李 陳，巢海燕，侯 偉

（1.中聯(lián)煤層氣有限責(zé)任公司，北京100016；2.中石油煤層氣有限責(zé)任公司，北京100028）

煤層氣的產(chǎn)能解析解模型基于Warren J E,Root P J（1963）、De Swaan O（1976）等人提出的常規(guī)氣藏雙重介質(zhì)模型[1-2]；隨后Anbarci K（1990）[3]等人引入Langmuir 等溫吸附方程和Fick 擴(kuò)散定律來表示滲流過程中的解析吸附過程，從而分析其壓力產(chǎn)量變化情況。在煤層氣藏的解析解模型中，一般考慮裂縫為無限大導(dǎo)流能力，模型中的人工水力裂縫為一條高滲通道，所以可以假設(shè)其具有無限大的滲透率，從氣藏流入其中的流體瞬間流入井筒，那么裂縫中每個(gè)點(diǎn)的流量相等且流動(dòng)不產(chǎn)生壓降[4－5]。但是，實(shí)際的天然裂縫并非具有無限大的滲透率，考慮裂縫的滲流能力勢必帶來巨大的計(jì)算量，從而影響有限導(dǎo)流裂縫模型在實(shí)際氣藏開發(fā)中的應(yīng)用。另外，由于煤層氣藏脆性較大以及吸附氣存在，在生產(chǎn)的過程中，一方面，上覆巖層對基質(zhì)的壓縮將使得滲透率減小，另一方面，吸附氣的解吸作用將使得基質(zhì)被壓縮。這2 種現(xiàn)象表現(xiàn)在滲流模型中為滲透率和孔隙度隨著壓力而變化。近年來，大量研究人員研究了基質(zhì)壓縮效應(yīng)下煤層氣藏孔深的變化情況，分別提出了孔滲隨壓力變化的函數(shù)，這為煤層氣藏產(chǎn)能評價(jià)解析解中考慮基質(zhì)壓縮效應(yīng)奠定了基礎(chǔ)。主要的模型有Seidle and Huitt 模型[6]、Palmer and Mansoori 模 型[7]、Shi and Durucan 模 型[8]以 及 常指數(shù)滲透率模型[9]。

1 物理模型

矩形邊界中心1 口壓裂直井，裂縫為有限導(dǎo)流裂縫，氣藏為恒溫均值氣藏，垂直方向滲透率為0，內(nèi)邊界為定產(chǎn)生產(chǎn)或定壓生產(chǎn)，矩形外邊界為封閉邊界或定壓邊界，氣體擴(kuò)散和流動(dòng)分別發(fā)生在基質(zhì)和裂縫中，擴(kuò)散主要為非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散和擬穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，流動(dòng)為達(dá)西滲流，考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)。上覆巖層壓縮基質(zhì)滲透率降低如圖1，吸附氣析出滲透率增加如圖2。

圖1 上覆巖層壓縮基質(zhì)滲透率降低Fig.1 Permeability decline with overburden compression

圖2 吸附氣析出滲透率增加Fig.2 Permeability increased with gas desorption

2 數(shù)學(xué)模型

物質(zhì)平衡方程：

式中：r 為氣藏徑向半徑，m；p 為壓力，MPa；μ為氣體黏度，mPa·s；Z 為氣體偏差因子；φ 為氣藏孔隙度；cg為氣體壓縮系數(shù)，MPa-1；k 為氣藏滲透率，mD（1 mD=10-15m2）；psc為標(biāo)準(zhǔn)壓力，MPa；T 為溫度，K；Tsc為標(biāo)準(zhǔn)溫度，K；V 為氣體濃度，m3/m3；t 為生產(chǎn)時(shí)間，d。

在擴(kuò)散方式的選擇中，非穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散和擬穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散會(huì)導(dǎo)致物質(zhì)平衡方程右邊出現(xiàn)壓力項(xiàng)，常規(guī)處理方式有2 種：使用原始地層壓力代替，這樣做會(huì)給計(jì)算帶來比較大的誤差；或者隨著實(shí)踐步更新壓力，這樣會(huì)把計(jì)算量增加到不同計(jì)算機(jī)無法解決的狀態(tài)。因此選用穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散，再通過引入新的擬時(shí)間函數(shù)，可以完美避免這個(gè)問題。

引入擬時(shí)間函數(shù)：

式中：cg為游離氣壓縮系數(shù)，MPa-1；cd為吸附壓縮 系 數(shù)，MPa-1；VL為Langmuir 體 積，m3/m3；pL為Langmuir 壓力，MPa。

把式（2）代入式（1）得到天然裂縫系統(tǒng)的物質(zhì)平衡方程為：

式中：Ψ 為擬壓力[10]，MPa2/（mPa·s）。

新的物質(zhì)平衡方程右邊為常數(shù)，可以減小假設(shè)帶來的誤差。另外，這也不會(huì)在使用疊加原理的過程中由于基質(zhì)收縮效應(yīng)而增大計(jì)算量，能夠把計(jì)算量降低到普通電腦能夠運(yùn)算的量級。

封閉外邊界模型的解為：

式中：ΨD～為Laplace 空間中無因次擬壓力；xD為x 方向無因次長度變量；xeD為模型x 方向的無因次長度；s 為Laplace 常量；yD1、yD2為y 方向第一、第二特征長度；xwD為坐標(biāo)原點(diǎn)至井底x 方向無因次長度；yeD為模型y 方向的無因次長度；εj為煤層氣擴(kuò)散特征常數(shù)；j 為疊加系數(shù)；h 為儲(chǔ)層厚度，m。

恒壓外邊界模型的解為：

3 裂縫轉(zhuǎn)換導(dǎo)流因子

在解析解中考慮有限導(dǎo)流裂縫一般會(huì)把裂縫離散為n 個(gè)小段，假設(shè)每段的流量是相同的，然后在每一個(gè)時(shí)間步需要解1 個(gè)含有n+1 個(gè)方程的方程組，這樣大大增加了計(jì)算量降低了計(jì)算速度，為了避免這一問題，可以采用裂縫轉(zhuǎn)換導(dǎo)流因子將無限導(dǎo)流裂縫的結(jié)果轉(zhuǎn)化為有限倒流裂縫的結(jié)果，轉(zhuǎn)化公式：

式中：～pwD為有限導(dǎo)流裂縫計(jì)算結(jié)果；～pwDinf為無限導(dǎo)流裂縫計(jì)算結(jié)果；CfD為裂縫導(dǎo)流因子；～f（CfD）即為導(dǎo)流能力影響函數(shù)。

根據(jù)Riley（1991）[11]的計(jì)算結(jié)果，導(dǎo)流能力影響函數(shù)可以表示為：

4 結(jié)果準(zhǔn)確性驗(yàn)證

4.1 無限導(dǎo)流結(jié)果準(zhǔn)確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性，與經(jīng)典文獻(xiàn)Anbarci結(jié)果進(jìn)行對比（1990）[3]，Anbarci 模型為無限大氣藏?zé)o限導(dǎo)流裂縫，模型把矩形的外邊界取到相對較大的數(shù)，xeD=100 000，yeD=100 000，使其等效為1 個(gè)無限大氣藏，裂縫選擇無限導(dǎo)流模式。為了方便對比，轉(zhuǎn)化為Anbarci 文章中的英制單位。本文解與Anbarci解析解及數(shù)值解對比如圖3（1 psia=6.895 kPa）。

從圖3 能夠看出，相比于Anbarci 的解析解，本文的解法與數(shù)值解的擬合效果更好，與數(shù)值解相比Anbarci 的解析解偏小。

4.2 裂縫轉(zhuǎn)換導(dǎo)流因子效率與準(zhǔn)確性驗(yàn)證

圖3 本文解與Anbarci 解析解及數(shù)值解對比Fig.3 This paper’s solution is compared with Anbarci analytical solution and numerical solution

為了驗(yàn)證裂縫導(dǎo)流因子的正確性，采用純解析解模型（離散裂縫為20 段）與加速模型的結(jié)果進(jìn)行對比。選擇矩形邊界模型來對裂縫導(dǎo)流因子進(jìn)行驗(yàn)證。裂縫轉(zhuǎn)換導(dǎo)流因子計(jì)算效率對比如圖4。

圖4 裂縫轉(zhuǎn)換導(dǎo)流因子計(jì)算效率對比Fig.4 Comparison of calculation efficiency of fracture conversion conductivity factor

運(yùn)用裂縫導(dǎo)流轉(zhuǎn)換因子之后，計(jì)算速度得到大幅提升，計(jì)算精度下降非常小。對于一個(gè)時(shí)間步，恒壓邊界的計(jì)算時(shí)間降低了599 倍，但計(jì)算誤差卻只有3.23%；封閉邊界的計(jì)算時(shí)間降低到了488 倍，計(jì)算誤差卻只降低了1.25%，兩者都在工程計(jì)算允許精度范圍之類。所以，裂縫導(dǎo)流轉(zhuǎn)換因子在滿足工程計(jì)算精度的前提下，可以大大增加計(jì)算速度。

5 實(shí) 例

實(shí)例單井?dāng)?shù)據(jù)來自西澳博文盆地1 口煤層氣井，該井在壓裂的時(shí)候反排效果不佳，產(chǎn)生的水力裂縫導(dǎo)流能力不佳，所以必須考慮為有限導(dǎo)流裂縫。巖石力學(xué)實(shí)驗(yàn)顯示，實(shí)驗(yàn)樣品具有較為明顯的基質(zhì)收縮效應(yīng)；另外，根據(jù)地質(zhì)資料，該井周圍斷層較多，其基本井控邊界可以等效為矩形邊界，所以，采用考慮基質(zhì)收縮效應(yīng)的有限倒流裂縫舉矩形氣藏產(chǎn)能評價(jià)模型來對該井的產(chǎn)能進(jìn)行評價(jià)。單井產(chǎn)氣量和累計(jì)產(chǎn)氣量擬合情況如圖5，單井壓力擬合情況如圖6。

圖5 單井產(chǎn)氣量和累計(jì)產(chǎn)氣量擬合情況Fig.5 Fitting of gas production and cumulative gas production in a single well

圖6 單井壓力擬合情況Fig.6 Single well pressure fitting

通過模型的評價(jià)，顯示了較好的擬合效果，其中，單井產(chǎn)量擬合誤差為10.42%，單井累計(jì)產(chǎn)氣量擬合誤差為9.6%，壓力擬合誤差為10.34%，誤差均在工程允許的誤差范圍之類，說明該模型對于某些特定的煤層氣藏具有重要的評價(jià)意義和指導(dǎo)作用。

6 結(jié) 論

1）通過等效無限大模型的對比，相比于經(jīng)典的解析解，運(yùn)用Green 函數(shù)解決裂縫模型更加準(zhǔn)確，與數(shù)值解的擬合效果更好。

2）煤層氣藏具有強(qiáng)烈的基質(zhì)收縮效應(yīng)，在某些井的產(chǎn)能評價(jià)中應(yīng)該考慮，否則會(huì)帶來評價(jià)的不準(zhǔn)確和預(yù)測的誤差。

3）考慮基質(zhì)收縮的矩形煤層氣藏有限導(dǎo)流裂縫壓裂直井產(chǎn)能評價(jià)模型能夠較好的擬合某些生產(chǎn)模型，評價(jià)結(jié)果符合儲(chǔ)層及氣藏基本認(rèn)識(shí)，誤差較小。