張 夢(mèng)，張曉平，呂根根，劉泉聲

(武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，巖土與結(jié)構(gòu)工程安全湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430072)

0 引言

石墨烯是一種由碳原子以sp2雜化軌道組成六角型呈蜂巢晶格的二維碳納米材料。單層石墨烯薄膜材料由K.S.Novoselov和A.K.Geim利用微機(jī)械剝離技術(shù)成功制備[1]。隨著石墨烯制備方法的不斷發(fā)展，學(xué)術(shù)界對(duì)該材料的研究逐漸增多。Lee等[2]研究了在原子力顯微鏡(AFM)下通過納米壓痕試驗(yàn)測(cè)量的單層石墨烯薄膜的力學(xué)性質(zhì)，該研究表明單層石墨烯薄膜的二維彈性模量為340 N/m，斷裂強(qiáng)度為42 N/m，而單層石墨烯薄膜的理論厚度只有0.335 nm，因此對(duì)應(yīng)石墨烯的彈性模量為1 TPa左右，抗拉強(qiáng)度為130 GPa左右。作為一種二維材料，石墨烯的比表面積值很大，可以將其集成至微電子、MEMS、NEMS器件和復(fù)合材料中，因此石墨烯材料與器件基底的粘結(jié)力對(duì)器件的穩(wěn)定性很重要。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，石墨烯與二氧化硅表面的吸附能很強(qiáng)，1～5層石墨烯與二氧化硅的吸附能在0.1～0.45 J/m2之間[3-5]。2007年，J.S.Bunch等[6]將石墨烯薄膜懸浮于由二氧化硅層刻蝕出的矩形空腔上，構(gòu)成諧振器并測(cè)量外力。該結(jié)構(gòu)是懸浮式石墨烯壓力傳感器的原型。2012年，A.D.Smith 等[7]根據(jù)石墨烯薄膜緊束縛模型理論，設(shè)計(jì)出完整的懸浮式石墨烯壓力傳感器結(jié)構(gòu)，并在2013年[8]制作出了該傳感器，當(dāng)空腔內(nèi)外有壓力差時(shí)，石墨烯薄膜會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力應(yīng)變，其電阻率發(fā)生變化，則可根據(jù)其電阻率的變化來測(cè)量壓力的大小。S.E.Zhu等[9]提出了一種以SiN為壓力膜的懸浮式石墨烯壓力傳感器，通過測(cè)量，得到的應(yīng)變系數(shù)約為1.6，動(dòng)態(tài)范圍為0～700 mbar(1 bar=105Pa)。但目前的懸浮式石墨烯壓力傳感器在設(shè)計(jì)、制造和試驗(yàn)過程中，對(duì)于傳感器的敏感特性等機(jī)理還需更進(jìn)一步的研究。且傳感器尺寸只是根據(jù)前人的經(jīng)驗(yàn)，其設(shè)計(jì)尚處于經(jīng)驗(yàn)摸索階段；且在已有懸浮式石墨烯壓力傳感器的實(shí)驗(yàn)與研究中，大多在低應(yīng)力環(huán)境下，實(shí)際上石墨烯材料的楊氏模量和抗拉強(qiáng)度很高，因此可以考慮將其用于高應(yīng)力環(huán)境下。本文采用有限元方法，對(duì)傳感器中的壓敏元件——石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的應(yīng)力與應(yīng)變進(jìn)行模擬分析，為懸浮式石墨烯壓力傳感器的設(shè)計(jì)提供參考。

1 基于薄膜大撓度變形的理論模型

傳感器的示意圖如圖1所示，傳感器空腔的形狀和尺寸決定了石墨烯薄膜的形狀和尺寸，因此只需對(duì)石墨烯薄膜的形狀和尺寸進(jìn)行模擬研究即可。單層石墨烯薄膜的厚度為0.335 nm，在均布應(yīng)力作用下其撓度形變遠(yuǎn)大于薄膜厚度，撓度特性表現(xiàn)為非線性。

圖1 懸浮式石墨烯壓力傳感器示意圖

1.1 圓薄膜大撓度模型

1910年，馮卡門推導(dǎo)如式(1)所示的平板大撓度非線性方程組[10]。其用于均布應(yīng)力下周邊固支的圓薄膜中心大撓度變形問題，奠定了薄板應(yīng)力撓度分析的基礎(chǔ)。

(1)

式中：D和E分別為圓薄膜的抗彎剛度與彈性模量；t為薄膜厚度；r為圓薄膜半徑；q為均布載荷；Fr為中面內(nèi)力；ω為薄膜中心撓度。

針對(duì)該非線性方程組，錢偉長(zhǎng)在求解圓板大撓度問題時(shí)提出了以荷載和中心撓度為攝動(dòng)參數(shù)的攝動(dòng)法[11]，不同均布應(yīng)力下中心撓度ω與均布載荷q之間的關(guān)系如式(2)所示：

(2)

式中υ為泊松比。

應(yīng)用里茨法求解圓薄膜問題時(shí)，通過調(diào)整函數(shù)中的待定常數(shù)獲取逼近于真解的近似解[12]，則圓薄板中心撓度ω可進(jìn)一步表示為

(3)

1.2 球殼模型

1959年，J.W.Beams通過鼓泡實(shí)驗(yàn)獲取沉積在基體上的薄膜力學(xué)性能，提出了球殼模型[13]，即假設(shè)當(dāng)圓形薄膜受均布面荷載時(shí)薄膜發(fā)生均勻?qū)ΨQ的膨脹，其撓度特性可由式(4)得到。

(4)

考慮薄膜預(yù)應(yīng)力的影響時(shí)，式(4)可改寫為

(5)

式中σ0為石墨烯薄膜的預(yù)應(yīng)力。

2007年，原子力顯微鏡(AFM)與薄膜膨脹試驗(yàn)(Beams鼓泡試驗(yàn))被用來研究石墨烯薄膜的納米力學(xué)性質(zhì)[14-15]。

1.3 Ma J模型

2012年，J.Ma等制作了光纖F-P腔石墨烯壓力傳感器以實(shí)驗(yàn)分析石墨烯薄膜的力學(xué)性能[16]，給出了均布應(yīng)力q與薄膜撓度ω之間的近似關(guān)系，如式(6)所示。

(6)

對(duì)比式(5)、式(6)可知，由Beams方程和文獻(xiàn)[16]兩種方法得出的結(jié)果僅第一項(xiàng)的系數(shù)不同，因此兩者所求的撓度特性存在系數(shù)偏差。

2 石墨烯薄膜的有限元仿真模擬

2.1 模型的建立與參數(shù)設(shè)定

單層石墨烯薄膜的理論厚度為0.335 nm，楊氏模量為1 TPa，泊松比為0.16。在懸浮式石墨烯壓力傳感器中，石墨烯薄膜覆蓋于空腔上，而石墨烯薄膜與SiO2間的粘結(jié)力很強(qiáng)，因此將模型中的石墨烯薄膜設(shè)為周邊固支。同時(shí)，根據(jù)已有的研究，將石墨烯薄膜的初始預(yù)應(yīng)力設(shè)為0.1 N/m。單層石墨烯薄膜的厚度很薄，因此在COMSOL軟件中，選擇二維“板”單元模擬石墨烯薄膜，而后在石墨烯薄膜上施加均布應(yīng)力。由于石墨烯薄膜的變形較大，因此在計(jì)算時(shí)選擇“非線性計(jì)算”。由于網(wǎng)格精度對(duì)模擬結(jié)果有一定的影響，因此對(duì)模型中的網(wǎng)格劃分進(jìn)行研究，確定合適的網(wǎng)格劃分精度。

模型中圓形石墨烯薄膜的直徑為5 μm，周邊固支，在薄膜上施加范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應(yīng)力，網(wǎng)格單元為自由三角形，精度分別為超細(xì)化、細(xì)化、常規(guī)、粗糙，比較相同均布應(yīng)力作用下，石墨烯中心點(diǎn)的位移大小如圖2所示，模型的位移云圖示意圖如圖3所示。

圖2 不同網(wǎng)格精度下的石墨烯薄膜中心點(diǎn)在不同均布應(yīng)力下的位移

圖3 均布應(yīng)力作用下圓形石墨烯薄膜的位移云圖示意圖

由圖2可知，在相同均布應(yīng)力作用下，不同精度網(wǎng)格劃分的石墨烯薄膜中心點(diǎn)的位移很接近。計(jì)算時(shí)，當(dāng)網(wǎng)格劃分精度為粗化時(shí)，若施加的均布應(yīng)力大小為70 MPa及以上會(huì)導(dǎo)致計(jì)算不收斂，計(jì)算失??；當(dāng)網(wǎng)格劃分為精度為細(xì)化時(shí)，若施加的均布應(yīng)力大小為95 MPa及以上會(huì)導(dǎo)致計(jì)算不收斂，計(jì)算失??；當(dāng)網(wǎng)格劃分為極細(xì)化時(shí)，計(jì)算時(shí)間約為較細(xì)化精度下的10倍左右。因此，在進(jìn)行模擬計(jì)算時(shí)，綜合考慮計(jì)算效率和計(jì)算精度，將網(wǎng)格劃分精度選為較細(xì)化。

為了驗(yàn)證模擬的可靠性，在5～100 MPa載荷范圍內(nèi)以5 MPa間隔，一共選取20組均布應(yīng)力施加于石墨烯薄膜上，由于在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，是根據(jù)傳感器的變形所導(dǎo)致的電阻變化來測(cè)應(yīng)力，因此根據(jù)COMSOL的位移結(jié)果，計(jì)算各個(gè)理論相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值，比較與COMSOL施加應(yīng)力值的誤差，則不同位移下的均布應(yīng)力理論解與仿真值如圖4所示。

圖4 不同位移下的均布應(yīng)力

由圖4可知，Beams方程解與仿真值最接近，誤差很小，三階攝動(dòng)解次之，其余理論解與仿真值的誤差較大；且隨著石墨烯薄膜的變承受的均布應(yīng)力逐漸增加，理論解與COMSOL仿真值的絕對(duì)誤差越來也大。而在2007年，原子力顯微鏡(AFM)與薄膜膨脹試驗(yàn)(Beams鼓泡試驗(yàn))被用來研究石墨烯薄膜的納米力學(xué)性質(zhì)，因此可以利用COMSOL來模擬計(jì)算單層石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的變形特性。

2.2 同面積下不同形狀的石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的模擬研究

選擇直徑為5 μm的圓形石墨烯薄膜，根據(jù)其面積計(jì)算相同面積下矩形和正方形薄膜的尺寸(矩形薄膜長(zhǎng)寬比為2.5∶1)。在石墨烯薄膜上施加范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應(yīng)力，計(jì)算其應(yīng)力應(yīng)變。在3種不同形狀的石墨烯薄膜中，選取如圖5所示的二維截線，計(jì)算其變形前后的長(zhǎng)度，據(jù)此計(jì)算石墨烯薄膜的應(yīng)變。

(a)圓形薄膜的二維截線

(b)方形薄膜的二維截線

(c)矩形薄膜的二維截線

不同均布應(yīng)力下，不同形狀的石墨烯薄膜的應(yīng)變、最大應(yīng)力和中心點(diǎn)的位移如圖6所示。

由圖6可以看出，在相同均布應(yīng)力下，圓形石墨烯薄膜的應(yīng)變最小，正方形與矩形的應(yīng)變接近，但三者差距不明顯；方形薄膜上的最大應(yīng)力值最大，矩形薄膜次之，圓形薄膜最??；但圓形薄膜中心點(diǎn)的位移最大，方形石墨烯薄膜中心點(diǎn)的位移略微次之，矩形石墨烯薄膜中心點(diǎn)的位移最小，且遠(yuǎn)低于前兩種形狀的石墨烯薄膜。同均布應(yīng)力作用下矩形石墨烯薄膜中心點(diǎn)的位移最小，但其應(yīng)變很高，是因?yàn)樵谧冃吻熬匦味S截線最短，約為圓形石墨烯薄膜和正方形石墨烯薄膜二維截線的一半，即使其中心點(diǎn)的位移較小(約為其余兩種情況的一半)，也會(huì)導(dǎo)致其應(yīng)變很高——與圓形和正方形石墨烯的應(yīng)變接近。矩形薄膜和方形薄膜的最大應(yīng)力值較高，是因?yàn)橄啾扔趫A形薄膜，這兩種形狀薄膜更容易產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，已知單層石墨烯薄膜的斷裂強(qiáng)度約為130 GPa，則在上述模擬中，當(dāng)均布應(yīng)力為25～30 MPa間的某個(gè)值時(shí)，圓形石墨烯薄膜會(huì)產(chǎn)生破壞；當(dāng)均布應(yīng)力為20～25 MPa間的某個(gè)值時(shí)，矩形石墨烯薄膜會(huì)產(chǎn)生破壞；當(dāng)均布應(yīng)力為15～20 MPa間的某個(gè)值時(shí)，正方形石墨烯薄膜會(huì)產(chǎn)生破壞。

(a)不同形狀石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的應(yīng)變

(b)不同形狀石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的最大應(yīng)力值

(c)不同形狀石墨烯薄膜的中心點(diǎn)在均布應(yīng)力下的位移

因此，當(dāng)利用石墨烯的壓阻效應(yīng)制作石墨烯壓力傳感器時(shí)，主要考慮的是其應(yīng)變，在高應(yīng)力環(huán)境下，綜合量程與靈敏度，同面積下應(yīng)選擇圓形石墨烯壓力薄膜。

2.3 相同二維截線長(zhǎng)度下石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的模擬研究

在上述模擬中，正方形、圓形和矩形石墨烯薄膜的面積一樣，但計(jì)算應(yīng)變時(shí)選取二維截線長(zhǎng)不一樣，則考慮分析當(dāng)二維截線長(zhǎng)相同時(shí)，不同形狀的石墨烯薄膜在均勻應(yīng)力下的應(yīng)力應(yīng)變。計(jì)算時(shí)，二維截線的選取位置與上述模擬一致，3種形狀石墨烯薄膜的二維截線長(zhǎng)均為5 000 nm，矩形的長(zhǎng)為8 000 nm，施加范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應(yīng)力，如圖7所示。

(a)不同形狀石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的應(yīng)變

(b)不同形狀石墨烯薄膜在均布應(yīng)力下的最大應(yīng)力值

(c)不同形狀石墨烯薄膜的中心點(diǎn)在均布應(yīng)力下的位移

由圖7可以看出，在相同的均布應(yīng)力作用下，應(yīng)變、應(yīng)力最大值還是中心點(diǎn)的位移，均是矩形最大，正方形次之，圓形最小，且該尺寸下矩形和正方形石墨烯薄膜能承受的最大均布應(yīng)力均在10～15 MPa之間，而圓形石墨烯薄膜能承受的最大均布應(yīng)力在25～30 MPa之間。導(dǎo)致該結(jié)果的原因是，當(dāng)二維截線相同時(shí)，矩形石墨烯薄膜的面積最大，正方形次之，圓形最小。由此可推想，是否當(dāng)矩形石墨烯薄膜的寬度一定時(shí)，長(zhǎng)度越長(zhǎng)則應(yīng)變、應(yīng)力最大值和中心點(diǎn)的位移越大。

2.4 不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜在均布應(yīng)力下的模擬研究

選擇矩形薄膜的寬分別為5 000 nm、4 000 nm和3 000 nm，長(zhǎng)寬比分別為6∶5、7∶5、8∶5、9∶5和10∶5，計(jì)算在范圍為5～100 MPa，間隔為5 MPa的均布應(yīng)力作用下石墨烯薄膜的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，結(jié)果如圖8～圖10所示。

(a)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜在均布應(yīng)力下的應(yīng)變

(c)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜中心點(diǎn)在均布應(yīng)力下的位移

(a)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜在均布應(yīng)力下的應(yīng)變

(b)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜在均布應(yīng)力下的最大應(yīng)力值

(c)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜中心點(diǎn)在均布應(yīng)力下的位移

由圖8～圖10可以看出，隨著矩形石墨烯薄膜長(zhǎng)寬比的增大，既矩形石墨烯薄膜長(zhǎng)度的增加，在相同的均布應(yīng)力作用下，石墨烯薄膜的應(yīng)變、最大應(yīng)力值和中心點(diǎn)的位移均逐漸增加。當(dāng)長(zhǎng)寬比從6∶5增至7∶5時(shí)，石墨烯薄膜的應(yīng)變、最大應(yīng)力值和中心點(diǎn)的位移的增加幅度較大；當(dāng)長(zhǎng)寬比從7∶5增值8∶5時(shí)，石墨烯薄膜的應(yīng)變、最大應(yīng)力值和中心點(diǎn)的位移的增加幅度較小，但可在圖中清楚的看出；當(dāng)長(zhǎng)寬比為8∶5、9∶5和10∶5時(shí)，三者的結(jié)果較接近，看不出很明顯的變化。則對(duì)于矩形石墨烯壓力薄膜，當(dāng)長(zhǎng)寬比大于1.6時(shí)，改變長(zhǎng)寬比對(duì)其影響不大。

(a)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜在均布應(yīng)力下的應(yīng)變

(b)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜在均布應(yīng)力下的最大應(yīng)力值

(c)不同長(zhǎng)寬比的矩形薄膜中心點(diǎn)在均布應(yīng)力下的位移

3 結(jié)論

本文結(jié)合已有的大撓度變形理論，檢驗(yàn)了COMSOL有限元仿真模擬，并利用COMSOL軟件研究了同面積下不同形狀的石墨烯薄膜的壓力敏感特性，討論了長(zhǎng)寬比對(duì)矩形石墨烯薄膜壓力敏感特性的影響。得出以下結(jié)論：面積相同時(shí)，矩形石墨烯薄膜最敏感，膜上的最大應(yīng)力值最高；圓形薄膜在均布應(yīng)力下的應(yīng)變最小，但與矩形和正方形薄膜的應(yīng)變相近。而石墨烯薄膜的形狀即為空腔的形狀，因此在高應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)將傳感器制成圓形空腔，在較低應(yīng)力狀態(tài)下可制成正方形或矩形空腔，且矩形空腔的長(zhǎng)寬比不宜大于1.6。