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(1.中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長沙，410083；2.中南大學(xué)商學(xué)院，長沙，410083)

1 引言

最優(yōu)消費(fèi)與投資的問題是金融數(shù)學(xué)學(xué)中的一個(gè)重要的研究方向.在1969年，Samuelson考慮了離散時(shí)間下的投資者最優(yōu)投資組合選擇與消費(fèi)行為的問題[1]，與此同時(shí)Merton將Samuelson的模型擴(kuò)展到連續(xù)時(shí)間情形，并討論了當(dāng)收益率由一個(gè)Wiener Brownian運(yùn)動(dòng)過程生成時(shí)多資產(chǎn)組合的最優(yōu)配置與不確定性下的投資者跨期消費(fèi)行為[2].之后的研究者在Merton的不確定性條件下的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一系列的推廣與拓展.Basak等分析了效用對(duì)打的最優(yōu)動(dòng)態(tài)投資組合與消費(fèi)者消費(fèi)行為的關(guān)系，提出了使用損失預(yù)期的替代風(fēng)險(xiǎn)管理模型彌補(bǔ)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值模型過度偏好風(fēng)險(xiǎn)的不足[3].Cox與Huang等研究了資產(chǎn)價(jià)格服從擴(kuò)散過程時(shí)的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合[4].Choi等研究了生存時(shí)間無限時(shí)，投資者消費(fèi)休閑和退休選擇與最優(yōu)投資組合的關(guān)系[5].考慮到消費(fèi)率通常大于或等于一些非負(fù)過程，Yuan等研究了具有消費(fèi)習(xí)慣約束的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合策略[6].在具有馬爾可夫切換的金融市場中，F(xiàn)ei推導(dǎo)了廣義Ito公式，并利用帶有馬爾可夫切換的廣義Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程計(jì)算了不確定隨機(jī)金融市場下具有馬爾可夫切換的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合[7,8].Mao和Carson將掙錢投資拓展到保險(xiǎn)行業(yè)，得到了保險(xiǎn)合同的最優(yōu)價(jià)格與保險(xiǎn)公司最優(yōu)投資組合之間的關(guān)系[9].Lee等研究了在生存相對(duì)消費(fèi)約束下的常數(shù)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(CRRA)效用函數(shù)控制時(shí)，在投資者生存時(shí)間無限的情形下的選取最優(yōu)消費(fèi)與投資組合的問題，并提供了其解析解[10].Chang等人使用Legendre多項(xiàng)式，將非線性的HJB方程轉(zhuǎn)化為線性對(duì)偶形式，并獲得了其在Vasicek利率模型下最優(yōu)消費(fèi)與投資組合的解析解[11].Song等討論了在損失厭惡和下行消費(fèi)約束下的連續(xù)時(shí)間最優(yōu)投資組合與消費(fèi)問題，數(shù)值試驗(yàn)表明規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的投資者喜歡消費(fèi)更多的錢，但比恒定相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者承受的風(fēng)險(xiǎn)更少，另外恒定相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者的最優(yōu)財(cái)富下降速度通常會(huì)更快[12].Lim等討論了退休前后不同的最佳消費(fèi)與投資組合的策略，并給出了其閉解[13].

為了簡化模型，在跨期經(jīng)濟(jì)研究中通常使用具有常數(shù)折現(xiàn)率的指數(shù)折現(xiàn)函數(shù)，Strotz在1955年提出了一個(gè)具有時(shí)間一致偏好的折現(xiàn)函數(shù)[14].但是，一些心理學(xué)與行為科學(xué)的研究指出，由于時(shí)間推移，消費(fèi)者對(duì)產(chǎn)品的心理預(yù)期會(huì)發(fā)生一些變化，因此時(shí)間一致偏好通常的假設(shè)難以被滿足[15,16].在此基礎(chǔ)上，Harris和Laibson為了反映消費(fèi)者心理預(yù)期的變化，提出了隨機(jī)雙曲折現(xiàn)模型，允許消費(fèi)者的心理預(yù)期在持續(xù)一段時(shí)間后發(fā)生轉(zhuǎn)變，使得模型更符合實(shí)際生活[17].Palacios與Huerta等研究了資產(chǎn)組合的選擇問題[18]，王等研究了雙曲折現(xiàn)假設(shè)下的消費(fèi)與套期保值問題[19].陳等將隨機(jī)雙曲偏好引入Morten經(jīng)典的跨期消費(fèi)與投資組合選擇模型，得到了在常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)假設(shè)下的最優(yōu)消費(fèi)與投資組合問題的解析解[20].Koo與Lim研究了基于雙曲折現(xiàn)和稅收時(shí)間不一致偏好的假設(shè)下的消費(fèi)與人壽保險(xiǎn)的最優(yōu)投資策略[21].

現(xiàn)實(shí)世界中的一些隨機(jī)因素通常也會(huì)對(duì)人的消費(fèi)行為產(chǎn)生影響.消費(fèi)行為可以被認(rèn)為服從一個(gè)Wiener Brownian運(yùn)動(dòng)過程，因此隨機(jī)消費(fèi)作為一個(gè)重要的影響因素需要被加入到模型中.賀芳等研究了在隨機(jī)消費(fèi)的情形下的保險(xiǎn)基金投資問題[22].江和馬提出一個(gè)具有隨機(jī)消費(fèi)的風(fēng)險(xiǎn)模型用于計(jì)算破產(chǎn)概率[23].本文提出基于隨機(jī)消費(fèi)模型的投資者消費(fèi)和資產(chǎn)配置策略，在投資者具有常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)的假設(shè)條件下，研究具有時(shí)間不一致偏好和生存期無限的投資者個(gè)人跨期消費(fèi)與資產(chǎn)投資組合的配置問題，并給出模型的解析解.

2 雙曲折現(xiàn)下的隨機(jī)消費(fèi)模型

在這一節(jié)中，我們首先回顧隨機(jī)雙曲偏好模型，然后，在Morten提出的連續(xù)時(shí)間消費(fèi)投資模型的基礎(chǔ)上引入隨機(jī)消費(fèi)行為，建立一個(gè)隨機(jī)消費(fèi)與最優(yōu)投資組合選取的模型.

2.1 隨機(jī)雙曲偏好模型

Harris和Laibson在2013年提出了隨機(jī)雙曲偏好模型.折現(xiàn)區(qū)間按照時(shí)間間隔被劃分為當(dāng)前區(qū)間和未來區(qū)間兩個(gè)子區(qū)間，在當(dāng)前區(qū)間中，收益按照恒定的折現(xiàn)率δ的指數(shù)折現(xiàn)函數(shù)進(jìn)行折現(xiàn)；同時(shí)，在以恒定折現(xiàn)率δ的指數(shù)折現(xiàn)的基礎(chǔ)上乘以時(shí)間一致偏好因子β作為在未來區(qū)間的折現(xiàn)函數(shù).那么，這個(gè)雙曲折現(xiàn)函數(shù)的表達(dá)式可以寫為如下形式：

這時(shí)，隨機(jī)雙曲折現(xiàn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定性的跳躍函數(shù)，稱為瞬間滿足折現(xiàn)函數(shù)(IG).時(shí)間一致偏好因子β∈(0,1]用來描述偏好隨時(shí)間變化產(chǎn)生的偏差程度：β越小，則當(dāng)前時(shí)間區(qū)間與未來時(shí)間區(qū)間的偏好之間偏差越大；β=1時(shí)，當(dāng)前時(shí)間區(qū)間與未來時(shí)間區(qū)間的偏好不存在偏差，這時(shí)，隨機(jī)雙曲偏好模型退化為常數(shù)指數(shù)折現(xiàn)偏好模型.當(dāng)時(shí)間t→0時(shí)，我們有：

這說明隨機(jī)雙曲折現(xiàn)函數(shù)對(duì)于時(shí)間t的平穩(wěn)性假設(shè)是滿足的.

2.2 消費(fèi)投資模型

假設(shè)金融市場在時(shí)間區(qū)間[0,T]內(nèi)是一個(gè)有借貸限制的完備市場，其中包含有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資Zp(t)和消費(fèi)Zc(t)是兩個(gè)在完備的概率空間(Ω,F,P)上相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).假設(shè)在t時(shí)刻一個(gè)固定回報(bào)率為r的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格St滿足如下微分方程:

dSt=rStdt.

同時(shí)，對(duì)于有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，假設(shè)在t時(shí)刻的價(jià)格Pt服從標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，即滿足微分方程：

dPt=Ptμpdt+PtσtdZp，

其中，μp,σt分別是有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)回報(bào)的均值和方差.

假設(shè)投資者在終止時(shí)刻T之前退休，在任意t∈[0,T]時(shí)刻隨機(jī)地進(jìn)行消費(fèi)，且隨機(jī)消費(fèi)Ct滿足下列微分方程：

(1)

其中，μc和σc分別是消費(fèi)額的均值與方差，|ρ|<1是投資者消費(fèi)額與其擁有的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)值間的相關(guān)系數(shù)，是一個(gè)常數(shù).在t時(shí)刻，我們記投資者用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富數(shù)量為θt.為了便于計(jì)算，假設(shè)投資者僅擁有初始財(cái)富W0>0，沒有工資收入.那么在無限生命周期內(nèi)，其所有資產(chǎn)價(jià)值的變化過程滿足如下方程：

dWt=(rWt+(μp-r)θt-Ct)dt+σpθtdZp，

其中，Wt表示投資者在t時(shí)刻擁有的財(cái)富.

這時(shí)投資者的目標(biāo)是選取最優(yōu)的資產(chǎn)配置組合來得到期望效用函數(shù)的最大值，即：

(2)

其中，u(c)為效用函數(shù)，τ是一個(gè)參數(shù)為λ的指數(shù)分布隨機(jī)變量，W0=w,C0=c.

3 雙曲折現(xiàn)下的隨機(jī)消費(fèi)模型的策略求解

定理假設(shè)投資者具有常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)：

其中，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)η>0，則投資者用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富的最優(yōu)值為：

證明基于Palacios和Perez提出的雙曲折現(xiàn)模型，使得期望效用函數(shù)最大的解θ*需要滿足如下HJB方程[18]：

(3)

對(duì)上式右邊方括號(hào)中的函數(shù)關(guān)于變量θ求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)記為f(θ)，得：

f(θ)=(μp-r)Vw+σp2θVww+σpσcρVcw.

令f(θ)=0，即可得到(3)式右邊函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)：

(4)

由于投資者具有常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡效用函數(shù)：

不妨假設(shè)值函數(shù)V(w,c)具有如下形式：

(5)

分別計(jì)算其各階偏導(dǎo)數(shù)，得：

Vt=0，

Vw=e-ηr(w+bc+a)，

Vw=-ηre-ηr(w+bc+a)，

Vc=be-ηr(w+bc+a)，

Vcc=-ηrb2e-ηr(w+bc+a)，

Vcw=-ηrbe-ηr(w+bc+a).

將它們代入(4)式中，得到：

(6)

現(xiàn)在將(1)式使用差分進(jìn)行近似，得到：

(7)

再將(3)，(6)，(7)式代入K(c)的表達(dá)式中，得：

(8)

整理(5),(6),(8)式并代入(3)式的HJB方程中，得到：

(9)

整理可得：

(10)

(11)

令(10)式等于0，即可得到：

類似地，令(11)式等于0，可得到：

其中

于是，得到最優(yōu)的用于投資有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富數(shù)量為：

定理證畢.

以下我們給出該最優(yōu)值θ*的幾個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)1θ*與隨機(jī)雙曲折現(xiàn)模型中的參數(shù)δ和β無關(guān)，僅由μC,μp,σp,σc,ρ,r以及風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)η決定.因此，在隨機(jī)消費(fèi)模型下，用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的資產(chǎn)總額與投資人的時(shí)間偏好無關(guān).

性質(zhì)2 當(dāng)投資過程與投資者的消費(fèi)行為無關(guān)，即ρ=0時(shí)，最優(yōu)的投資策略為：

此時(shí)，用于投資有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富數(shù)量與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的方差σp，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的超額收益率μp，風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)η以及無風(fēng)險(xiǎn)利率r有關(guān).用于投資有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例為：

性質(zhì)3 當(dāng)ρ=0時(shí)，用于投資風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富與無風(fēng)險(xiǎn)利率r成反比，隨著無風(fēng)險(xiǎn)利率的增高，投資人會(huì)將更多的資產(chǎn)用于購買無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，這也與實(shí)際生活中人們普遍的投資心理吻合.

4 總結(jié)與展望

本文研究了隨機(jī)雙曲折現(xiàn)下的消費(fèi)行為與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資組合配置的問題.在前人的基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步假設(shè)消費(fèi)過程是一個(gè)服從Wiener過程的隨機(jī)行為，在消費(fèi)的效用函數(shù)為常數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)的情形下，求得了最優(yōu)資產(chǎn)配置策略的近似解.同時(shí)，我們對(duì)得到的近似解進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)用于投資有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)財(cái)富量是一個(gè)與雙曲折現(xiàn)函數(shù)無關(guān)的常數(shù)，且與隨機(jī)消費(fèi)行為以及風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)自身的性質(zhì)密切相關(guān).特別地，當(dāng)隨機(jī)消費(fèi)行為與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)相互獨(dú)立時(shí)，用于投資有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)資產(chǎn)量與其他研究者的結(jié)果吻合.在未來的工作中，我們還可以進(jìn)一步將個(gè)人的無限生命周期改為有限時(shí)間段，并且考慮投資者的勞動(dòng)收入等.