徐小琴

摘? ? 要??乘法分配律是小學數學的重要內容，也是備受爭議的教學難點與易錯內容。通過對乘法分配律“應該如何教學”“字母表示是否科學”“教學價值何在”的思考，提出乘法分配律教學應重數學本質、定律字母的表示應凸顯地位與順序、乘法分配律教學應貫穿聯(lián)系整個知識體系的理念。

關鍵詞 乘法分配律 教學 慎思 求索

乘法分配律是小學四年級乘法運算定律的重要內容，是乘法交換律和結合律之后的一個基本運算定律。本節(jié)內容是各種公開課、示范課的熱門課例，也是一線教師公認的“難啃的骨頭”。因此，基于已有文獻研究及乘法分配律內容結構的橫縱聯(lián)系，筆者擬從理解數學本質的角度談一些看法。

一、乘法分配律應該如何教

1.已有教學重情境輕本質

情境教學開創(chuàng)了教學改革的新天地，數學課堂引入情境使原本靜態(tài)的知識充滿生命。關于乘法分配律的教學情境包括：計算課桌椅的價格[1]、計算套裝衣服的價格、計算等寬異長的長方形（菜園）的面積[2]、計算參加植樹活動的學生人數[3]等形式。其教學設計過程都體現了從情境出發(fā)提煉不同算式，通過分組或者比賽的形式計算數值，比較計算方式，將更為簡單的計算方法抽象出符號表達式，讓學生經歷現實情境數學化、數學知識符號化的過程。

但是，教學最經濟的方式是“同化”。無論上述情境以何種方式教學，學習此內容學生能聯(lián)系到的已有知識基礎就是乘法與加法的運算，盡管有經歷知識建構的過程，但對乘法分配律的原理是以一個新知識、新內容進行順應的，離不開教師的“精心設計”。那么，乘法分配律本身有沒有脫離現實背景的數學意義呢？其實，乘法分配律并不是一個新知識，而是學生已有的知識經驗。

2.乘法分配律教學應重視數學本質

通常情況下獨立的知識內容學生掌握較好，但遇到新的問題情境或須要綜合幾個知識內容解決問題時就捉襟見肘、相形見絀。教學是由一個問題情境講一個知識內容的循環(huán)往復。挖掘學生已有知識經驗，建立新舊知識間的腳手架，達到學生認知最近發(fā)展區(qū)，才能實現教學的部分之和大于整體的成效。用數學知識串聯(lián)數學知識，建立數學知識的實質性聯(lián)系，一堂充溢數學味的課才是數學教學的真諦。

縱觀乘法分配律的前提鋪墊，在三年級下冊兩位數乘兩位數的口算乘法中就已經初步建立起“分配”原則的意識，只是側重于“湊整十”的計算，如圖1[4]所示。

這是兩位數乘一位數的乘法應用，其中學生已經初步具備將27拆分為20和7的理念（湊整）。27乘以3就是27個3，也就是20個3加7個3，180乘以5也就同理可得。其中提示被乘數可拆分為兩組數的和，并且是“幾個3與幾個3的和是27個3，幾個5與幾個5的和是180個5”。這就是早期建立起的乘法分配律的知識基礎，也是乘法分配律的腳手架——一個數與兩個數的和相乘。只是，這兩個數中有一個為整十數，是符合小學低段學生認知水平的。

兩位數與兩位數的乘法計算中，豎式計算是乘法計算的重要計算方式，在豎式計算教學中，滲透乘法分配律，如圖2[5]所示。

此豎式計算中，14與12相乘，分別用乘數中個位的2、十位的1與被乘數14相乘，結果相加。此過程充分體現了乘法分配律的原則，其模型構建過程如圖3所示。

因此，乘法分配律對四年級學生來說并不是一個陌生的新問題，而是熟悉的舊知識，教學過程只需要喚起學生對已有知識的再現，使學生認識“知識的來源”，用“乘法分配律”賦予知識新的命名。

乘法分配律的教學應直接以“ 怎么計算”為問題切入口，去除非本質的生活情境，在乘法豎式計算的過程中剖析計算過程的法與理（算法與算理）。同時，以此為基準認識12可以任由兩個數的和組成，破除已有知識的桎梏，導之以數學問題，得到結構化的知識框架，并舉例應用。

二、乘法分配律的字母表示科學嗎

教材[6]乘法分配律的字母表示為（a+b）×c=a×c+b×c ，這是乘法左分配律，表達式看似簡單易懂，是字母表示數的典型代表，也是培養(yǎng)學生符號意識和抽象素養(yǎng)的基礎。但是，教材乘法分配律的字母表示存在字母間地位不凸顯的問題，學生易產生字母間的混淆，這也是學生容易出錯的地方。同時，在介紹左分配律和右分配律的順序上有失穩(wěn)妥，對后繼學習的遷移也有影響。

1.字母地位不凸顯，學生易混淆

字母表示數，26個英文字母的地位與作用看似一樣，但事實上不同的字母在數學學科中有著其約定俗成的意義，如面積用S，邊長用a，高用h，未知數通常用 x，y來表示等。除了考慮部分英文字母首字母以外，更應符合學生的認知規(guī)律。

乘法分配律中的字母選擇的是學生最熟悉的連續(xù)字母 ，三者之間的關系猶如姊妹、兄弟。從心理學的角度來看，其共同屬性較多，區(qū)分度較低，學生在應用過程中容易產生概念泛化。因此，可將乘法分配律的字母表達式改為（a+b）×m=a×m+b×m。字母a，b的關系依舊是姊妹、兄弟，而m與a，b區(qū)分度高，學生理解更容易。該形式更具有推廣價值，如（a+b+c）×m=a×m+b×m+c×m等。

2.左右分配順序顛倒，學生難遷移

大多數教師的教學與教材設置一樣，將教學重點落在左分配律的學習上，最后通過“想一想”“試一試”等問題設計驗證右分配律的存在，并且根據乘法的交換律得出左、右分配律的結果相等。通過后續(xù)學習我們知道，左分配律和右分配律在大多情況下是不相等的，如向量，矩陣。那么，左、右分配律哪一個更重要呢？右分配律更重要。杜威認為，思維的開始階段就是經驗[7]。也就是思維產生于學生已經知道的或者積累的認識事物的一般規(guī)律。人類認識事物的一般規(guī)律是由易到難，由特殊到一般。乘法右分配律m×（a+b）=m×a+m×b表示一個數與兩個數的和相乘，等于這個數分別與兩個數分別相乘，再相加。m在運算過程中不變，分配過程相當于 穿透括號分別與a，b作用，也將“分配”具體化。因此，右分配律更符合學生認知規(guī)律，具有科學性。

從學習知識的遷移角度來看，右分配律對后繼學習簡便計算、提取公因數（公因式）、提取公因式等有重要鋪墊作用。因此，乘法右分配律具有重要的遷移價值，應作為教學重點。

三、乘法分配律的價值何在

1.乘法分配律為小學簡便計算提供方法

小學四年級的一個重要內容就是乘法運算定律的學習，而運算定律學習的一個共同目標就是簡便計算，初步培養(yǎng)學生的發(fā)散思維。乘法分配律的學習為復雜的混合運算提供方法基礎，如計算111×7+3×111，運用乘法分配律的逆運算能簡化運算量，在審題、讀題過程中發(fā)現數與數的關系，再現知識儲備中的計算方法，對學生思維的培養(yǎng)（逆向、發(fā)散思維等）具有一定作用。

2.乘法分配律為初中因式分解提供指導

因式分解在數的簡便計算、整式的除法、分式的混合運算、解方程等方面都具有潛在的重要作用[8]。進行因式分解的重要方法就是提取公因式，找出多項式中的公因式也就成為了教學的重難點。與提取公因式密切聯(lián)系的知識基礎就是乘法分配律，簡單的說提取公因式就是乘法分配律的逆運算，即提取多項式中都含有的相同因式。因此，乘法分配律的學習對后繼學習因式分解具有積極作用。

3.乘法分配律為高等數學學習提供原理

乘法分配律在高等數學的眾多知識內容中仍就存在，數與矩陣的和滿足分配律，矩陣的乘法和加法滿足分配律，這都是矩陣問題中常用的性質，也是推導其它性質的基礎。同時，乘法分配律為群論、拓撲學、復變、泛函等高等數學學習都提供了指導性原理。

可見，乘法分配律具有重要的教學價值和理論意義。在小學數學教學中滲透其教育價值有利于學生知曉“知識的去向”，對培養(yǎng)學生的學科素養(yǎng)和科學精神具有現實意義。

參考文獻

[1] 許萬明.乘法分配律教學探新[J].小學教學研究，1994（11）.

[2] 徐偉平.借助幾何直觀，提高運算教學效率[J].教學與管理：小學版，2015（20）.

[3] 丁玉華.以問題提出促進意義構建——“乘法分配律”教與學現狀分析及教學建議[J].教育科學論壇，2019（04）.

[4] 曹才翰，章建躍.數學教育心理學[M].第2版.北京：北京師范大學出版社，2006.

[5] 人民教育出版社課程教材研究所.義務教育教科書數學三年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[6] 人民教育出版社課程教材研究所.義務教育教科書數學四年級（下冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[7] 杜威.民主主義與教育[M].王承緒，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[8] 金曉群.重視數學學習中必要性的體驗[J].教學與管理，2007（31）.

[責任編輯：陳國慶]

該文為四川省“西部卓越中學數學教師協(xié)同培養(yǎng)計劃”項目（ZY16001）、2018年度內江師范學院科研項目“基于PME視角的數學建模素養(yǎng)實踐路徑的探索”（18SC11）的階段性研究成果