□張耀勝

“用數(shù)對確定位置”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，它溝通了代數(shù)與幾何領(lǐng)域，實質(zhì)上是解析幾何的開端。為更好地教學(xué)，我們選取了中國的人教版《數(shù)學(xué)》（以下簡稱人教版）和美國的My Math（以下簡稱MM 版）教材進行比較研究，分析兩國教材的異同，以期得到教學(xué)啟示。

一、基本情況比較

（一）教學(xué)時間

人教版教材將“用數(shù)對確定位置”這一內(nèi)容安排在五年級上冊第二單元，MM版教材將此安排為五年級第七單元《表達與模型》中的第8課。因MM版教材是一個學(xué)年一冊書共12 個單元，所以從時間上看，MM版教材設(shè)置的教學(xué)時間相當(dāng)于五年級下冊。由此看來，中美兩版教材都將此內(nèi)容編排在小學(xué)五年級進行學(xué)習(xí)。

（二）知識鋪墊

兩版教材對教學(xué)內(nèi)容的編排都是在“用上、下、前、后、左、右確定位置”和“用東、南、西、北等詞語描述物體方向”的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)用數(shù)對確定物體的位置。

二、教材比較

（一）情境設(shè)置

在情境設(shè)置方面，人教版教材從教室座位圖這一學(xué)生熟悉的生活情境入手，讓學(xué)生展開學(xué)習(xí)；MM版教材則先直接介紹坐標(biāo)框架，再出示地圖，讓學(xué)生展開學(xué)習(xí)（見表1）。

表1 中美兩版教材“用數(shù)對確定位置”情境比較

由此可見，人教版教材設(shè)置的情境更貼近學(xué)生的日常生活，更注重數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，而MM 版教材側(cè)重規(guī)范的數(shù)學(xué)表達，給出了必要的數(shù)學(xué)名詞，如“數(shù)軸”“坐標(biāo)平面”“原點”等基本術(shù)語，有利于數(shù)學(xué)交流，這一點值得借鑒。事實上，少了這些基本術(shù)語，的確會給數(shù)學(xué)交流帶來不便。

（二）圖示表征

在圖示表征方面，人教版教材將教室座位圖抽象成“方塊圖”，MM版教材給出的圖示表征方式是坐標(biāo)框架，也可以稱為點陣圖（見表2）。

表2 中美兩版教材“用數(shù)對確定位置”圖示比較

對比發(fā)現(xiàn)，兩版教材的圖示存在較大的差異，人教版教材的“方塊圖”中沒有原點，表明“數(shù)對”對應(yīng)一個“方塊”；MM 版教材的“點陣圖”中有原點，明確“數(shù)對”對應(yīng)一個“點”。對應(yīng)“方塊”與對應(yīng)“點”，哪個更有價值呢？張奠宙先生認(rèn)為：“‘?dāng)?shù)對’或‘文字對’可以對應(yīng)一個‘方塊’，乃是生活常識。這種識圖的技能，對于六年級學(xué)生來說實在是過于簡單了，實際上不教也會。問題尤其在于：此類技能與數(shù)學(xué)的發(fā)展沒有關(guān)聯(lián)；‘方塊’不能計算，做不到‘?dāng)?shù)形結(jié)合’，更無法推廣到‘有理數(shù)對’的方塊、‘實數(shù)對’的方塊，對日后學(xué)習(xí)‘坐標(biāo)幾何’‘曲線與方程’等數(shù)學(xué)基本方法并無助益。喧賓奪主，反而容易產(chǎn)生誤解，干擾數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示?！毖酝庵?，張奠宙先生認(rèn)為如果僅是滿足生活中的定位需要，用上方位詞就行。但是，要描述物體的動態(tài)和運動中的位置，僅用方位詞就力不能逮了。而按照數(shù)學(xué)的方法，把物體抽象成點，再把點和有序數(shù)對一一對應(yīng)起來，然后用代數(shù)式把數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系構(gòu)建出來，這樣根據(jù)這個代數(shù)式就可以了解點或物體是如何運動的，運動中的點或物體的位置在哪里。

（三）概念定義

在概念呈現(xiàn)方面，兩版教材均對“數(shù)對”的概念做了強調(diào)，人教版教材采用的是描述式：“張亮在第2 列、第3 行的位置，可以用數(shù)對（2，3）表示?！边@是用舉例的方法來描述概念。相比之下，MM版教材除了呈現(xiàn)描述式概念外，還有定義式概念，如圖1 所示，明確指出數(shù)對是用來確定網(wǎng)格上的一個點，MM版教材的概念清晰、呈現(xiàn)明確，有定義有舉例，更全面完整，值得借鑒。

圖1

（四）強調(diào)有序

數(shù)對的次序尤為重要，兩版教材都用數(shù)形結(jié)合的方式強調(diào)次序，人教版教材是用（列，行）次序來表示數(shù)對的。但教材中說“張亮在第2列、第3行的位置，可以用數(shù)對（2，3）表示”。這里的“可以”兩字看不出“唯一”的意義，也就是說沒有明確說明數(shù)對的有序性。例題通過用數(shù)對表示王艷（3，4）和趙雪（4，3）兩名同學(xué)的位置，讓學(xué)生“看一看有什么不同”，來明確數(shù)對中兩個數(shù)是有順序的；MM版教材是用（向右，向上）的次序來表示數(shù)對的。為了凸顯次序，教材中將數(shù)對命名為“有序數(shù)對”，如圖2所示。在呈現(xiàn)描述式概念時，MM版教材采用圖文結(jié)合的方式，分兩個步驟以填空的形式清晰呈現(xiàn)先向右、再向上的次序，并且坐標(biāo)框架圖中還配有紅色向右、藍色向上的指示方向線，直觀易懂。對比發(fā)現(xiàn)，MM版教材更加注重數(shù)對的次序。

三、教材的可讀性比較

通過以上對比可以發(fā)現(xiàn)，兩版教材在概念呈現(xiàn)上有較大的不同。那么，哪種方式對于學(xué)生來講可讀性更強，自學(xué)效果更好呢？我們作了進一步研究。調(diào)查對象為廣東省東莞市莞城英文實驗學(xué)校四年級隨機抽選的兩個班共86名學(xué)生。調(diào)查方式是：將學(xué)生平均分為兩部分，一部分自學(xué)人教版教材，一部分自學(xué)MM 版教材。學(xué)生自學(xué)后進行測試，測試以問卷形式進行，教師不讀題，學(xué)生獨立完成，答題時間為25分鐘。

前測卷第1 題與各自教材中的例題1 完全相同，第2題的圖示與各自教材中的例題2相同，為了便于數(shù)據(jù)統(tǒng)計，我們統(tǒng)一了第2題中的數(shù)據(jù)。測試后共回收86份有效問卷，調(diào)查結(jié)果如表3所示。

圖2

表3 調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表

由表3 可知，學(xué)生自學(xué)例題后完成同樣的題目，正確率都比較高。自學(xué)MM版教材的學(xué)生的答題正確率略高于自學(xué)人教版教材的，說明這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)對學(xué)生來說并不困難。

對學(xué)生的錯誤情況進行匯總發(fā)現(xiàn)，自學(xué)MM版教材的學(xué)生的出錯情況較為集中，只有兩類，而自學(xué)人教版教材的學(xué)生的出錯情況較為分散，有六類。主要情況如下。

1.不理解數(shù)對的含義，所有數(shù)對中的兩個數(shù)都寫錯，且沒有規(guī)律可循。自學(xué)人教版教材的學(xué)生中沒有出現(xiàn)這種現(xiàn)象，而自學(xué)MM 版教材的有4 人。通過訪談得知，MM版教材文字多，閱讀量大，學(xué)生沒有抓住要點導(dǎo)致理解偏差。

2.已經(jīng)有了“序”的觀念，但在寫的時候是先寫縱坐標(biāo)再寫橫坐標(biāo)，用反序?qū)憯?shù)對，即所有數(shù)對中的兩個數(shù)正確，但表示的順序正好相反。自學(xué)人教版教材的學(xué)生中有2 人出現(xiàn)這種情況（如圖3），自學(xué)MM版教材的有8人（如圖4）。

圖3

圖4

另外，我們也發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象。大部分?jǐn)?shù)對都被學(xué)生反序書寫了，唯獨（0，3）這個點正確率很高，如人教版問卷中的猩猩館（0，3）的位置學(xué)生都寫對了。訪談后發(fā)現(xiàn)，原來是學(xué)生發(fā)現(xiàn)（3，0）這個位置已是大門的位置，猩猩館不可能在那里，所以就交換了數(shù)對位置。MM版問卷中反序書寫的8名同學(xué)中有4 名“蒙對”此題，也是這個理由。由此也可以看出，學(xué)生對“序”的概念的理解還是不穩(wěn)定。

3.能用數(shù)對表示，但沒有形成數(shù)對是有序的概念，有時正確，有時錯誤。自學(xué)人教版教材的出錯學(xué)生中有6人屬于這種情況，這與人教版教材中例題沒有講解原點、沒有明確數(shù)對與格點的對應(yīng)可能有一定的關(guān)系。因為在例題1 中明確列和行的意義時，只將座位圖抽象成方塊圖，學(xué)生潛移默化地認(rèn)為數(shù)對對應(yīng)的是方塊，圖示變成點陣圖，學(xué)生在數(shù)的過程中就出現(xiàn)了各式各樣的數(shù)法，錯誤也呈現(xiàn)多種情況。

4.僅數(shù)對（0，3）標(biāo)錯位置。自學(xué)人教版教材的出錯學(xué)生中有3人屬于這種情況，這也說明學(xué)生不理解原點的意義。

此外，自學(xué)人教版教材的學(xué)生中有5人出現(xiàn)漏題現(xiàn)象，這除了與學(xué)生做題的習(xí)慣有關(guān)外，也與教材教學(xué)內(nèi)容的編排緊湊有關(guān)。

通過前測的對比分析我們發(fā)現(xiàn)，教材編寫得越規(guī)范具體，導(dǎo)向性就會越好，對學(xué)生自學(xué)也越有利。如加了原點的MM版教材，明確指出有序數(shù)對與平面上的點對應(yīng)，數(shù)形結(jié)合的方式學(xué)生更容易理解。因此，我們建議教材在編寫內(nèi)容的時候不僅要考慮源于日常生活，還要高于生活，注意數(shù)學(xué)的規(guī)范，避免出現(xiàn)“數(shù)對”和“方塊”相對應(yīng)的情況，要與課程標(biāo)準(zhǔn)的要求相一致，這樣指導(dǎo)性會更強。

另外，在教學(xué)“用數(shù)對確定位置”時，我們建議在概念呈現(xiàn)的時候，可以借鑒MM版教材的編寫方式：讓學(xué)生在方格紙上標(biāo)明原點以及列和行的刻度，并且用上“橫坐標(biāo)”“縱坐標(biāo)”這樣的術(shù)語，明確先從左往右看橫坐標(biāo)，再從下往上看縱坐標(biāo)，讓學(xué)生弄清楚數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)關(guān)系。這對于學(xué)生學(xué)習(xí)來說更有生長性，能為今后坐標(biāo)系中點的位置描述、點運動軌跡描述等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做好鋪墊，也能幫助數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)素養(yǎng)落地生根。