傅振亮，李 娜，田雪艷，溫 昕，李永華?

（1.中國中車唐山機(jī)車車輛有限公司產(chǎn)品研發(fā)中心，河北唐山063500；2.大連交通大學(xué)機(jī)車車輛工程學(xué)院，遼寧大連116028）

0 引言

地鐵車車頭腳蹬作為城軌列車重要的支撐承載部件，需承受較高的正交載荷，其可靠性是保證車頭安全運(yùn)行的重要指標(biāo)。若采用不確定性方法對(duì)腳蹬的強(qiáng)度進(jìn)行可靠性分析，其最大應(yīng)力有一定的概率超出材料的許用應(yīng)力，因此，為保證腳蹬踏板的承載能力和安全使用，對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度可靠性分析是十分必要的。

目前，針對(duì)強(qiáng)度可靠性分析的研究很多，曹煒等[1]采用Monte Carlo方法對(duì)拉殼鉤強(qiáng)度可靠性進(jìn)行評(píng)估與分析。周新建等[2]對(duì)某1.5MW雙饋式風(fēng)力發(fā)電機(jī)風(fēng)機(jī)主軸進(jìn)行基于靜強(qiáng)度的結(jié)構(gòu)可靠性分析。蔡德詠等[3]采用可靠性與有限元相結(jié)合的方法對(duì)火箭炮發(fā)射箱箱體進(jìn)行了剛強(qiáng)度分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)。胡登高和范迅[4]應(yīng)用有限元法對(duì)液壓支架進(jìn)行強(qiáng)度、可靠性和敏感性分析。智鵬鵬[5]等對(duì)轉(zhuǎn)向架構(gòu)架進(jìn)行結(jié)構(gòu)強(qiáng)度可靠性分析。本文以某地鐵車車頭腳蹬為研究對(duì)象，選取腳蹬的最大Von.Mises應(yīng)力作為結(jié)構(gòu)性能響應(yīng)建立極限狀態(tài)方程，采用基于拉丁超立方采樣的Monte-Carlo法對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度可靠性分析，得到了腳蹬的最大Von.Mises應(yīng)力和極限狀態(tài)函數(shù)值的概率分布特征，獲得了腳蹬的強(qiáng)度可靠度。在此基礎(chǔ)上，采用OptiStruct結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)對(duì)腳蹬進(jìn)行尺寸優(yōu)化，為提高腳蹬的可靠性提供了參考。

1 強(qiáng)度可靠性分析原理及方法

1.1 應(yīng)力-強(qiáng)度分布干涉理論

應(yīng)力-強(qiáng)度分布干涉模型如圖1所示，s為結(jié)構(gòu)應(yīng)力，S為結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，陰影部分為s和S的干涉區(qū)，可能出現(xiàn)Ss的情況，此時(shí)結(jié)構(gòu)將發(fā)生失效，因此即使保證安全系數(shù)大于1，s與S的概率密度還會(huì)出現(xiàn)干涉區(qū)，所以只用安全系數(shù)來反映結(jié)構(gòu)是否安全是不夠充分的，必須進(jìn)行可靠性分析。已知s和S的概率密度函數(shù)可得可靠度的計(jì)算方程為

式中：f(s)為應(yīng)力的概率密度函數(shù)，f(S)為強(qiáng)度的概率密度函數(shù)。

圖1 應(yīng)力-強(qiáng)度干涉模型

1.2 強(qiáng)度可靠性分析極限狀態(tài)方程

根據(jù)應(yīng)力-強(qiáng)度分布干涉理論，設(shè)x1,x2,…,xn為設(shè)計(jì)變量，則極限狀態(tài)方程為

式中：[σ]為材料的許用應(yīng)力；σmax為結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點(diǎn)等效應(yīng)力。

2 腳蹬可靠性分析

2.1 腳蹬可靠性分析過程

Monte-Carlo法是對(duì)輸入變量進(jìn)行大量抽樣，失效點(diǎn)落在安全區(qū)外的個(gè)數(shù)占采樣總數(shù)的比率即為結(jié)構(gòu)的失效概率[6]。而基于拉丁超立方采樣的Monte-Carlo法將輸入變量的取值范圍分成n個(gè)區(qū)間，每個(gè)變量在每個(gè)區(qū)間內(nèi)只能“撞擊”一次，因此，不會(huì)出現(xiàn)采樣點(diǎn)重疊的現(xiàn)象[7]。

基于Monte Carlo法腳蹬強(qiáng)度可靠性分析過程如圖2所示，首先建立腳蹬的極限狀態(tài)方程，然后根據(jù)隨機(jī)輸入變量的概率密度函數(shù)利用拉丁超立方法采取一定數(shù)量的樣本，并對(duì)隨機(jī)變量樣本點(diǎn)進(jìn)行循環(huán)分析，校驗(yàn)每次抽樣結(jié)果是否滿足極限狀態(tài)方程，最后統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果得到結(jié)構(gòu)的失效率，進(jìn)而獲得腳蹬的可靠度。

圖2 腳蹬可靠性分析流程圖

2.2 建立腳蹬有限元模型

根據(jù)腳蹬的承載特性，建立其有限元模型，如圖3所示。腳蹬主要包括腳蹬主體、踏板、腳蹬框以及角鐵，踏板由上至下分為三層，第一層踏板與腳蹬主體通過角鐵螺栓相連，第二層、第三層踏板以及腳蹬框與腳蹬主體采用剛性元（rbe2）連接。腳蹬整體采用四邊形殼單元模擬，單元基本大小為14mm，單元總數(shù)2 000個(gè)，節(jié)點(diǎn)總數(shù)2 224個(gè)。角鐵所使用的材料為Q345鋼，其余結(jié)構(gòu)均采用Q235-B鋼，彈性模量E=210GPa，泊松比v=0.274，屈服強(qiáng)度σs=235MPa。

圖3 腳蹬的有限元模型

2.3 腳蹬的有限元分析

根據(jù)腳蹬的實(shí)際使用情況，按照IEC 61373-2010標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算其所承受的工作載荷。對(duì)腳蹬框的上表層施加X、Y、Z方向的全位移約束，對(duì)第一層踏面螺栓剛性連接處施加X、Y、Z方向的全位移約束，如圖4所示。

圖4 腳蹬的工況加載

腳蹬踏板的強(qiáng)度校核根據(jù)工作條件共施加4個(gè)外力載荷。工況1為2kN的正交負(fù)載應(yīng)用在第一層踏面的100×75區(qū)域，方向?yàn)?z，如圖4所示；工況2為2kN的正交負(fù)載應(yīng)用在第二層踏面的200×75區(qū)域，方向?yàn)?z；工況3為2kN的正交負(fù)載應(yīng)用在第三層踏面的100×75區(qū)域，方向?yàn)?z；工況4為2kN的正交負(fù)載應(yīng)用在第三層踏面的100×75區(qū)域，方向?yàn)?y。各工況下腳蹬的靜強(qiáng)度仿真計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 各工況腳蹬的等效節(jié)點(diǎn)應(yīng)力云圖

應(yīng)用Von.Mises準(zhǔn)則[8]進(jìn)行腳蹬的強(qiáng)度校核，節(jié)點(diǎn)等效應(yīng)力為

式中：σeq為節(jié)點(diǎn)等效應(yīng)力；σi(i=1,2,3)為對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)主應(yīng)力。材料滿足強(qiáng)度要求的條件是：σeq≤[σ]。

2.4 確定隨機(jī)輸入變量和結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

根據(jù)腳蹬的靜強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果，選定工況①作為強(qiáng)度可靠性分析時(shí)的超常載荷，以工況①的最大Von.Mises應(yīng)力作為結(jié)構(gòu)性能響應(yīng)，設(shè)為SMAX，考慮與其相關(guān)的不確定性因素作為隨機(jī)輸入變量，主要包括材料屬性以及結(jié)構(gòu)板厚大小，見表1。

表1 隨機(jī)輸入變量

考慮以上不確定性因素對(duì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響，以腳蹬在超常載荷下的許用應(yīng)力大于材料的最大Von.Mises應(yīng)力為失效判據(jù)[9]，根據(jù)此失效判據(jù)以及式（2）建立腳蹬的強(qiáng)度功能函數(shù)

式中：SMAX為超常載荷下腳蹬的最大Von.Mises應(yīng)力，當(dāng)Z0時(shí)腳蹬結(jié)構(gòu)發(fā)生強(qiáng)度失效。

2.5 強(qiáng)度可靠性分析結(jié)果后處理

采用基于拉丁超立方采樣的Monte-Carlo法對(duì)超常載荷下的腳蹬結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行500次的抽樣計(jì)算，得到優(yōu)化前的可靠性分析結(jié)果。對(duì)于輸出響應(yīng)結(jié)果的評(píng)判，主要輸出了極限狀態(tài)函數(shù)值（Z）和腳蹬結(jié)構(gòu)的最大Von.Mises應(yīng)力值（SMAX）。圖6為置信度為95%的Z和SMAX的歷史樣本抽樣過程，置信區(qū)間上下限曲線表示500次抽樣過程向均值曲線趨近的過程，通過觀測輸出變量的樣本均值趨勢曲線是否趨于穩(wěn)定來判斷抽樣次數(shù)是否足夠，以檢驗(yàn)抽樣次數(shù)能否滿足精度的要求。

由圖6可知，經(jīng)過500次采樣的Monte Carlo仿真循環(huán)后，極限狀態(tài)函數(shù)曲線和最大Von.Mises應(yīng)力曲線已逐步趨于平穩(wěn)，說明500次仿真抽樣已經(jīng)足夠，能夠準(zhǔn)確地進(jìn)行腳蹬的結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算分析。隨著采樣次數(shù)的增多，置信區(qū)間上下限寬度不斷減小，Z的均值在2附近波動(dòng)，大于0；應(yīng)力均值收斂于202MPa左右，低于材料的屈服強(qiáng)度205MPa，最大應(yīng)力處于190MPa和237MPa之間的樣本頻率相對(duì)較高，說明最大應(yīng)力樣本點(diǎn)落在190MPa和237MPa之間的數(shù)量較多。

圖6 輸出變量的樣本均值趨勢圖

圖7 輸出變量的累積分布函數(shù)曲線

置信度[0 , 1]區(qū)間內(nèi)，缺省值0.95，得到輸出變量的累積分布函數(shù)曲線如圖7所示。結(jié)合圖8仿真總體功能函數(shù)Z的歷史樣本和可靠度結(jié)果圖9可知，Z0的概率約為59.07%，即系統(tǒng)的可靠度為59.07%，失效概率為40.93%，失效概率較高，不滿足可靠性設(shè)計(jì)要求。

圖8 Z的歷史樣本

圖9 優(yōu)化前Z＞0的概率

3 腳蹬的尺寸優(yōu)化

由腳蹬的強(qiáng)度可靠性分析結(jié)果發(fā)現(xiàn)其可靠性具有很大的優(yōu)化空間，基于此，為了提高結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能，同時(shí)考慮輕量化也需要得到一定的保證，使用OptiStruct對(duì)腳蹬結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化，以獲得最佳的板厚組合。

Optistruct中，一個(gè)設(shè)計(jì)變量與其他設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系可以表示為[10]

式中：DDVID為該階段最終的設(shè)計(jì)變量；C0為常量，本文取0；CMULT為常量系數(shù)，本文取1；IDVi為獨(dú)立變量的標(biāo)識(shí)；Ci為IDVi的系數(shù)。

選取角鐵板厚、踏板板厚、腳蹬板厚以及腳蹬框的厚度共4個(gè)尺寸參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，以其在超常載荷工況（第①工況）下的加權(quán)柔度值最小化為目標(biāo)函數(shù)，即腳蹬的總成剛度最大，以腳蹬總質(zhì)量不超過優(yōu)化前的質(zhì)量為約束條件，建立尺寸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

式中：Ti（i=1,2,3,4）為腳蹬各組成部件的厚度，W為加權(quán)柔度系數(shù)，本文取1，C為腳蹬在第一工況下的柔度值，M為腳蹬的質(zhì)量。

經(jīng)過迭代計(jì)算圓整得到尺寸優(yōu)化后各板厚的最優(yōu)解見表2。柔度目標(biāo)函數(shù)迭代過程曲線如圖10所示。

表2 尺寸優(yōu)化結(jié)果

圖10 尺寸優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)柔度迭代曲線

對(duì)優(yōu)化圓整后的腳蹬重新進(jìn)行超常載荷下的靜強(qiáng)度分析，應(yīng)力分布如圖11所示。尺寸優(yōu)化前后腳蹬的力學(xué)性能對(duì)比見表3，圓整后的腳蹬在質(zhì)量僅增加0.43kg的條件下，最大應(yīng)力由優(yōu)化前的200.78MPa下降到122.2MPa，減少39.1%，并且小于材料的許用應(yīng)力；而最大變形量由優(yōu)化前的2.45mm下降到0.76mm，減少69.1%。對(duì)優(yōu)化圓整后的腳蹬結(jié)構(gòu)采用基于拉丁超立方抽樣的Monte-Carlo法進(jìn)行500次的抽樣計(jì)算得到最終的可靠度結(jié)果如圖12所示，由優(yōu)化前的59.07%提升到100%，優(yōu)化后的腳蹬滿足了可靠性設(shè)計(jì)要求，取得了較好的優(yōu)化效果。

圖11 優(yōu)化圓整后腳蹬的應(yīng)力云圖

圖12 優(yōu)化后腳蹬結(jié)構(gòu)可靠性分析結(jié)果

表3 優(yōu)化前后對(duì)比

4 結(jié)語

①采用基于拉丁超立方采樣的Monte Carlo法對(duì)某地鐵車車頭腳蹬進(jìn)行超常載荷下的強(qiáng)度可靠性分析，經(jīng)過500次抽樣仿真分析后得到腳蹬的可靠度為59.07%，不滿足可靠性設(shè)計(jì)要求。

②采用OptiStruct對(duì)腳蹬進(jìn)行尺寸優(yōu)化，優(yōu)化圓整后的腳蹬在力學(xué)性能很大程度提高的前提下，其可靠度由優(yōu)化前的59.07%提升到100%，達(dá)到較好的優(yōu)化效果。