張曉青

(太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系,山西太原 030008)

1990年，大洋彼岸的馬里蘭大學(xué)Ott[1]等人實(shí)現(xiàn)了對混沌吸引子不穩(wěn)定周期軌道的控制，同年美國學(xué)者Pecora 和Carroll[2]二人在電路實(shí)驗(yàn)中觀察到耦合混沌系統(tǒng)的同步現(xiàn)象。這些史無前例的開創(chuàng)性工作激起了人們對混沌機(jī)理的研究。隨著研究的深入，提出了多種混沌同步的概念，比如，投影同步[3]，錯位投影同步[4]，函數(shù)投影同步(FPS)[5-7]等。文獻(xiàn)[5]通過設(shè)計滑模面，實(shí)現(xiàn)了多個整數(shù)階混沌系統(tǒng)的組合函數(shù)投影同步。文獻(xiàn)[6]設(shè)計積分滑模面，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的FPS。文獻(xiàn)[7]研究了兩個納電子整數(shù)階超混沌系統(tǒng)的FPS，并且利用Lyapunov 理論設(shè)計了控制輸入項(xiàng)。文中討論異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)之間的FPS。利用Laplace 變換，將分?jǐn)?shù)階微分轉(zhuǎn)換到Laplace 域中，然后用整數(shù)階微分去逼近分?jǐn)?shù)階微分，把問題轉(zhuǎn)化成不同維數(shù)整數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的同步。通過減少驅(qū)動系統(tǒng)的維數(shù)，達(dá)到驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的維數(shù)一致，基于Lyapunov 穩(wěn)定性理論設(shè)計了非線性控制輸入和參數(shù)辨識規(guī)則。最后利用MATLB驗(yàn)證所設(shè)計方案的合理性。

1 函數(shù)投影同步方法描述

驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)定義如下：

其中：

分別是系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的狀態(tài)向量。F,G：Rn→Rn為連續(xù)向量函數(shù)，u()x,y為非線性控制輸入機(jī)制。

定義1針對系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)，如果存在一個尺度函數(shù)對角矩陣K(t)=diag(k1(t),k2(t),…,kn(t)),ki(t)≠0 使得成立，則說系統(tǒng)(1)，(2)處于函數(shù)投影同步(FPS)狀態(tài)[8]。

2 分?jǐn)?shù)階Wang 系統(tǒng)和整數(shù)階超混沌Lü 系統(tǒng)的函數(shù)投影同步

2.1 系統(tǒng)描述

分?jǐn)?shù)階超混沌Wang 系統(tǒng)[9]的動力學(xué)模型如下：

當(dāng)q=0.95，系統(tǒng)初值分別取值為x1(0)=15y1(0)=20，z1(0)=10，w1(0)=40 時,Wang 系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。

整數(shù)階超混沌Lü 系統(tǒng)的形式如下：

當(dāng)未知參數(shù)p，q，r，j取值為(p,q,r,j)=(36,20,-3,1)，系統(tǒng)初值取為y1,1(0)=1，y1,2(0)=2，y1,3(0)=3，y1,4(0)=4 時，整數(shù)階超混沌Lü 系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。

2.2 超混沌Wang系統(tǒng)和Lü 系統(tǒng)的函數(shù)投影同步

Wang 混沌系統(tǒng)(3)作為驅(qū)動系統(tǒng)，Lü 混沌系統(tǒng)(4)作為響應(yīng)系統(tǒng)。在這一部分，將用整數(shù)階微分來近似Wang 混沌系統(tǒng)，進(jìn)而將分?jǐn)?shù)階超混沌Wang 系統(tǒng)和整數(shù)階超混沌Lü 系統(tǒng)的FPS 問題變?yōu)殡A數(shù)不同(十二階與四階)的整數(shù)階超混沌系統(tǒng)之間的FPS。

對分?jǐn)?shù)階Wang 混沌系統(tǒng)(3)進(jìn)行Laplace 變換,并假設(shè)其初始值均為零，則：

其中,ψ表示Laplace 算子，s為復(fù)變數(shù)。X1(s)=ψ[x1(t)]，Y1(s)=ψ[y1(t)]，Z1(s)=ψ[z1(t)]，W1(s)=ψ[w1(t)]。根據(jù)近似誤差為1dB的1的展開式,有：

在(6)式 中b=1.456，c=144.929，f=184.749,g=265.6714，h=2.976，k=162.3502。

將式(6)代入式(5)得：

在時域中,令

將(7)式進(jìn)行Laplace 逆變換，可得分?jǐn)?shù)階Wang混沌系統(tǒng)的整數(shù)階擬合方程如下：

此處利用縮減驅(qū)動系統(tǒng)維數(shù)以達(dá)到驅(qū)動響應(yīng)系統(tǒng)維數(shù)一致。降維后的驅(qū)動系統(tǒng)為：

加入控制輸入的響應(yīng)系統(tǒng)如下：

此處ui(i=1,2,3,4)為同步控制輸入。

函數(shù)同步誤差系統(tǒng)為：

控制輸入設(shè)計為：

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)如下：

顯然V≥0,成立，根據(jù)Lyapunov 理論，則當(dāng)t逐漸增大的過程中，Wang 系統(tǒng)和Lü 混沌系統(tǒng)達(dá)到了FPS 狀態(tài)。

2.3 數(shù)值仿真

用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，系統(tǒng)(10)與(11)的初始值分別取x1,1(0)=0，x1,2(0)=0,x1,3(0)=15，x1,4(0)=0,y1,1(0)=1,y1,2(0)=2,y1,3(0)=3,y1,4(0)=4 。參數(shù)取為p=36，q=20，r=-3，j=1，標(biāo)度函數(shù)ki(t)(i=1,2,3,4)分別取為k1(t)=sint，k2(t)=sint+1，k3(t)=cost-1,k4(t)=cost+1，bi分別取b1=7，b2=8，b3=20，b4=6 時，Wang系統(tǒng)和Lü 混沌系統(tǒng)的FPS誤差變化如圖1所示。很顯然兩系統(tǒng)在短時間內(nèi)達(dá)到了FPS 狀態(tài)。圖2 為Lü 系統(tǒng)的未知參數(shù)p,q,r,j隨著時間變化的過程，未知參數(shù)的估計值很快回歸到理想值。

圖1 誤差曲線

圖2 Lü 系統(tǒng)的參數(shù)估計曲線

3 結(jié)論

把Laplace 變換作為工具，得到分?jǐn)?shù)階Wang 混沌系統(tǒng)的近似整數(shù)階混沌系統(tǒng)。針對整數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的同步，設(shè)計了控制輸入機(jī)制和對應(yīng)的參數(shù)變化規(guī)律使驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了FPS 狀態(tài)。仿真結(jié)果和理論推導(dǎo)相呼應(yīng)，說明了所設(shè)計的控制輸入的合理性。操作的方法為整數(shù)階與分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)同步提供了新的思路。