，用激光跟蹤儀分別測量實際位姿。比較測得的實際位姿與理論位姿的誤差，位置誤差Position_error和姿態(tài)誤差Orientation_error計算公式定義如下[15]：

(14)

表2 6-UPS并聯(lián)機構運動學參數(shù) mm

式中：xt和θt為隨機選取的理論位置和姿態(tài)；xr和θr為實際測得的位置和姿態(tài)。

圖6和圖7分別展示了標定前后的各組位姿的位置誤差和姿態(tài)誤差。從圖中可以看出，標定后位置誤差的范圍由7～10 mm降低到0～0.3 mm，姿態(tài)誤差的范圍由0.20°～0.45°降低到0～0.025°；位置均方根誤差由8.512 mm降低到0.178 mm，姿態(tài)角均方根誤差由0.330°降低到0.012°。由此可見，標定后機構的運動學精度提高了一個數(shù)量級以上。

圖6 標定前后的位置誤差

圖7 標定前后的姿態(tài)誤差

5 結論

本文針對6-UPS并聯(lián)機構進行了外部標定，得到如下結論：

1) 本文所用的對支鏈約束方程取微分推導運動學參數(shù)誤差模型的方法具有通用性，可用于其他構型并聯(lián)機構的運動學參數(shù)誤差模型的推導。

2)用 LM能夠準確辨識出并聯(lián)機構運動學參數(shù)，且辨識效果優(yōu)于GN。用辨識得到的運動學參數(shù)對并聯(lián)機構進行誤差補償，使得機構的位置精度和姿態(tài)精度都提高了一個數(shù)量級。