溫宇鵬

【摘要】月球探測(cè)器著陸軌道近遠(yuǎn)月點(diǎn)位置及速度的確定是月球探測(cè)器成功著陸的關(guān)鍵，本文以嫦娥三號(hào)探測(cè)器為背景，對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行分析，利用拋物線方程及行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，確定了嫦娥三號(hào)探測(cè)器著陸軌道近遠(yuǎn)月點(diǎn)位置及速度。

【關(guān)鍵詞】軟著陸;拋物線方程;行星運(yùn)動(dòng);嫦娥三號(hào)

“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月10日抵達(dá)準(zhǔn)備著陸軌道，隨即進(jìn)行月球軟著陸?！版隙鹑?hào)”成功實(shí)現(xiàn)軟著陸對(duì)我國(guó)探月工程的發(fā)展有著重要意義。

“嫦娥三號(hào)”在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生1500N到7500N的可調(diào)節(jié)推力，其比沖（即單位質(zhì)量的推進(jìn)劑產(chǎn)生的推力）為2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，在給定主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力方向后，能夠自動(dòng)通過(guò)多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為（19.51W，44.12N），海拔為-2641m。

參考軟著陸動(dòng)力學(xué)模型，構(gòu)建軟著陸坐標(biāo)系（見(jiàn)圖1）：

探測(cè)器近月運(yùn)行軌道為100km×15km橢圓軌道，取近月點(diǎn)時(shí)的星下點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。以當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)指向著陸器的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸正向，沿月心Om指向O方向?yàn)閥軸正向。大氣阻力與月心引力和制動(dòng)力相比非常小，可以忽略不計(jì)，探測(cè)器在xoy面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。由此，建立探測(cè)器月面軟著陸動(dòng)力學(xué)方程

其中φ表示推力方向與x軸的夾角;u表示制動(dòng)火箭的秒噴量;k表示發(fā)動(dòng)機(jī)排氣速度;μL表示月球引力常數(shù);表示探測(cè)器距月心的半徑;R0表示月球平均半徑。取狀態(tài)變量x1=Vx，x2=Vy，x3=x，x4=y，x5=m，控制變量u1=u，u2=cosφ，u3=sinφ。將方程（1）表示成狀態(tài)方程

設(shè)計(jì)此控制器，得到一個(gè)最佳的控制規(guī)律u=[u1，u2，u3]T，來(lái)調(diào)整推力的大小和方向，使探測(cè)器在月面實(shí)現(xiàn)軟著陸。

探測(cè)器進(jìn)入準(zhǔn)備著陸軌道，在距月球表面15km的近月點(diǎn)開(kāi)始著陸，其軌跡為拋物線，其運(yùn)動(dòng)軌跡見(jiàn)圖2，建立拋物線方程

從而在拋物線軌道方程中確定近月點(diǎn)遠(yuǎn)月點(diǎn)位置。根據(jù)分析可知探測(cè)器繞月運(yùn)動(dòng)符合行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律，將探測(cè)器類比為行星，繞著月球運(yùn)動(dòng)。根據(jù)開(kāi)普勒第二定律（面積定律）確定探測(cè)器的

角動(dòng)量守恒

機(jī)械能守恒，

根據(jù)守恒定律求解速度大小和方向，近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)速度方向示意如圖2、3。

設(shè)r1為月心到近月點(diǎn)的距離，近月點(diǎn)到月球表面的距離為15km，r2為月心到遠(yuǎn)月點(diǎn)的距離，遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球表面的距離為100km，v1為探測(cè)器在近月點(diǎn)的速度，v2為探測(cè)器在遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度，m為探測(cè)器質(zhì)量，M為月球質(zhì)量，R為月球平均半徑，R=1737.013km.

所以探測(cè)器在近月點(diǎn)速度大小為1.695km/s，方向沿軌道切線方向;探測(cè)器在遠(yuǎn)月點(diǎn)速度大小為1.617km/s，方向沿軌道切線方向;然而近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度方向相反，并且都與近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)和球心的連線垂直。

由于嫦娥三號(hào)在3000到2400米階段是瞬間完成的，可粗略認(rèn)為3000米與2400米水平位移為0。嫦娥三號(hào)從15000m-3000m飛行中。由于此時(shí)水平速度很大，可以將這段拋物線看成水平路徑。則分析得，近月點(diǎn)到著陸點(diǎn)水平距離由水平距離公式：

解得：水平距離為536.58km.

由月球每千米對(duì)應(yīng)的度數(shù)公式為：180/（1740×π）.

可解得近月點(diǎn)的緯度為：

經(jīng)度為：19°52′W.

遠(yuǎn)月點(diǎn)的緯度為：28°21′N; 160°49′經(jīng)度為E.

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