張佳凱

(合肥工業(yè)大學(xué) 土木與水利工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

0 引 言

超聲波在有限空間的固體中傳播的時(shí)候,會(huì)不斷地反射并形成復(fù)雜的疊加干涉即導(dǎo)波。超聲導(dǎo)波在固體中的傳播相比光的傳播速度還是很慢的,因此本文不考慮相對(duì)論效應(yīng),仍然認(rèn)為它是一種宏觀低速的運(yùn)動(dòng)。

利用超聲導(dǎo)波監(jiān)測(cè)鋼桿損傷是彈性波動(dòng)在固體中傳播誕生的一種新興的損傷識(shí)別技術(shù)。早在19世紀(jì)末,人們就注意到超聲導(dǎo)波在板中的傳播,最終,H.Lamb[1]求出了導(dǎo)波在薄板中傳播的波動(dòng)解,為了紀(jì)念他做的貢獻(xiàn),這個(gè)就被命名為L(zhǎng)amb波。1889年,Chree[2]在研究超聲導(dǎo)波在無(wú)限長(zhǎng)桿件中傳播時(shí)發(fā)現(xiàn),超聲導(dǎo)波會(huì)出現(xiàn)不同的模態(tài),有縱向模態(tài)、扭轉(zhuǎn)模態(tài)和彎曲模態(tài),并給出了各自的頻率方程,然而由于這個(gè)方程屬于超越方程,無(wú)法得出解析解。終于在1973年,Pochhammer[3]運(yùn)用數(shù)值方法求解出來(lái)。1998年,英國(guó)帝國(guó)理工大學(xué)的M.J.S.Lowe和P.Cawley等開(kāi)發(fā)出了一款可以快速繪制各類(lèi)導(dǎo)波的頻散曲線的MATLAB程序[4],極大地提高了人們檢測(cè)的效率。超聲導(dǎo)波一直在發(fā)展,特別是近年來(lái)在國(guó)內(nèi)發(fā)展很快[5],因此在理論上進(jìn)一步研究導(dǎo)波在桿件中的傳播特性很有必要。

1 超聲導(dǎo)波的基本介紹

聲波是在正常情況下人能聽(tīng)到的聲音,它的頻率一般處在20～20 000 Hz。超聲波是指頻率大于20 000 Hz的波,人不能聽(tīng)到。超聲在傳播的過(guò)程中根據(jù)環(huán)境條件的不同分為兩種情形:一種是波在傳播過(guò)程中不受到邊界的限制——波在介質(zhì)中傳播時(shí)總接觸不到環(huán)境的邊界或者環(huán)境是理想的無(wú)限大空間,這種波稱(chēng)為體波;另一種是波在傳播的過(guò)程中會(huì)受介質(zhì)邊界的限制——波在較小的環(huán)境中傳播,總是會(huì)遇到障礙(環(huán)境中存在卻也不一定都存在邊界,它的某個(gè)自由度上可能是無(wú)限大的空間)并在邊界處散射或反射,這種波稱(chēng)為導(dǎo)波。

導(dǎo)波在傳播時(shí),或是受邊界的影響,抑或是受介質(zhì)的影響,波的性質(zhì)可能改變,或是波的傳播方向改變。在這種情形中,導(dǎo)波由原來(lái)的單一的恒定的波形變成了由多股不定模態(tài)和傳播方向的波形,這種情況我們稱(chēng)為波的頻散。

頻散描述的是波傳播的速度隨著頻率的變化而發(fā)生變化的關(guān)系;在聲學(xué)領(lǐng)域,波的頻散是指某一固定的、單一的頻率的波在傳播時(shí)分化出幾種不同頻率波。不同性質(zhì)的材料會(huì)有不同的表現(xiàn):能夠產(chǎn)生頻散的材料屬于色散材料,不發(fā)生頻散的材料屬于無(wú)色散材料。凡是發(fā)生頻散時(shí),波的相速度、群速度總和波的中心頻率、波數(shù)密切聯(lián)系在一起。

2 波的類(lèi)型與描述

波的類(lèi)型主要有體波和面波,在整個(gè)彈性體傳播的是體波,比如縱波、橫波。而沿著兩種不同介質(zhì)的分界面?zhèn)鞑サ牟ū环Q(chēng)為面波,如瑞利波和勒夫波,它的能量大致集中在分界面附近的范圍內(nèi),并且它的能量不向傳播路徑上的介質(zhì)傳播,而且它的形成是因?yàn)轶w波在介質(zhì)中相長(zhǎng)干涉形成的。當(dāng)波從起始點(diǎn)處向遠(yuǎn)處傳播時(shí),它的振幅會(huì)隨著傳播距離的增加而減小,這種衰減被稱(chēng)為幾何或輻射衰減。當(dāng)波在傳播時(shí)因?yàn)椴牧系淖枘岫鴮?dǎo)致的衰減被稱(chēng)為材料衰減。當(dāng)波因?yàn)樵诮橘|(zhì)交界面反射而導(dǎo)致的衰減被稱(chēng)為表觀衰減。有許多的速度描述波在傳播過(guò)程中的特性,下面主要介紹其中三種速度:相速度、群速度和能流速度。

2.1 相速度

波的相位變化的速率就稱(chēng)為相速度,也就是波相位的傳播速度;單一頻率的波的速度就是相速度。下面用圖1介紹相速度的概念。

圖1 同相位點(diǎn)傳播速度

相同的相位點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離稱(chēng)為相速度?？傻玫较嗨俣萩p、周期T和波長(zhǎng)λ的關(guān)系有:

(1)

(2)

式中:cp為相速度;w為用圓頻率;k為波數(shù)。

在無(wú)色散介質(zhì)中,用相速度就可以描述波的傳播速度,但是在有色散介質(zhì)中,僅用相速度就不能全面地描述波的傳播速度問(wèn)題了。本文引入群速度來(lái)一起描述。

2.2 群速度

由一群不同頻率的波組成的在材料中一起傳播的速度,也就是一群波合成的波向前傳播的實(shí)際速度。從能量的角度看,就是這群波合成的能量一齊向前傳播的速度。下面,本文用兩個(gè)振幅相同,頻率、波數(shù)略有不同的正弦波沿著相同的方向傳播的例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。兩個(gè)波相互疊加后如圖2所示。

圖2 波的疊加

兩波疊加后的振幅為:

u=A[sin(ω1t-k1x)+sin(ω2t-k2x)]

(3)

u=C(x,t)sin(ω0t-k0x)

(4)

其中

C(x,t)=2Acos(Δωt-Δkx)

(5)

“振幅因數(shù)”C(x,t)稱(chēng)為調(diào)制,sin(ω0t-k0x)為載波,上式表示一個(gè)波群包絡(luò)線,它以群速度cg傳播,令

Δωt-Δkx=常量

(6)

求導(dǎo)得:

(7)

取極限,得到群速度傳播的公式,也就是這列波能量的傳播速度:

(8)

2.3 桿狀固體中導(dǎo)波的傳播

2.3.1 彈性體的運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)彈性力學(xué)的平衡微分方程,在運(yùn)動(dòng)微分方程中除了要考慮應(yīng)力和體力外,還要考慮慣性力,根據(jù)達(dá)朗貝爾原理,每體積彈性體上慣性分量分別為:

柱狀坐標(biāo)更適合表示桿,因此我們用柱狀坐標(biāo)代替直角坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)微分方程,有Navier控制方程[6]:

(9)

(10)

(11)

式中：ur、uθ、uz分別為圓柱的徑向、環(huán)向、軸向位移;ωz、ωr、ωθ為旋轉(zhuǎn)矢量的三個(gè)分量;λ為拉梅常數(shù);μ為泊松比;φ為柱坐標(biāo)下體積不變量;r為柱半徑;θ為圓柱截面夾角。

(12)

(13)

(14)

根據(jù)胡克定律,在桿狀固體的表面有邊界應(yīng)力σrr,σrθ,σrz滿(mǎn)足:

(15)

(16)

(17)

桿位移可以從桿的邊界條件推出:

ur=U(r)cosnθei(kz-ωt)

(18)

uθ=V(r)sinnθei(kz-ωt)

(19)

uz=Wrcosnθei(kz-ωt)

(20)

式中：n是自然數(shù)。

2.3.2 桿中導(dǎo)波傳播的縱向模態(tài)

當(dāng)應(yīng)力波在桿中傳播時(shí),圓桿上各個(gè)點(diǎn)的位移關(guān)于中心軸對(duì)稱(chēng),即僅有ur、uz存在,uθ為零?？v向傳播模態(tài)如下圖3所示。

圖3 波傳播時(shí)的縱向模態(tài)

波傳播時(shí)縱向模態(tài)的頻率方程:

-(β2-k2)2J0(αa)J1(βa)

-4k2αβJ1(αa)J0(βa)=0

(21)

其中,

式(21)就是大名鼎鼎的Pochhammer方程。該方程在1876年就第一次被發(fā)表出來(lái)了,然后由于方程中存在兩個(gè)相互獨(dú)立的未知數(shù)k和f,因此并不能得到精確的解析解,再加上由于當(dāng)時(shí)數(shù)值計(jì)算能力的落后,直到1940年該方程才被解開(kāi)。由此可以看出,一項(xiàng)技術(shù)的發(fā)展可以帶動(dòng)其他領(lǐng)域的發(fā)展。

2.3.3 桿中導(dǎo)波傳播的扭轉(zhuǎn)模態(tài)

應(yīng)力波的扭轉(zhuǎn)模態(tài)如圖4所示,此時(shí)徑向位移和軸向位移為零,只有環(huán)向位移uθ存在。

圖4 波傳播時(shí)的扭轉(zhuǎn)模態(tài)

波傳播時(shí)扭轉(zhuǎn)模態(tài)的頻率方程為:

(βa)J0(βa)-2J1(βa)=0

(22)

2.3.4 桿中導(dǎo)波傳播的彎曲模態(tài)

應(yīng)力波在桿中的彎曲模態(tài)如圖5所示,這種模態(tài)比較復(fù)雜,一般研究n=1時(shí)的模態(tài),即F(1,m)模態(tài)。

圖5 波傳播時(shí)的彎曲模態(tài)

波傳播時(shí)彎曲模態(tài)的頻率方程為:

(23)

2.4 鋼桿的頻散曲線

2.4.1 頻散曲線的繪制

已知鋼桿(圖6)的彈性模量E=210 GPa,密度ρ=7 860 kg/m3,泊松比ν=0.3,半徑d=4 mm。

圖6 鋼桿示意圖

將上述參數(shù)帶入到頻率方程,用MATLAB數(shù)值求解頻散方程,主要步驟如下:

(1) 令k=0求出當(dāng)k=0時(shí)滿(mǎn)足方程的f值,這里得到的f值即為模態(tài)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的截止頻率;

(2) 取f值的范圍在0～1 000 kHz,求出每一個(gè)f值下滿(mǎn)足頻散方程的k值;

(3) 將得到的f值和k值組合,并將它們繪制出來(lái),就得到了頻率和波數(shù)的關(guān)系圖,如圖7所示為縱向模態(tài)下的頻率和波數(shù)的關(guān)系,這里只畫(huà)出了前5階的模態(tài)。

圖7 縱向模態(tài)頻率和波數(shù)的關(guān)系

2.4.2 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的相速度

重復(fù)上節(jié)關(guān)于頻散方程的求解,利用各個(gè)模態(tài)的頻率方程,利用MATLAB軟件可以繪制出不同模態(tài)下、不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的相速度,如圖8所示是直徑為20 mm的鋼桿中導(dǎo)波相速度的頻散曲線。

圖8 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的相速度

從圖8可以看出:各個(gè)模態(tài)的相速度隨頻率變化的趨勢(shì)大體一致,但也有例外。如T(0,1)的相速度就不會(huì)隨著頻率的改變而改變,是個(gè)恒量;其他模態(tài)的相速度都是隨著頻率的增加而逐漸降低到趨于一定的值,而F(1,1)是隨著頻率的增加而增加到趨于一定的定值。

與其他模態(tài)的出現(xiàn)要高于一定的截止頻率不同,L(0,1)、F(1,1)和T(0,1)在0～1 000 kHz的范圍內(nèi)始終存在。

2.4.3 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的群速度

下面利用MATLAB軟件求解各個(gè)模態(tài)的頻率方程,繪制不同模態(tài)下、不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的群速度,如圖9所示是直徑為20 mm的鋼桿中導(dǎo)波群速度的頻散曲線。

圖9 不同頻率下鋼桿中導(dǎo)波的群速度

從圖9可以看出:縱向模態(tài)L(0,m)和彎曲模態(tài)F(1,m)的群速度隨著頻率變化的趨勢(shì)大體一致,而扭轉(zhuǎn)模態(tài)T(0,m)則表現(xiàn)出不一樣的趨勢(shì),除了T(0,1)的群速度不隨著頻率的改變而改變,其他扭轉(zhuǎn)模態(tài)的群速度隨著頻率的增加而增加并趨于一定值。同時(shí),有著相同趨勢(shì)的縱向模態(tài)L(0,m)和彎曲模態(tài)F(1,m)也有明顯的不同之處,L(0,1)的群速度是先減小后增加到一個(gè)穩(wěn)定的值,F(1,1)的群速度是先增加再逐漸減小到一個(gè)穩(wěn)定的值。

同樣,與其他模態(tài)的出現(xiàn)要高于一定的截止頻率不同,L(0,1)、F(1,1)和T(0,1)在0～1 000 kHz的范圍內(nèi)始終存在;從圖9可以看出,在0～112.9 kHz的范圍內(nèi),模態(tài)數(shù)量最少,只有L(0,1)、F(1,1)和T(0,1)三個(gè)模態(tài)存在,在這個(gè)頻率范圍內(nèi),導(dǎo)波傳播的方式相對(duì)簡(jiǎn)單,適合用于監(jiān)測(cè)。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文重點(diǎn)介紹了超聲導(dǎo)波在桿狀固體中傳播的不同的模態(tài),并給出了各個(gè)模態(tài)的頻率方程;依據(jù)各個(gè)模態(tài)的頻率方程,利用MATLAB軟件繪出了各個(gè)模態(tài)相速度和群速度的頻散曲線,為現(xiàn)實(shí)檢測(cè)提供了有效的理論數(shù)據(jù)。