蔡淅韻

近年來，中國國內(nèi)生產(chǎn)總值保持較快增長，經(jīng)濟總量不斷擴大，發(fā)展取得顯著成就。國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），是指按照市場價格計算的一個國家或地區(qū)所有常住單位在一定時期內(nèi)生產(chǎn)活動的最終成果，能夠反映經(jīng)濟實力和市場規(guī)模。如何利用適當?shù)哪Ｐ蛯ζ溥M行時間序列分析和預(yù)測，對更好地研究國家經(jīng)濟表現(xiàn)具有重要的經(jīng)濟意義。為了更好地研究國家的經(jīng)濟表現(xiàn)，本文選取季度GDP作為經(jīng)濟指標，對該指標進行分析，建立了包含趨勢和季節(jié)成分的ARIMA模型并進行短期的季度預(yù)測。

1 基于ARIMA模型的GDP預(yù)測理論模型

對GDP進行短期預(yù)測時，季節(jié)性ARIMA模型能夠刻畫出數(shù)據(jù)變化特征和周期性特征。利用ARIMA模型建模首先需要對序列平穩(wěn)性進行識別。一般來說，經(jīng)濟運行的時間序列都不是平穩(wěn)序列，則需要對數(shù)據(jù)進行差分處理。如果數(shù)據(jù)存在異方差需進行對數(shù)運算，直到處理后數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)值、偏自相關(guān)函數(shù)值無顯著地異于0。在生活中，部分時間序列具有明顯周期性季節(jié)效應(yīng)、趨勢效應(yīng)和隨機波動。首先求出季節(jié)效應(yīng)擬合St，并采用中心化的方法將該估計加以修正得到新的估計，最終通過差分處理消除趨勢效應(yīng)的影響。根據(jù)時間序列模型的識別規(guī)則，建立相關(guān)的模型：若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)是截尾的，而自相關(guān)函數(shù)是拖尾的，可斷定序列適合AR模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)是拖尾的，而自相關(guān)函數(shù)是截尾的，則可斷定序列適合MA模型；若平穩(wěn)序列的偏相關(guān)系數(shù)和自相關(guān)函數(shù)均是拖尾的，則序列適合ARMA模型。

2 實例分析

本次建模中，所使用數(shù)據(jù)為1992—2018年的全國GDP季度數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于中經(jīng)網(wǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)庫。利用1992—2016年共100個季度GDP數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集設(shè)定模型參數(shù)，用2017—2018年的數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合效果及誤差分析，比對預(yù)測值和實際值以驗證模型的可信度，最后預(yù)測2019—2021年。

2.1 數(shù)據(jù)波動性分析

由原序列xt的時序圖可以看出該序列有非零均值、有明顯的增長趨勢，說明該序列是非平穩(wěn)且存在異方差；具有明顯的周期性，周期為4個季度，因此可以確定xt是帶有趨勢性和季節(jié)性的時間序列。自相關(guān)系數(shù)沒有隨著延遲期數(shù)的增加衰減到0的趨勢，因此可以認為是xt非平穩(wěn)序列。由白噪音檢驗得知在顯著性水平為5%時，序列值之間蘊含相關(guān)關(guān)系，拒絕原序列xt是白噪音的假設(shè)。

接著對xt做對數(shù)變換消除異方差性，得到序列yt=ln(xt)，進一步觀察yt的時序圖發(fā)現(xiàn)該序列有明顯的增長趨勢，自相關(guān)系數(shù)沒有隨著延遲期數(shù)的增加衰減到0的趨勢，因此可以認為是yt非平穩(wěn)序列。由白噪音檢驗得知在顯著性水平為5%時，P值均小于0.05，拒絕yt是白噪音的原假設(shè)，即yt不是白噪音，具有研究價值。

2.2 參數(shù)估計

自相關(guān)函數(shù)圖顯示Zt一階截尾性質(zhì)明顯，通過BIC信息可判斷選用AR(4)模型。在Dickey-Fuller單位根檢驗中（表1），統(tǒng)計量的P值都明顯小于顯著性水平5%，可以進行接下來的參數(shù)分析。初次參數(shù)估計結(jié)果顯示截距項不顯著，去除后重新擬合的結(jié)果如表2?？芍?，在顯著性水平5%所有參數(shù)的P值都小于0.05，參數(shù)顯著不為零，因此通過顯著性檢驗。白噪音檢驗結(jié)果表明檢驗P值均遠大于0.05顯著性水平，接受序列為白噪音的原假設(shè)，可以認為殘差序列是白噪音，所以模型顯著。

表1 Dickey-Fuller單位根檢驗

表2 最小二乘法擬合結(jié)果

該序列模型為：

2.3 預(yù)測結(jié)果

根據(jù)擬合模型對2017—2018年的GDP季度數(shù)據(jù)進行預(yù)測，2017年第一季度預(yù)測值與實際值相對誤差率17.8%，第二季度相對誤差率4.3%，第三季度相對誤差率12.2%，第四季度相對誤差率12.3%；2018年第一季度相對誤差率21.7%，第二季度相對誤差率0.6%，第三季度相對誤差率19.7%，第四季度相對誤差率22%。估計標準誤差為0.036，AIC值為-370.795。2017年GDP擬合結(jié)果平均絕對百分比誤差(MAPE)為4.31%；2017—2018年GDP擬合結(jié)果平均絕對百分比誤差為7.33%；2018年GDP擬合結(jié)果平均絕對百分比誤差為10.36%。當MAPE值低于10%，則認為預(yù)測精度很高，屬于高精度預(yù)測類型，所以本模型擬合效果較好?？梢钥闯鲱A(yù)測值和實際值在4個季度內(nèi)預(yù)測比較準確，隨著時間預(yù)測的延長，8個季度以上預(yù)測誤差相對增大。根據(jù)2017年及2018年觀測的實際值進一步修正模型后，得到2019—2021年12個季度GDP預(yù)測值見表3，預(yù)測走勢見圖2。從預(yù)測結(jié)果上看，國內(nèi)生產(chǎn)總值仍然延續(xù)以往的增長規(guī)律，每年的第四季度都是一年中的最大值，這和往年的變化規(guī)律是一致的。

圖1 Zt 二階差分后時序圖

圖2 2019—2021年GDP預(yù)測走勢圖

表3 2019—2021年GDP預(yù)測值（億元）

3 結(jié)語

針對GDP進行短期預(yù)測，首先結(jié)合時間序列模型分析GDP數(shù)據(jù)特征，由于序列非平穩(wěn)進行差分作平穩(wěn)化處理，構(gòu)建季節(jié)性ARIMA模型。以2017—2018年數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)估計后的測試組，將預(yù)測的GDP數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)進行對比。結(jié)果顯示，季節(jié)性ARIMA模型作為GDP預(yù)測模型是可行的，擬合平均絕對百分比誤差MAPE等于7.33%，驗證了模型有良好的精度。隨著時間跨度的增加，該模型的預(yù)測值與真實值之間的誤差率逐漸增大。但盡管如此，如果在建立模型過程中根據(jù)觀測的實際值進一步修正模型對8個季度以后的預(yù)測，則可以得到精確度更高的預(yù)測值。因此從短期來看，ARIMA模型對GDP的預(yù)測具有一定的可信度，有一定的實用性。