朱世昕 ,林志春 ,李 笑 ,郭 浩

(1.山西大同大學(xué)教育科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山西大同 037009；2.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山西大同 037009）

1 問題重述

在高溫環(huán)境下作業(yè)時，工作人員需穿著專用服裝以避免灼傷。這種專用服裝它由三層織物材料構(gòu)成，分別是與外界環(huán)境接觸的I 層，衣服內(nèi)部從外到里的II、III 層，以及III 層與皮膚之間的IV 層空隙。設(shè)計專用服裝時，為了降低研發(fā)成本、縮短研發(fā)周期，將體內(nèi)溫度控制在37 ℃的假人放置在實驗室的高溫環(huán)境中實驗，測量并記錄假人皮膚外側(cè)的溫度，并建立數(shù)學(xué)模型。

問題：

（1）專用服裝材料的某些參數(shù)值已給出，對環(huán)境溫度為75 ℃、II 層厚度為6 mm、IV 層厚度為5 mm、工作時間為90 分鐘的情形開展實驗，測量得到假人皮膚外側(cè)的溫度。建立數(shù)學(xué)模型，計算溫度分布，并生成溫度分布的Excel文件；

（2）當(dāng)環(huán)境溫度為65 ℃、IV層的厚度為5.5 mm時，確定II 層的最優(yōu)厚度，確保工作60分鐘時，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時間不超過5分鐘；

（3）當(dāng)環(huán)境溫度為80 ℃時，確定II 層和IV 層的最優(yōu)厚度，確保工作30 分鐘時，假人皮膚外側(cè)溫度不超過47 ℃，且超過44 ℃的時間不超過5分鐘。

2 模型建立與求解

2.1 問題1的分析與求解

2.1.1 對假人皮膚外側(cè)溫度的測量數(shù)據(jù)分析

在假人外側(cè)皮膚溫度測量實驗中，假人皮膚溫度隨時間推移逐漸升高。在所給實驗數(shù)據(jù)中，記錄下假人皮膚外側(cè)以秒為單位，在5 400 秒的溫度變化情況，并用MATLAB 擬合出溫度時間曲線，如圖1所示。

圖1 溫度時間圖

可以看到，28分鐘后的溫度幾乎是穩(wěn)定的，所以需要對數(shù)據(jù)采取抽樣處理的方法進(jìn)行處理。

2.1.2 對數(shù)據(jù)抽樣分析

經(jīng)研究，將數(shù)據(jù)每隔60 秒抽取一個溫度測量值，并將每個時刻的對應(yīng)溫度值統(tǒng)計出來，整理成Excel表格，見表1。

表1 溫度分布表

利用SPSS 對抽樣數(shù)據(jù)建立溫度曲線模型，所得溫度變化曲線，如圖2所示。

圖2 溫度變化曲線

建模過程中其模型統(tǒng)計及參數(shù)評估，見表2。

表2 模型統(tǒng)計及參數(shù)評估

2.1.3 利用SPSS擬合得數(shù)學(xué)模型

所建立模型為：

2.1.4 模型檢驗

在Excel表中代入模型，得到對應(yīng)時刻的溫度，以及模型所求溫度與實際試驗溫度的差值，見表3。

表3 假人皮膚外側(cè)的測量溫度和模型所求溫度

2.2 問題2的分析與求解

熱量傳遞是個復(fù)雜過程，可分解為三種不同的方式：導(dǎo)熱、對流和熱輻射。在問題中主要考慮導(dǎo)熱和對流這兩種傳熱方式，來探討在高溫作業(yè)服的熱量傳遞過程。

熱力學(xué)第二定律中指出，在溫度差存在的情況下，熱量總是會自發(fā)地從高溫物體向低溫物體傳遞，如圖3所示。

圖3 服裝任意一層的截面示意圖

其中δ為厚度，A為表面積，tw1和tw2分別為兩個表面溫度，且假設(shè)tw1＞tw2。那么在單位時間內(nèi)從表面1到表面2的熱流量Φ和材料兩側(cè)的溫差Δt=tw1-tw2與熱流方向和材料表面積A是成正比的，與平板的厚度δ是成反比的，即[1]：

在單位時間內(nèi)通過單位面積的熱流量為

2.2.1 求最優(yōu)解模型

由能量守恒定律，物體內(nèi)的任一微元體的熱平衡式[1]：

熱阻串聯(lián)，如圖4所示。

圖4 熱阻串聯(lián)圖

在圖4 所示的熱阻串聯(lián)環(huán)境中,由熱平衡式得出下列不等式（忽略內(nèi)熱源產(chǎn)熱）

利用數(shù)學(xué)軟件Matlab 得出第二層厚度的邊界解為-11.162 795 34mm(排除)與1.067 574 32 mm，即解出第二層厚度最優(yōu)解為1.067 574 32 mm。

2.2.2 檢驗?zāi)Ｐ?/p>

根據(jù)第一思路分析，最大的阻礙就是關(guān)于總傳熱系數(shù)的h求解，因此檢驗?zāi)Ｐ偷牡谝徊绞乔蠼鈎，對h的求解是建立在問題一的條件下的，并且假設(shè)總傳熱系數(shù)是1 個定值，不受其他因素干擾。下面我們分兩步進(jìn)行建模，在第三步中對最優(yōu)解模型結(jié)論進(jìn)行檢驗。

第一步：

將熱流量密度作為中間橋梁列出熱阻（關(guān)于所求厚度的函數(shù)）與總傳熱系數(shù)h之間的關(guān)系式[2-3]：

(1)對于式（6）第一式的右側(cè)，文獻(xiàn)[2]中圍巖導(dǎo)熱過程分析中，將高斯誤差函數(shù)和人體與空氣對流相關(guān)知識結(jié)合，進(jìn)而得到式（6）的第一式右側(cè)；

(2)為在一定程度上減小誤差，方程中的t5取自附件一中工作時間內(nèi)的加權(quán)平均溫度tˉ=46.77℃，時間τ取附件一中的加權(quán)平均值τˉ=3236s（注：根據(jù)問題一中得到溫度隨時間的變化曲線，知分界時間為1680s，將時間以及溫度分為兩段，得以兩段的權(quán)比為14：45，得出時間溫度的加權(quán)平均值），然后利用數(shù)學(xué)軟件Matlab直接求得：

h≈0.0020984W/(m2?C)。

第二步：

將問題情境牽引回問題2中，根據(jù)思路一中“前后夾擊”的方法，第四層的溫度當(dāng)成所求量t4，再根據(jù)由外至內(nèi)以及由內(nèi)至外，兩面“夾擊”求得t4。建立的方程是將外三層看成一個整體下進(jìn)行的，依舊是以熱流量密度q為中間橋梁，利用傅里葉定律以及熱流量密度的定義將問題條件得出關(guān)系式：

其中：t5|τ=60min=47℃，Δt5=47℃-44℃,Δτ=5 min。

第三步：

代值反解出t4，判斷其是否違背客觀現(xiàn)實。將第一步中求出的近似總傳熱系數(shù)與最優(yōu)解模型得到的最優(yōu)厚度σ2（涉及到的σ均以mm 為單位）代入式(7)中，反解出第四層的氣體溫度大約是48.60℃，由第四層跟人體之間的對流導(dǎo)熱致使人體溫度最高達(dá)到47℃的原理反推出第四層氣體溫度相差不大，并且這個結(jié)果與客觀事實雖然有著一些差距，但誤差是在可接受范圍內(nèi)的，也就是說，通過最優(yōu)解模型得出的第二層的最優(yōu)厚度是相對正確的。

2.3 問題3的分析與求解

問題3 與問題2 屬同類問題，只是要確定的最優(yōu)解變成了兩個，為將問題3 的求解過程簡化，直接利用問題2的求解過程。

將問題3轉(zhuǎn)為線性規(guī)劃問題[4-7]，最后利用數(shù)學(xué)軟件直接得出所求兩個最優(yōu)厚度。

將式(5)進(jìn)行擴充得到：

3 模型評價

3.1 模型優(yōu)點

問題1的模型充分依據(jù)附件所給的假人體表溫度數(shù)據(jù)，利用MATLAB和SPSS軟件擬合出符合已給數(shù)據(jù)的曲線，該曲線R方為0.991，這說明擬合曲線跟實際數(shù)據(jù)擬合程度較高，體現(xiàn)了該模型的準(zhǔn)確性。

問題2的模型以熱能量守恒為基礎(chǔ)，可較合理的求解出在特定溫度下，經(jīng)過一定時間后人體表面的溫度，運用熱能量守恒定律極大地在運算復(fù)雜度上降到了最低，避免了其他模型的繁復(fù)的計算。

問題3 與問題2 使用相同原理，因此可以得出第二層材料厚度與第四層材料厚度的函數(shù)關(guān)系式，通過線性規(guī)劃求出兩個最優(yōu)解。

3.2 模型缺點

因為存在多種熱傳遞方式，其中熱輻射對實驗影響過多，為簡化問題，將這一因素舍去，導(dǎo)致建立的模型跟實際誤差相對較大，再者對于材料表面積上的差異，將所有層面的表面積近似看成人體表面積，因此模型存在的誤差會繼續(xù)變大。