鄭 斌,馬米花,蔡建平

（閩南師范大學數學與統計學院,福建漳州363000）

Pecora 和Carroll[1]首次在電路上實現了驅動-響應兩個混沌系統的同步.由于這項開創(chuàng)性的研究,過去20年里,學者們對混沌同步做了大量的研究[1-3].現有的許多混沌控制策略,例如線性反饋控制,自適應控制,滑膜控制等已經廣泛應用于混沌同步.近年來,不連續(xù)控制方法,例如脈沖控制,事件觸發(fā)控制和間歇控制,由于其低通信成本和抗噪聲的優(yōu)點,引起了越來越多學者的關注[3-5].由于間歇控制在實踐中易于實現,因此它是一種處理同步問題的有效方法.與連續(xù)控制模式相比,文獻[6-8]的結果表明,間歇控制更有效,成本更低,抗噪聲更好,對參數失配具有較好的魯棒性.

當我們實現兩個或多個混沌系統同步時,經常會遇到兩種時滯的情況,即系統內的時間延遲和系統之間的傳輸延遲.時滯會影響同步性能,甚至可能使系統不穩(wěn)定.因此學者們對混沌系統或網絡的滯后同步進行大量的研究,其中文獻[2,5,9]是通過間歇控制來實現.

另外,投影同步是同步中的一種,它是驅動系統和響應系統的狀態(tài)變量之間達到某種關系.其中,完全同步和反同步是特殊的投影同步[10].文獻[11]通過自適應的間歇控制,給出了混沌系統混合投影同步的充分條件.但即使相同的驅動系統和響應系統的參數,在實際應用中也不可避免地存在參數失配,這導致難以甚至不可能實現完全同步.因此,關于準同步或類似的弱同步和實用同步的問題也很有吸引力[12-13].

文獻[14-15]具有兩個子周期的間歇控制應用于風力發(fā)電系統控制和一些系統切換控制,兩個子周期的間歇控制是指一個完整的控制周期由兩個子周期組成.顯然,如果兩個子周期相同,則具有兩個子周期的間歇控制將會變?yōu)橥ǔ５膯沃芷诳刂?目前,關于具有兩個子周期的間歇控制用于同步時滯混沌系統的研究很少.因此,對這個問題的討論具有重要的現實意義.

嘗試使用兩個子周期的間歇控制方法來實現具有參數失配的時滯混沌系統的投影滯后同步.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和代數矩陣不等式,得到了一些新的同步準則.另外,討論參數和誤差范圍之間的關系,以及這些參數對同步的影響.將得到的理論結果應用于具有時滯的蔡氏電路系統,數值模擬表明所提出的控制策略是可行的.

1 模型描述和間歇控制方案

考慮如下的一類混沌系統

稱(1)為驅動系統,其中x是狀態(tài)向量,φ(t )是初始值,A1,B1,C1和D1∈Rn×n是常數矩陣,τ表示的是時間延遲,f,g：Rn→Rn是非線性函數滿足以下假設.

假設函數f (x)和g(x)滿足f (0)= g(0),并且存在正定矩陣Lf,Lg∈Rn×n,對于任意的x,y ∈Rn,都有以下不等式成立：

響應系統構造為：

其中y 是狀態(tài)向量, A2, B2, C2和D2∈Rn×n是常數矩陣, ψ(t )是初始值. 由于參數失配, A1≠A2, B1≠B2,C1≠C2和D1≠D2.u(t )是具有兩個子時段的間歇控制,即

其中m = 0,1,…,n.K = diag(k1,k2,…,kn)表示的是控制增益,λ是投影因子,θ 是傳輸時滯,h1和h2是控制寬度,T = T1+ T2是控制周期,其中T1和T2可以分別代表兩個不同的子周期.

定義誤差變量e = y(t )- λx(t - θ ),誤差系統可以從公式(1)-(3)計算：

其中ΔA = A2- A1,ΔB = B2- B1,ΔC = C2- C1和ΔD = D2- D1表示參數失配.

定義[7]如果存在ε ＞0,T0＞0,傳輸延遲θ,時間延遲τ 和投影因子λ,對任意的t ≥T0,任意的初始的條件φ(t )∈Ω,ψ(t )∈Ω 和t ∈[-τ,0],有‖ ‖y(t )- λx(t - θ ) ≤ε 成立,則稱同步框架實現有誤差界的投影滯后同步,其中Ω為系統軌跡的界.

引理1[15]對于任意給定具有適當階數的實矩陣Σ1,Σ2,Σ3和標量s ＞0,若0 ＜Σ3=那么有下列不等式成立：

引理2[16]假設P為n階正定矩陣,Q是對稱矩陣,那么

其中x ∈Rn,λm(·)和λM(·)分別代表矩陣的最小和最大特征值.

參考文獻[6]的引理5，可以得到引理3.

引理3 如果存在非負函數y(t )在t ∈[t0- τ,+∞)上滿足以下的微分不等式

其中α,β,r 和c 都是正的常數,且-ρ3+ ρ4＞0,ρ = ρ1- ρ2+ ρ3- ρ4＞0,令ρ1= r(h1- τ ),ρ2= c(T1- h1),ρ3= r(h2- τ ),ρ4= c(T - T1- h2),那么可以得到以下不等式

對于任意的t ≥0都成立,其中υ =(α + β)eρ2-ρ3+ρ4- βe-ρ3+ρ4+(α + β)eρ4- β.

2 同步判據和誤差界

證明選擇V (t )= e(t )Te(t ),根據時間的不同,分為t ∈(mT,mT + h1]?(mT + T1,mT + T1+ h2]和t ∈(mT + h1,mT + T1]?(mT + T1+ h2,(m + 1)T ]進行討論.

當t ∈(mT,mT + h1]?(mT + T1,mT + T1+ h2]時,其中m是非負整數,那么

因此,根據引理1和引理2，經過簡單的計算可以得到

根據上面的計算可得到

通過以上的討論,可以得到

當t ∈(mT + h1,mT + T1]?(mT + T1+ h2,(m + 1)T ]時,同樣的,得到

綜上所述,

因此,有以下的不等式成立

其中r1是方程-r1= -s1+ ηer1τ的唯一解.

可以得到以下的不等式

又因為

因此，在間歇控制(3)下, 混沌系統可以實現有誤差界限的投影滯后同步, 誤差界為證畢.

3 數值仿真

作為上述理論結果的應用，選擇具有時滯的蔡氏電路系統為例進行說明.

a = 9.215 6,b = 15.994 6,c = -1.249 5,d = -0.757 35,τ = 1 和x(0)=[0.3,0.2,0.1].那么該系統是處于混沌的狀態(tài).

對應的響應系統可以寫成

情形1 如果取控制周期T1= 1和T = 4,控制寬度h1= 0.9和h2= 2.7,其它的參數如下給出參數失配值l1= 0.001,傳輸時滯θ = 0.000 5,控制增益k = 56,投影因子λ = 0.9,初始的條件為(x1(0) ,x2(0),x3(0))=(1,0.8,0.9),(y1(0),y2(0),y2(0))=(0.5,0.6,0.2).利用這些參數,經過簡單的計算,可以得到預估的誤差界ε ≤0.16.如圖1 所示,可以看到通過數值計算的誤差界D1={e ∈Rn|‖ e ‖≤0.121 3} 會小于預估的誤差界.

圖1 誤差曲線隨時間的變化圖Fig.1 Variation of error curve with time

情形2 討論控制寬度h1和數值誤差界的關系.取控制寬度h1從0.6增加到1,每次增加0.01.其它的參數給出如下,控制寬度h2= 0.96,控制增益k = 56,控制周期T1= 1,T = 2,剩余的參數和情形1相同.如圖2所示,可知隨著控制寬度h1的增加,數值誤差界D也會增加.

圖2 控制寬度h1和數值誤差界D的關系圖Fig.2 The relation graph between control width h1 and numeric error bound D

4 結論

兩個子周期的間歇控制在控制區(qū)間內有了更靈活的選擇,并實現了有參數失配的時滯混沌系統投影滯后同步.利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式推導并證明了同步判據.同時,還討論了參數和誤差之間的關系,以及這些參數對同步的影響.最后通過時滯的蔡電路作為仿真的例子驗證了上述的理論結果.