□吳建洪

（余姚市教育局教研室，浙江余姚 315400）

浙江省現(xiàn)行人教A 版普高數(shù)學(xué)必修4 教材中“兩角差的余弦公式”一節(jié)，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的概念課.在本節(jié)課教材處理中，有幾處讓教師普遍感到為難的地方，其中最難的無疑是對(duì)教材中運(yùn)用單位圓中的三角函數(shù)線，結(jié)合幾何方法，探索特殊情況下兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu)．

教材運(yùn)用“幾何綜合法”處理如下：

設(shè)α,β都是銳角，且α＞β，如圖1，令α=∠xOP1，β=∠POP1，則∠xOP=α-β，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，垂足為M，則OM=cos(α-β).

圖1

又過點(diǎn)P作PA垂直于OP1，垂足為A，過點(diǎn)A作AB垂直于x軸，垂足為B，過點(diǎn)P作PC垂直于AB，垂足為C，那么cosβ=OA,sinβ=AP，并且∠PAC=∠xOP1=α，于是 cos(α-β)=OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.

近期，聽了多位教師關(guān)于這一課的公開課，許多教師在教學(xué)中基本照搬上述教材中的探究過程，但最后都無奈地照搬教材中的原話，坦承：“上述結(jié)果是否在兩角為任意角時(shí)也成立，要做不少推廣工作，并且這項(xiàng)推廣工作的過程比較繁難．”隨后要求“有興趣的學(xué)生可以在課后自己動(dòng)手試一試”這樣的處理，讓原本對(duì)用“幾何綜合法”推導(dǎo)公式充滿期待的學(xué)生大失所望.

困惑產(chǎn)生疑問.教科書采用“幾何綜合法”，以“夾敘夾議”的方式詳細(xì)展示探索過程，難道僅僅是為了能讓學(xué)生直觀感知特殊情況下的公式結(jié)構(gòu)？對(duì)此，筆者就如何突破這一教學(xué)難點(diǎn)，從學(xué)科知識(shí)本質(zhì)和通性通法的角度，談?wù)効捶ǎ?/p>

一、對(duì)教材“幾何綜合法”的本質(zhì)解讀

為使推導(dǎo)過程直觀簡潔，教材在幾何構(gòu)圖過程中作了以下兩個(gè)方面的精心設(shè)計(jì)．

一是將角α-β的始邊與x軸的正半軸重合，使角α-β的正弦線MP、余弦線OM均與坐標(biāo)軸垂直，便于學(xué)生直觀觀察和表示，也便于學(xué)生在之后的推導(dǎo)中向已知角α,β的正弦線、余弦線直觀轉(zhuǎn)化．

二是巧妙構(gòu)造含有α,β角的直角三角形，在直角△OAP中直觀體現(xiàn)β角的正弦線、余弦線的同時(shí)，使直角△OAB、△ACP中的直角邊能用角α的正弦、余弦值間接表示．在此基礎(chǔ)上，推導(dǎo)得出cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

倘若在接下來的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生順勢探究得出兩角差的正弦公式，必然激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，并初步感受“幾何綜合法”作為通性通法在推導(dǎo)公式中的重要作用．

由圖1，容易得

sin(α-β)=MP=BA-CA=sinα?OA-cosα?AP=sinαcosβ-cosαsinβ.

二、“幾何綜合法”能推導(dǎo)α+β的正弦、余弦公式嗎？

顯然，學(xué)生產(chǎn)生上述想法是非常自然的．在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，與分析、解決問題的能力相比，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)、提出問題等方面的能力相對(duì)薄弱.對(duì)于本節(jié)課，教師若能緊緊抓住教材中的素材，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生提出有價(jià)值的問題，必能成為本節(jié)課的一大亮點(diǎn)．

由之前構(gòu)圖的經(jīng)驗(yàn)，組織學(xué)生探究如下：

設(shè)α,β,α+β都 是 銳 角 ，如 圖 2，令∠xOP1=α,∠P1OP=β，則∠xOP=α+β.

圖2

由于PA⊥OP1,AC⊥PM，得

∠PAC=90°-α

所以

同理可得

數(shù)學(xué)教學(xué)歷來注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)和通性通法，淡化單一化的解題技巧．如果讓學(xué)生真實(shí)經(jīng)歷上述探究過程，我們一定能從學(xué)生的神情中感受到他們內(nèi)心的欣喜，也一定能使學(xué)生深切感受到通性通法在問題解決中的重要性．

我們一直致力于課堂教學(xué)改革，積極倡導(dǎo)啟發(fā)式、探究式等教學(xué)方式，以突現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)中的主體地位.對(duì)于教材中沒有講到或講透的，且又能較好反映學(xué)科知識(shí)與思想方法本質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容，教師一定要充分利用好這些難得的素材，適度挖掘，巧妙設(shè)計(jì)，精心組織學(xué)生開展真正意義上的探究活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)有思維深度的學(xué)習(xí)．

三、對(duì)教材“幾何綜合法”能作進(jìn)一步改進(jìn)嗎？

在實(shí)際教學(xué)過程中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于教材中β角的構(gòu)建感覺不夠自然.基于認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生更習(xí)慣于讓角α,β的始邊都與x軸的正半軸重合.那么，這樣相對(duì)自然的處理，能否導(dǎo)出公式呢？

設(shè)α,β都 是 銳 角 ，且α＞β.如 圖 3，令∠xOA=α,∠xOB=β，則 ∠BOA=α-β，且∠BCF=∠xOA=α，

圖3

于是

得

cosβ=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

同理可得

sinβ=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)

顯然，這一結(jié)果與之前的公式本質(zhì)上是完全一致的.對(duì)于公式推導(dǎo)，我們努力使過程簡明易懂，力求形式最簡，所以充分說明了教材處理方法的合理性．

當(dāng)然，由于受課堂教學(xué)時(shí)間的限制，上述所有的探究過程不可能在課堂上完整呈現(xiàn)，教師應(yīng)該告訴學(xué)生，教材中的“幾何綜合法”是一種通性通法，相關(guān)推導(dǎo)可以作為探究性作業(yè)讓學(xué)生課外完成，通過自主探究，可以加深學(xué)生對(duì)公式和通性通法的理解．

由于“幾何綜合法”對(duì)數(shù)學(xué)問題中的幾何元素有比較直觀、明確的要求，難以處理相關(guān)量的任意情形，所以不能較好地推導(dǎo)出任意兩角差的余弦公式.從教材編排意圖看，一定程度上也突現(xiàn)“向量法”的優(yōu)越性（當(dāng)然用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)也很方便）.即便如此，我們也不能貶低“幾何綜合法”這一蘊(yùn)含人類巨大智慧的數(shù)學(xué)方法以及運(yùn)用這一方法在解決問題中的重要作用．

四、從數(shù)學(xué)本質(zhì)看“幾何綜合法”

（一）體現(xiàn)幾何與代數(shù)的緊密聯(lián)系

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容之一，在教學(xué)過程中，我們應(yīng)突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的把握與理解．由于在三角函數(shù)的研究過程中有許多幾何元素，如單位圓、三角函數(shù)線等，看似代數(shù)形式的兩角差的余弦公式，對(duì)它的推導(dǎo)，無論是用向量法中的數(shù)量積公式，還是用坐標(biāo)法中的兩點(diǎn)間距離公式，其本質(zhì)都是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題的.在數(shù)學(xué)研究中，從數(shù)形結(jié)合的角度研究中學(xué)數(shù)學(xué)是一種十分重要的數(shù)學(xué)思想方法.當(dāng)我們?cè)谟龅綌?shù)量關(guān)系時(shí)，常常嘗試著用幾何圖形把它表示出來．

（二）“幾何綜合法”是解決幾何問題的重要方法之一

中學(xué)數(shù)學(xué)研究幾何問題一般有三種方法：幾何綜合法、坐標(biāo)法和向量法.幾何綜合法依據(jù)基本的邏輯原理，不使用其他工具，從公理或基本事實(shí)出發(fā)，通過演繹推理，對(duì)幾何元素及其關(guān)系直接進(jìn)行討論，給出幾何論證.坐標(biāo)法或向量法，是以數(shù)和數(shù)的運(yùn)算或向量和向量的運(yùn)算為工具，對(duì)幾何問題進(jìn)行分析討論．其中，幾何綜合法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有著十分獨(dú)特的重要作用，教材中用這一方法探究兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特征，是培養(yǎng)、形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的極好素材．

（三）一以貫之體現(xiàn)單位圓在三角函數(shù)研究中的重要作用

單位圓是我們定義三角函數(shù)、推導(dǎo)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式、理解三角函數(shù)的性質(zhì)、作三角函數(shù)圖象等內(nèi)容的直觀載體和重要工具.在兩角差的余弦公式推導(dǎo)過程中，無論是幾何綜合法，還是向量法或坐標(biāo)法，都用到單位圓這一重要數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)不同數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系．

教材是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵性教學(xué)資源，教材提供的學(xué)習(xí)素材和具體內(nèi)容是開展“教”與“學(xué)”活動(dòng)的基本依據(jù).在教學(xué)過程中，要善于把握教材的編寫意圖，更有效地利用蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生、發(fā)展過程中的重要數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，使我們的數(shù)學(xué)活動(dòng)更加絢爛多彩，富有創(chuàng)意.