李宗海，周 霞，王 霞，李偉軍，賀觀圣

(1. 西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，成都610031；2. 西華師范大學(xué)物理與空間科學(xué)學(xué)院，南充637009；3. 四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都610065；4. 南華大學(xué)數(shù)理學(xué)院，衡陽421000)

1 引 言

引力透鏡是引力理論的重要研究課題之一. 早在1921年，Eddington 及合作者[1]便借助于光線在太陽引力場(chǎng)中的偏折實(shí)驗(yàn)對(duì)愛因斯坦的廣義相對(duì)論進(jìn)行了驗(yàn)證. 目前，引力透鏡在天文學(xué)與宇宙學(xué)中有極重要的應(yīng)用，如探測(cè)黑洞、蟲洞、引力單極子、暗物質(zhì)和暗能量等[2-4].

引力透鏡效應(yīng)的傳統(tǒng)研究方法是測(cè)地線法[5-7]. 該方法因其直觀性被廣泛應(yīng)用于研究各種時(shí)空中的引力透鏡效應(yīng). 這種方法不能展現(xiàn)引力偏折角的整體效應(yīng)，且該方法的相關(guān)計(jì)算往往較繁瑣. 最近，Gibbons 和 Werner[8]倡導(dǎo)了一種新幾何方法 (GW法). 他們將 Gauss-Bonnet (GB) 定理應(yīng)用于史瓦西時(shí)空對(duì)應(yīng)的光學(xué)度規(guī)上，得到了計(jì)算引力偏折角的有效公式，并表明了引力偏折角是一種整體效應(yīng). 其后，Werner[9]將此方法推廣到研究穩(wěn)態(tài)時(shí)空中的引力透鏡效應(yīng). Gibbons 和 Werner 所發(fā)展的這套方法既適用于廣義相對(duì)論，也適用于其他引力理論[10-14]，這使得引力透鏡效應(yīng)的研究成果也層出不窮. 其中，Jusufi 及合作者[10-17]將該方法用于研究蟲洞、宇宙弦等所致的光線引力偏折效應(yīng). Ishihara 及合作者[18-19]將 GW 法應(yīng)用于研究有限距離情形下的光線引力偏折效應(yīng). Crisnejo 和 Gallo[20]將 GW 法推廣至研究具有非零靜質(zhì)量粒子的引力偏折效應(yīng). 之后，Jusufi 及合作者[21-22]優(yōu)化了文獻(xiàn)[20]的方法，借助于引力透鏡效應(yīng)來區(qū)分裸奇點(diǎn)和黑洞及蟲洞.

文獻(xiàn)[11]指出，GW 法關(guān)于 JNW 蟲洞中光線的二階引力偏折的計(jì)算結(jié)果與測(cè)地線法的相應(yīng)計(jì)算結(jié)果在二階項(xiàng)上存在差異. 我們發(fā)現(xiàn)，這種差異源自作者對(duì)高斯曲率積分時(shí)采用了零階光線軌道方程. 事實(shí)上，要正確計(jì)算光線的二階引力偏折，必須考慮一階引力效應(yīng)對(duì)光線傳播軌道的擾動(dòng). 本文以文獻(xiàn)[11]的研究思想為基礎(chǔ)，采用 GW 法將 JNW 蟲洞引力場(chǎng)中的光線偏折效應(yīng)計(jì)算至三階. 本文也將證明，在史瓦西時(shí)空情形下，JNW 蟲洞所致的三階光線引力偏折角將簡(jiǎn)化成廣義相對(duì)論中光線的三階史瓦西偏折角，從而說明 GW 法與測(cè)地線法對(duì)引力偏折高階貢獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果仍然是一致的. 由于諧和規(guī)范能較大地簡(jiǎn)化計(jì)算[5]， 本文將在諧和坐標(biāo)系中開展研究.

本文結(jié)構(gòu)如下：第2節(jié)推導(dǎo) JNW 蟲洞的諧和規(guī)范解；第3節(jié)推導(dǎo) JNW 蟲洞諧和度規(guī)對(duì)應(yīng)的光學(xué)度規(guī)，并計(jì)算其高斯曲率；第4節(jié)將 GB 定理應(yīng)用到 JNW 光學(xué)度規(guī)上，得到計(jì)算偏折角的一般式，從而解析計(jì)算 JNW 蟲洞所致的三階光線引力偏折角；第5節(jié)對(duì)本文做出總結(jié).

本文采用幾何單位制G=c=1，并約定希臘字母值域?yàn)?{0,1,2,3}，拉丁字母值域?yàn)?{1,2,3}.

2 Janis-Newman-Winicour蟲洞的諧和規(guī)范解

JNW蟲洞在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系(t,R,θ,φ)中的線元為[11]:

(1)

其中，γ=M/m. M是ADM質(zhì)量，m為一常數(shù)，兩者與漸近標(biāo)量電荷q的關(guān)系為M2=m2-kq2/2，其中 k(>0) 為物質(zhì)-標(biāo)量場(chǎng)耦合常數(shù).

(2)

(3)

(4)

對(duì)于上式，一類方便的解為

R=c′r+m

(5)

其中c′為常數(shù). 將方程(5)代入方程(3)，可得

(6)

令γ=1，方程(6)應(yīng)為史瓦西時(shí)空線元. 對(duì)比文獻(xiàn)[5]中的史瓦西諧和規(guī)范解，可知常數(shù) c′=1. 因此，JNW蟲洞的諧和規(guī)范解可表示為：

(7)

3 光學(xué)度規(guī)及其高斯曲率

由于JNW蟲洞時(shí)空是球?qū)ΨQ的，不失一般性，本文僅研究光線在其赤道面 (z=0) 內(nèi)的引力偏折效應(yīng).令ds2=0，可得方程(7)對(duì)應(yīng)的光學(xué)度規(guī)[8]：

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

將方程(10)～(12)代入(9)中，可得

(13)

4 Gauss-Bonnet定理和偏折角

設(shè)(D,gij)為二維緊、可定向微分流形. D?S，gij為D的黎曼度規(guī)，相應(yīng)的高斯曲率為K. ?D:{t}→D是D的邊界，由分段光滑的曲線圍成，其測(cè)地曲率為κ. 那么，Gauss-Bonnet定理可陳述為[8,11]：

(14)

其中，χ(D)為D的歐拉示性數(shù)，αi為曲線交點(diǎn)的外角，如圖1所示.

區(qū)域D由分段光滑的曲線?D1，?D2，…,?Dn圍成，α1，α2，… ，αn為曲線交點(diǎn)的外角.

Fig.1 The diagram of the Gauss-Bonnet theorem

The domain D is formed by the piecewise smooth curves ?D1, ?D2, …, and ?Dn, while α1, α2, …, and αnare the exterior angles of the intersections of these curves, respectively.

圖2 Gauss-Bonnet 定理在透鏡幾何中的應(yīng)用

S、O、L分別表示光源、觀測(cè)者和引力透鏡. L在區(qū)域DR0外，DR0由光線測(cè)地線γg和曲線CR0圍成

Fig.2 The application of the Gauss-Bonnet theorem to the lensing geometry

S, O and L denote the light source, the observer, and the gravitational lens, respectively. L is located outside the domain DR0which is bounded by the light geodesic γgand the curve CR0

下面將GB定理應(yīng)用于JNW蟲洞的光學(xué)度規(guī)上. 如圖2所示，考慮由光線軌道γg和一條曲線CR0：r=R0=constant圍成的不包含引力源L的區(qū)域DR0. γg與CR0的交點(diǎn)分別為光源S和觀測(cè)者O，其交點(diǎn)外角分別為αs和αo，α為光線引力偏折角. 因DR0不包含引力源L，有χ(DR0)=1. 又因光線軌道為測(cè)地線，故κ(γg)=0. 由于JNW光學(xué)幾何是漸近歐幾里得的，在弱極限近似下，若令R0→，則有αs+αo→π， κ(CR0)→1/R0和dt→R0dφ. 故GB定理可表示為：

(15)

即

α=-?DKdS

(16)

方程(16)說明引力偏折角α是一種整體效應(yīng)，其與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)[8-9].

最后，考慮到方程(10)和(13)，可由方程(16)獲得JNW蟲洞赤道面內(nèi)精確至3PM量級(jí)的光線引力偏折角：

(17)

其中，函數(shù)N的2PM解析式可由文獻(xiàn)[7, 23]所倡導(dǎo)的后閔可夫斯基迭代技術(shù)來推導(dǎo)，結(jié)果如下所示：

(18)

方程(17)是本文的主要結(jié)果. 下面討論該式的三種特殊情形：

(1) γ=2 時(shí)，對(duì)應(yīng)q為復(fù)數(shù)的JNW蟲洞. 在此情形下，方程(17)簡(jiǎn)化為：

(19)

(2)γ=1/2 時(shí)，對(duì)應(yīng)q為實(shí)數(shù)的JNW蟲洞. 此時(shí)方程(17)簡(jiǎn)化為：

(20)

(3)γ=1 時(shí)，對(duì)應(yīng)史瓦西時(shí)空. 此時(shí)方程(17)簡(jiǎn)化為：

(21)

根據(jù)上面的結(jié)果可知如下兩點(diǎn)：第一，方程(17)右邊的偏折角一階貢獻(xiàn)項(xiàng)與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果一致，而二階項(xiàng)與文獻(xiàn)[11]的結(jié)果存在差異. 這種差異來源于文獻(xiàn)[11]在計(jì)算偏折角二階貢獻(xiàn)時(shí)忽略了一階引力勢(shì)對(duì)光線傳播方程的擾動(dòng)效應(yīng). 正是這種近似處理誤導(dǎo)了作者，使其在該文獻(xiàn)中做出GW法和測(cè)地線法對(duì)于引力透鏡效應(yīng)的計(jì)算僅在一階偏折近似下一致的結(jié)論. 第二，由方程(21)可知，對(duì)于史瓦西時(shí)空這種特殊情形 (γ=1)，本文用GB定理所得到的三階光線引力偏折角與測(cè)地線法的結(jié)果[24]完全一致. 這說明GW法與測(cè)地線法在計(jì)算高階引力透鏡效應(yīng)時(shí)也是自恰的.

5 結(jié) 論

本文借助于Gauss-Bonnet定理計(jì)算了JNW蟲洞赤道面光線的弱場(chǎng)引力偏折效應(yīng). 主要結(jié)論如下：(1) 獲得了JNW蟲洞引力場(chǎng)中光線的三階偏折角. 其中，該偏折角的二階貢獻(xiàn)項(xiàng)和三階貢獻(xiàn)項(xiàng)的上述解析式均屬于首次出現(xiàn). (2) 本文的計(jì)算證明了GW法與測(cè)地線法在計(jì)算高階 (如二階和三階) 引力偏折效應(yīng)時(shí)也是自恰的. (3) 獲得了JNW蟲洞在諧和坐標(biāo)系下的嚴(yán)格度規(guī).