姜東旭，孫寶玉，李迎春，林潔瓊，王冬雪，王文攀

（1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033）

引言

隨著光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)的發(fā)展，純球面系統(tǒng)已經(jīng)不能滿足使用需求，因此采用非球面光學(xué)系統(tǒng)已經(jīng)成為光學(xué)設(shè)計(jì)發(fā)展的主要趨勢(shì)[1-3]。機(jī)載相機(jī)是現(xiàn)代化空間數(shù)據(jù)獲取的重要手段之一，因?yàn)槠渑臄z視野廣，拍攝距離遠(yuǎn)，適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)和軍事領(lǐng)域。機(jī)載相機(jī)與非球面光學(xué)系統(tǒng)的結(jié)合不僅可以增強(qiáng)相機(jī)適用性，同時(shí)在一定程度上還可以降低光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的復(fù)雜程度。機(jī)載相機(jī)工作過程中，實(shí)際環(huán)境的溫度以及相機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)都會(huì)對(duì)光學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生不可忽略的影響。因此，對(duì)于實(shí)際工作環(huán)境下的光學(xué)系統(tǒng)，分析其溫度場(chǎng)以及機(jī)械結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布規(guī)律對(duì)成像質(zhì)量的影響，可以更加有效地提高光學(xué)系統(tǒng)的成像性能。

光學(xué)系統(tǒng)實(shí)際工作環(huán)境對(duì)成像質(zhì)量的影響因素主要包括相機(jī)機(jī)械結(jié)構(gòu)變形導(dǎo)致光學(xué)元件相對(duì)位置和鏡面面型的變化，溫度熱環(huán)境所產(chǎn)生的熱應(yīng)力引起的光學(xué)元件面型的變化，工作環(huán)境溫度變化對(duì)于鏡片材料光學(xué)特性的影響。本文運(yùn)用熱光學(xué)特性分析方法，利用有限元軟件對(duì)光學(xué)系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，得到不同溫度場(chǎng)下的變形量，以求得溫度場(chǎng)下的應(yīng)力和系統(tǒng)整體形變量。將有限元軟件所輸出的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，最終生成光學(xué)軟件可以讀取識(shí)別的參數(shù)，通過光學(xué)設(shè)計(jì)軟件可以評(píng)價(jià)不同溫度場(chǎng)光學(xué)系統(tǒng)的成像性能[4-6]。

1 熱光學(xué)特性分析理論基礎(chǔ)

1.1 剛體位移

對(duì)于溫度場(chǎng)的光機(jī)系統(tǒng)，機(jī)械結(jié)構(gòu)和光學(xué)元件都會(huì)產(chǎn)生一定的變形，由于光學(xué)元件受到機(jī)械結(jié)構(gòu)的影響，光學(xué)元件產(chǎn)生整體位移[7-9]，即稱之為光學(xué)元件的剛體位移，包括偏移，偏心和傾斜，光學(xué)元件變形形式如圖1所示。

圖1 剛體位移示意圖Fig.1 Schematic diagram of rigid body displacement

在空間變換理論中，利用齊次坐標(biāo)變換對(duì)光學(xué)元件鏡面的剛體位移進(jìn)行求解。在笛卡爾坐標(biāo)系中，光學(xué)元件可以用6 個(gè)方向的自由度進(jìn)行表示，e、f、g分別表示x、y、z軸平移量，θx、θy、θz分別表示x、y、z軸偏轉(zhuǎn)量，(xi,yi,zi)(i=1,2,···,n)表示光學(xué)元件未發(fā)生變形之前的原始坐標(biāo)，n為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的節(jié)點(diǎn)號(hào)，表示光學(xué)元件變形之后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，Δxi,Δyi,Δzi分別表示鏡面變形前后節(jié)點(diǎn)位移變化量。由文獻(xiàn)[7]可得目標(biāo)函數(shù)：

通過求解Q的極值即可求得剛體位移，令：

通過溫度場(chǎng)下光學(xué)元件的鏡面熱變形前后的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得該透鏡的表面剛體位移。

1.2 Zernike 多項(xiàng)式

Zernike 多項(xiàng)式[10-13]在單位圓域內(nèi)具有正交性、線性無(wú)關(guān)性，且是能夠歸一化地、唯一地描述系統(tǒng)圓形孔徑波前畸變的函數(shù)，可以將其分為標(biāo)準(zhǔn)Zernike（ZRN）多項(xiàng)式和Fringe Zernike（ZFR）多項(xiàng)式兩類，前者包含后者。一般Zernike 多項(xiàng)式通常采用極坐標(biāo)形式，可以用下式表示：

式中：Ai為多項(xiàng)式系數(shù)；ρ為歸一化半徑；θ為角度；n為多項(xiàng)式階數(shù)。

通過Zernike 多項(xiàng)式的線性組合可以表達(dá)各種類型的鏡面面形。面型數(shù)據(jù)去除剛體位移之后，對(duì)鏡面面型進(jìn)行擬合，光學(xué)設(shè)計(jì)者常用Seidel 像差函數(shù)[14-15]對(duì)所設(shè)計(jì)的光學(xué)系統(tǒng)像差進(jìn)行描述，Zernike 多項(xiàng)式與初級(jí)像差具有一定對(duì)應(yīng)關(guān)系。本文選擇Fringe Zernike（ZFR）多項(xiàng)式，表1給出了前6 項(xiàng)Fringe Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)與Seidel 像差之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表1 Fringe Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)與Seidel 像差之間的關(guān)系Table1 Relationship between Fringe Zernike polynomial coefficient and Seidel aberration

2 機(jī)載相機(jī)非球面光學(xué)系統(tǒng)熱光學(xué)特性分析

2.1 非球面相機(jī)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與建模

本文所研究的某機(jī)載相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)原理如圖2所示。光學(xué)系統(tǒng)的基本參數(shù)包括焦距f′=80 mm，視場(chǎng)角:H×V=28°×28°，工作波段為可見光，探測(cè)器像元尺寸5.5 μm，工作環(huán)境為-40 ℃～50 ℃。

圖2 光學(xué)系統(tǒng)光路圖Fig.2 Optical path diagram of optical system

結(jié)構(gòu)三維模型圖如圖3所示。主要由光學(xué)系統(tǒng)、鏡筒、鏡筒支座、基座和CCD 等部件組成，各部件通過螺釘連接，以保證整體結(jié)構(gòu)具有足夠的剛性。

圖3 光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)三維圖Fig.3 3D diagram of optical system structure

本文所研究的相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)為非球面光學(xué)系統(tǒng)，由6 片透鏡組成，其中第2 片鏡片的第2 面為非球面，在一定程度上可以減輕光學(xué)系統(tǒng)的質(zhì)量。本文將針對(duì)光學(xué)鏡頭建立有限元模型，如圖4所示，鏡頭有限元模型共有48 720 個(gè)六面體網(wǎng)格單元，圖4即為利用有限元軟件建立的鏡頭有限元模型剖視圖。

圖4 鏡頭有限元模型Fig.4 Lens finite element model

2.2 熱光學(xué)特性分析流程

機(jī)載相機(jī)熱光學(xué)特性分析流程如圖5所示。首先進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)，然后對(duì)相機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、有限元建模、不同溫度場(chǎng)下鏡頭熱分析。溫度會(huì)使透鏡產(chǎn)生熱彈性變形和折射率變化，本文只考慮熱弾性變形，將各透鏡的折射率看作一個(gè)常數(shù)，所以提取每個(gè)鏡片的鏡面變形數(shù)據(jù)，去除其剛體位移，之后導(dǎo)入所編寫的接口程序Zernike 多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行擬合，將擬合的結(jié)果導(dǎo)入光學(xué)設(shè)計(jì)軟件中，對(duì)溫度場(chǎng)下鏡面變形對(duì)機(jī)載相機(jī)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響進(jìn)行評(píng)價(jià)。

圖5 熱光學(xué)特性分析流程圖Fig.5 Flow chart of thermal optical property analysis

2.3 仿真結(jié)果分析

在20 ℃溫度工況下光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)鏡面變形云圖如圖6所示，通過Zernike 擬合程序擬合出Zernike 系數(shù)導(dǎo)入光學(xué)設(shè)計(jì)軟件。圖7為光學(xué)系統(tǒng)的MTF 的設(shè)計(jì)值。圖8為光學(xué)系統(tǒng)MTF 擬合值。該非球面光學(xué)系統(tǒng)的截止頻率為91 lp/mm，以全視場(chǎng)為例，MTF 設(shè)計(jì)值為0.328 8，MTF 擬合值為0.328 9，兩者之間相差不足1‰，滿足工程應(yīng)用的誤差要求，驗(yàn)證了熱光學(xué)特性分析方法的可行性。

對(duì)于光學(xué)系統(tǒng)所做的不同溫度場(chǎng)下非球面光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響分析，需要對(duì)非球面光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)定不同的溫度工況（-40 ℃和50 ℃），由于篇幅所限，表2給出了-40 ℃第1 面球面和第4 面非球面的剛體位移，表3和表4分別給出了2 個(gè)鏡面變形的37 項(xiàng)Zernike 系數(shù)。

圖6 20 ℃光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變形分析云圖Fig.6 20 ℃ optical system structural deformation analysis cloud map

圖7 光學(xué)系統(tǒng)MTF 設(shè)計(jì)值Fig.7 Design value of optical system MTF

圖8 光學(xué)系統(tǒng)MTF 擬合值（20 ℃）Fig.8 Fitted value of optical system MTF (20 ℃)

表2 -40 ℃球面和非球面的剛體位移Table2 Rigid body displacement of pherical and aspheric surface at -40 ℃ mm

圖9為-40 ℃溫度場(chǎng)的光學(xué)系統(tǒng)MTF，在全視場(chǎng)空間頻率為91 lp/mm 處，MTF 值為0.317，相比設(shè)計(jì)值下降了3%。圖10 為50 ℃溫度場(chǎng)的光學(xué)系統(tǒng)MTF 擬合值，在全視場(chǎng)頻率為91 lp/mm 處MTF值為0.312，與設(shè)計(jì)值比較下降了5%，雖然滿足在工作頻段MTF 值大于0.3 的要求，但是無(wú)論溫度升高或者降低都會(huì)降低非球面光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量，且本文設(shè)計(jì)的光學(xué)系統(tǒng)對(duì)于高溫環(huán)境更加敏感。本文介紹的熱光學(xué)特性分析方法可以有效對(duì)不同溫度場(chǎng)下非球面光學(xué)系統(tǒng)的成像質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，在光學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)階段，可以有效地預(yù)測(cè)溫度對(duì)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響，對(duì)于光學(xué)設(shè)計(jì)具有指導(dǎo)意義。

表3 球面的Zernike 系數(shù)（-40 ℃）Table3 Zernike coefficient of spherical surface (-40 ℃)

表4 非球面的Zernike 系數(shù)（-40 ℃）Table4 Zernike coefficient of aspheric surface (-40 ℃)

圖9 光學(xué)系統(tǒng)MTF 擬合值（-40 ℃）Fig.9 Fitted value of optical system MTF (-40 ℃)

圖10 光學(xué)系統(tǒng)MTF 擬合值（50 ℃）Fig.10 Fitted value of optical system MTF (50 ℃)

3 結(jié)論

本文采用熱光學(xué)特性分析方法對(duì)機(jī)載相機(jī)非球面光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分析，介紹了鏡面面型的數(shù)據(jù)處理方法，利用齊次坐標(biāo)變換去除了鏡面變形的剛體位移，選用Fringe Zernike 多項(xiàng)式作為鏡面面型擬合的基底函數(shù)，并通過編程軟件編寫相關(guān)程序作為有限元分析與光學(xué)軟件分析的接口，最后對(duì)光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建立有限元模型，分析不同溫度工況下的光學(xué)系統(tǒng)鏡面變形，并且利用本文所提出的方法進(jìn)行光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量評(píng)價(jià)。通過不同工況下光學(xué)系統(tǒng)MTF 擬合值與設(shè)計(jì)值的比較，說明環(huán)境溫度的升高和降低都會(huì)影響光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量，本文的非球面光學(xué)系統(tǒng)對(duì)于高溫對(duì)成像質(zhì)量的影響更加敏感。利用該熱光學(xué)特性分析方法可以預(yù)測(cè)溫度環(huán)境對(duì)光學(xué)系統(tǒng)成像質(zhì)量的影響，從而實(shí)現(xiàn)光機(jī)系統(tǒng)熱光一體化設(shè)計(jì)與分析。