(西安電子科技大學(xué) 微電子學(xué)院，西安，7100071)

1 引言

高頻的超聲換能器聲場(chǎng)建模一直是一個(gè)困擾超聲換能器優(yōu)化設(shè)計(jì)和研制的難題[1-5].利用COMSOL等有限元仿真軟件進(jìn)行高頻超聲換能器的仿真需要耗費(fèi)大量時(shí)間，隨著仿真頻率的提高，消耗時(shí)間會(huì)指數(shù)上升.超聲換能的器設(shè)計(jì)參數(shù)眾多，使用有限元模擬方法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)不利于縮短研發(fā)周期.此外，超聲聲場(chǎng)調(diào)控在生物成像、神經(jīng)調(diào)節(jié)、粒子操縱和無損檢測(cè)中起著至關(guān)重要的作用[6-8].利用超材料透鏡，控制聲場(chǎng)的每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的相位，從而實(shí)現(xiàn)聲場(chǎng)調(diào)控是一個(gè)比較熱門的方法.

角譜傳播方法在光場(chǎng)的快速建模方面具有顯著成效，可以將其應(yīng)用到聲場(chǎng)的快速建模中.基于角譜傳播方法，利用COMSOL等有限元仿真軟件或利用水聽器等手段得到的表面聲場(chǎng)進(jìn)行傳播計(jì)算，可以快速得到超聲換能器聲場(chǎng)傳輸?shù)亩S/三維信息，比有限元軟件仿真速度有大幅提升.Gerchberg-Saxton迭代算法[9,10](后文簡(jiǎn)稱GS算法)是一種檢索光分布相位的方法.類似地，可以將GS算法用于聲場(chǎng)相位的計(jì)算，結(jié)合聲場(chǎng)快速建模方法實(shí)現(xiàn)聲全息表面的快速調(diào)控.

本文建立一種基于角譜法的超聲換能器聲場(chǎng)快速建模算法，可以完成超聲換能器聲場(chǎng)的二維/三維快速建模.此外，結(jié)合角譜法和GS算法，優(yōu)化聲全息透鏡，實(shí)現(xiàn)超聲換能器聲場(chǎng)調(diào)控.

2 基本原理

2.1 角譜概念

對(duì)于一維時(shí)域聲場(chǎng)u(t)，其存在固有的屬性如周期T，頻率f，同時(shí)，可以計(jì)算得到其空間角頻率ω=2πf=2π/T.同理，對(duì)于空間中深度為z處的平面二維聲場(chǎng)U(x,y,z)，也會(huì)存在空間周期λ，空間頻率fs，及空間角頻率k=2πfs=2π/λ.k亦稱為波矢.

對(duì)一隨時(shí)間變化的信號(hào)u(t)進(jìn)行傅里葉變換，得到的是該信號(hào)的頻譜分布；對(duì)空間中深度為z處的平面二維聲場(chǎng)U(x,y,z)進(jìn)行二維傅里葉變換，則可以得到其空間頻譜分布.由于各個(gè)不同空間頻率的傅里葉分量，可看作沿不同方向傳播的平面波，因此，也可稱其為平面波的角譜.

2.2 角譜與二維傅里葉變換

空間中深度為z處的一個(gè)單頻單向(方向?yàn)閗0)的平面波聲場(chǎng)U0(x,y,z)可表示為：

=A0exp[j2π(fx0x+fy0y+fz0z)],

(1)

式(1)可以化為：

從上式提取前兩個(gè)因子得到聲場(chǎng)某一方向的角譜AS(angle spectrum)：

若考慮一個(gè)z平面(即z=z的平面)中可以自由傳播的單頻平面波聲場(chǎng)U(x,y,z)，則其與角譜AS(fx,fy,z)有如下關(guān)系：

上式即為單頻平面波聲場(chǎng)的二維傅里葉變換，其逆變換如下：

2.3 基于角譜法(ASM)的聲場(chǎng)快速建模

由于自由傳播的聲場(chǎng)U(x,y,z)為穩(wěn)態(tài)聲場(chǎng)，滿足亥姆霍茲(Helmholtz)方程，故我們得到以下方程組[11-14]

可求得其特解

(2)

其中，AS(fx,fy,0)表示位于平面z=0的聲場(chǎng)U(x,y,0)對(duì)應(yīng)的角譜.

通過式(2)，我們看到z平面內(nèi)聲場(chǎng)的角譜與振幅和頻率無關(guān).在理想情況下，聲場(chǎng)在傳播過程中僅發(fā)生相位改變，振幅不變.此外，將角譜與傳輸距離z相關(guān)的項(xiàng)提取出來，可以得到傳輸函數(shù)H(z)的表達(dá)式：

波數(shù)k在x,y軸上的投影分別為：

對(duì)某一特定尺寸聲場(chǎng)，kx的取值范圍為：

其中，M為初始聲場(chǎng)采樣點(diǎn)的數(shù)量，L0為初始聲場(chǎng)在x軸方向上的寬度(默認(rèn)x軸和y軸寬度相等).ky的取值范圍類似.

對(duì)于不滿足此條件的kx,ky，將傳輸函數(shù)置零，相當(dāng)于實(shí)現(xiàn)了空間濾波.

綜上所述，我們利用角譜方法獲得超聲換能器三維聲場(chǎng)的步驟為：

1)對(duì)初始平面進(jìn)行二維傅里葉變換得到z=0平面的角譜；

2)利用不同z平面的傳輸函數(shù)，得到一系列z平面角譜；

3)利用逆傅里葉變換，得到不同傳輸深度z的聲場(chǎng).

2.4 基于角譜法與GS算法的聲場(chǎng)調(diào)控

提出GS算法是為了解決光場(chǎng)調(diào)控的問題，將其與角譜傳輸進(jìn)行結(jié)合，即可很好實(shí)現(xiàn)對(duì)聲場(chǎng)的相位調(diào)控.不斷地迭代z平面的聲場(chǎng)幅值，得到相應(yīng)的z=0平面相位φ0，然后通過下述公式(3)，(4)，將相位轉(zhuǎn)換為透鏡厚度T，利用透鏡改變初始聲場(chǎng)相位，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)平面的聲場(chǎng)調(diào)控[12,15]：

T(x,y)=T0-ΔT(x,y),

(3)

ΔT(x,y)=Δφ(x,y)/(km-kh),

(4)

式中，T0為透鏡初始厚度，是由傳輸介質(zhì)(通常為水)和透鏡材料2π相位波程差確定，kh是全息(Hologram)透鏡材料波數(shù)，km是傳輸介質(zhì)(通常為水)的波數(shù)，Δφ(x,y)是透鏡產(chǎn)生的相位差.

利用GS算法進(jìn)行迭代的流程如圖1所示，具體步驟如下：

圖1 通過GS算法迭代求出調(diào)控?fù)Q能器聲場(chǎng)透鏡流程圖

1)通過COMSOL或利用水聽器測(cè)量得到初始聲場(chǎng)U(x,y,0)，默認(rèn)初始相位φ0為0；

2)利用角譜傳輸，得到指定z平面內(nèi)的聲場(chǎng)U(x,y,z)，提取其幅值A(chǔ)z和相位φz；

3)判斷輸出幅值A(chǔ)z和目標(biāo)圖像幅值A(chǔ)target間誤差是否滿足要求，是,則輸出此時(shí)的透鏡厚度T，否則繼續(xù)迭代，將相位φz給到步驟4)；

4)利用目標(biāo)圖像幅值A(chǔ)target，和當(dāng)前平面相位φz得到一個(gè)新的z平面聲場(chǎng)；

5)利用逆傅里葉變換以及逆角譜傳輸?shù)玫叫碌膠=0平面相位φ0；

在步驟6)中，如果考慮透鏡材料帶來的衰減，則衰減系數(shù)可以利用如下公式計(jì)算[15]：

其中，Z代表材料聲阻抗，可利用材料聲速與密度的乘積求得.下標(biāo)t，h，m分別指代換能器材料、全息透鏡材料、傳輸介質(zhì)材料.在步驟6)中重新生成迭代的初始聲場(chǎng)為：

3 模型應(yīng)用與實(shí)驗(yàn)

3.1 聲場(chǎng)快速建模

圖2(a)為換能器歸一化表面聲場(chǎng)，利用水聽器測(cè)得，中心頻率為1MHz，尺寸為直徑25mm的圓形.圖2(b)為利用角譜傳播算法計(jì)算得到的歸一化三維截面聲場(chǎng)，分別為x，y軸中心零點(diǎn)處截面.

圖2 (a)利用水聽器測(cè)得表面聲場(chǎng)；(b)使用ASM實(shí)現(xiàn)快速三維建模

3.2 聲場(chǎng)調(diào)控

利用如圖3(c)所示初始聲場(chǎng)，通過角譜迭代的方式，使特定z=3cm平面的聲場(chǎng)幅值靠近目標(biāo)圖3(a)，最終輸出歸一化聲場(chǎng)幅值為圖3(b)所示.圖3(d)為通過透鏡校正后初始平面的歸一化聲場(chǎng)，圖3(e)為輸出聲全息透鏡的三維模型，帶有正方形外殼.通過3D打印技術(shù)可以制備出所需要的透鏡，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)超聲換能器的聲場(chǎng)調(diào)控.

圖3 (a)反演目標(biāo)圖像；(b)反演輸出(歸一化)圖像；(c)初始聲場(chǎng)；(d)反演后的初始聲場(chǎng)；(e)輸出透鏡

4 總結(jié)

本文基于角譜法實(shí)現(xiàn)超聲換能器聲場(chǎng)的快速建模，對(duì)于高頻換能器聲場(chǎng)的三維建模，該方法可以有效提高仿真效率.結(jié)合GS算法，可以優(yōu)化出到聲學(xué)全息表面的透鏡，實(shí)現(xiàn)超聲換能器聲場(chǎng)的準(zhǔn)確調(diào)控.但是，該方法只能對(duì)單頻平面波聲場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，且要求為縱波.當(dāng)換能器存在其他振動(dòng)模態(tài)，產(chǎn)生橫波、表面波等非縱波時(shí)，實(shí)際結(jié)果會(huì)與仿真計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大誤差.同時(shí)，利用COMSOL等軟件，或者利用水聽器等設(shè)備得到聲場(chǎng)，消耗時(shí)間仍較長(zhǎng).在后續(xù)研究過程中，可以使用瑞利積分等方式來計(jì)算超聲換能器初始聲場(chǎng)、利用多個(gè)頻率聲場(chǎng)疊加的方法來解決上述問題.