錢 龍，王 剛，李夢瑤，李向鵬

(大連理工大學(xué) 水利工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024)

對于混凝土重力壩，壩基深層抗滑穩(wěn)定研究是其結(jié)構(gòu)安全可靠性分析的重要一環(huán)[1]。重力壩壩基巖體失穩(wěn)可能包含多種失穩(wěn)通道(或路徑)，而將具有多失穩(wěn)通道的基巖視為體系可靠度模型中的串并聯(lián)系統(tǒng)將更加符合工程實際[2]。同時，工程實踐和理論分析表明，決定重力壩壩基穩(wěn)定可靠性的幾何與物理力學(xué)參數(shù)、失穩(wěn)準(zhǔn)則中的安全系數(shù)允許值等往往存在多種不確定性，它們的取值邊界通常并不十分清晰，即存在一定程度的模糊性。抗滑穩(wěn)定計算參數(shù)的隨機(jī)性、模糊性以及失效準(zhǔn)則的模糊性是重力壩抗滑穩(wěn)定模糊體系可靠度分析中要考慮的問題[3-4]，也是當(dāng)前大壩安全與可靠性研究中的難點問題之一。因此，將體系可靠度與模糊理論結(jié)合，對隨機(jī)與模糊不確定因素組合下重力壩的抗滑失穩(wěn)問題進(jìn)行研究，是完善重力壩設(shè)計理論的重要基礎(chǔ)性理論工作，也是保障重力壩安全穩(wěn)定運行的重要技術(shù)手段。

目前在結(jié)構(gòu)體系可靠度研究方面，主要有寬窄界限法[5]、主次結(jié)合法[6-7]等；在巖土工程模糊可靠度研究領(lǐng)域，主要是選用合理的隸屬函數(shù)分別對巖土穩(wěn)定參數(shù)和失效準(zhǔn)則(極限狀態(tài)方程)進(jìn)行模糊化[8]，通過考慮不同隸屬度，得到數(shù)個可靠指標(biāo)的模糊區(qū)間，并通過加權(quán)平均法來對這些區(qū)間進(jìn)行處理[9]。本文將模糊理論與體系可靠度方法相結(jié)合，綜合考慮重力壩抗滑穩(wěn)定參數(shù)及失穩(wěn)準(zhǔn)則的隨機(jī)模糊性，從而進(jìn)一步深入研究多斜面、多滑移通道復(fù)雜重力壩壩基抗滑失穩(wěn)評價理論，雖然本文研究成果是基于某一重力壩工程實例，但研究方法和研究思路仍具有普遍意義上的科研與應(yīng)用價值。

1 重力壩抗滑穩(wěn)定模糊可靠度

1.1 隨機(jī)變量的模糊截集處理

工程實際表明，巖土強(qiáng)度參數(shù)(變量)可以用有界正態(tài)隸屬函數(shù)表示其模糊性[10]，模糊隸屬函數(shù)大多服從數(shù)值為正值的近似正態(tài)分布，即：

(1)

式中：mx、σx為巖土樣本平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值；k為隸屬函數(shù)的取值參數(shù)，在邊坡工程一般取0.5～3.0[11]。本文主要討論影響重力壩可靠度的兩個重要因素，抗剪斷摩擦系數(shù)f′和黏聚力c′[12]。

1.2 失效準(zhǔn)則界限模糊的隸屬函數(shù)

模糊理論假定穩(wěn)定狀態(tài)到失穩(wěn)狀態(tài)之間存在模糊區(qū)間，反映到失效準(zhǔn)則上，即是安全系數(shù)容許值不確定，可將極限狀態(tài)方程變?yōu)閇13]：

(2)

(3)

式中：λ為隸屬度；α是極限狀態(tài)的最大容差值，其取值主要參照以往工程經(jīng)驗，邊坡工程中可取α∈[0.01,0.10]。

1.3 考慮模糊失效概率界限比的模糊可靠度

利用水平截集法可以將模糊極限狀態(tài)方程變?yōu)榻?jīng)典極限狀態(tài)方程，求解可靠度β的區(qū)間值。若要得到一個確定性的值，可取多個隸屬度λ，將得到的多個失效概率區(qū)間的上下界值通過加權(quán)平均得到模糊隨機(jī)可靠指標(biāo)，但前提是失效概率區(qū)間的上、下界差距不宜過大。邊坡工程中一般取λ∈[0.75,1.00]，當(dāng)λ<0.75時，失效概率計算結(jié)果將過于分散從而導(dǎo)致沒有實際意義上的參考價值。

目前關(guān)于式(1)和式(3)中隸屬函數(shù)參數(shù)k和α取值的研究成果較少。事實上，由于大壩工程的失效概率相對較小，研究工程模糊體系可靠度時，隸屬函數(shù)的不同形式、隸屬函數(shù)中參數(shù)k和α的取值、隸屬度λ的取值，都會導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)較大的差異，為了得到更具有確定性的研究結(jié)論，本文提出模糊失效概率界限比的概念。

以R模糊失效概率上下界比值，即

(4)

對于某一失效事件，當(dāng)失效準(zhǔn)則隸屬函數(shù)的隸屬度λ一定時，R的變化能代表隨機(jī)變量的模糊區(qū)間范圍的大小，R=1時，即不考慮變量的模糊性，而當(dāng)R>1時，R值越大，變量模糊區(qū)間范圍越大。

如果工程中存在n個相互獨立的失效事件，具均有模糊性，其中以Ri表示因素i(本文指隨機(jī)變量和失效準(zhǔn)則的模糊)對R的影響，對于所有事件則有：

(5)

根據(jù)前文定義，若Ri=1，即不考慮因素i的模糊性影響。

對于具有兩個模糊因素的問題，用比值Rij=Ri/Rj來代表兩者在整體模糊隨機(jī)失穩(wěn)事件中所占的比重，可知Rij范圍為[1/R,R]，數(shù)值越大因素i的模糊性占的比重越高，其上、下界分別代表失穩(wěn)概率的模糊性完全由因素i決定和完全由因素j決定。

通過規(guī)定Ri的值，可以得到對應(yīng)因素i模糊隸屬函數(shù)中參數(shù)如k或α的具體取值，并進(jìn)行工程模糊可靠度分析研究，從而得到關(guān)于不同因素模糊性占比、隸屬函數(shù)形式以及隸屬函數(shù)中參數(shù)選定等的定量分析結(jié)論，從而保證當(dāng)調(diào)整模糊隸屬函數(shù)參數(shù)k和α?xí)r也能將考慮失效準(zhǔn)則模糊性的加權(quán)平均法用于重力壩抗滑穩(wěn)定模糊可靠度計算。

2 重力壩抗滑穩(wěn)定體系可靠度

為便于描述，我們規(guī)定，當(dāng)重力壩基巖中存在多條滑移通道時，將每條滑移通道分別視為壩基抗滑穩(wěn)定可靠度計算時的一種失效模式，當(dāng)不同滑移通道之間具有共用滑移面時，各失效模式之間將具有一定的相關(guān)性，這時，多條滑移通道可作為可靠度計算的串并聯(lián)體系考慮。

2.1 體系可靠度的計算

(1) Ditlevsen窄界限法。主要考慮兩兩失效模式間的聯(lián)合分布的概率，利用概率論得到體系可靠度界限公式，其形式如下：

(6)

式中：Pfi是事件Ei的失效概率；P(Ei∩Ej)是第i和第j這兩個失效模式同時失效的概率，其計算參考文獻(xiàn)[11]。

Ei和Ej之間的相關(guān)系數(shù)ρEiEj，可以通過下式求得：

(7)

式中：αik、αjk是第i、j個失效模式xk中隨機(jī)變量的靈敏度系數(shù)，使用驗算點法求得，對于無法求偏導(dǎo)的復(fù)雜功能函數(shù)，可借助智能優(yōu)化算法求解[14]。

(2) 主次結(jié)合法。結(jié)構(gòu)體系的失效通常是由少數(shù)幾個主要失效模式引起的，只考慮主、次失效模式的相關(guān)性，對Ditlevsen窄界限公式簡化得到模型如下：

(8)

式中：Rs是結(jié)構(gòu)可靠概率；ρ12是主次事件的相關(guān)系數(shù)；式(8)中R0.6計算見下式：

(9)

(3) 蒙特卡洛法。蒙特卡洛法通過對示性函數(shù)進(jìn)行變更來解決體系可靠度問題，若存在m個失效模式的串聯(lián)體系，將示性函數(shù)變?yōu)椋?/p>

(10)

式中：I[gi(x)]表示第i個失效模式的示性函數(shù)，多個gi(x)之間應(yīng)存在共用隨機(jī)變量的情況，這代表了失效模式間的相關(guān)性。

2.2 考慮模糊性的體系可靠度計算

若結(jié)構(gòu)體系的基本結(jié)構(gòu)形式不發(fā)生變化，則其整體失效程度會隨著其中任一模式失效程度的變化而變化，在重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度分析中，單個滑移通道的模糊可靠度上、下限值對應(yīng)著模糊體系可靠度的上、下限值。

3 工程算例

3.1 工程概況

某已建重力壩，其壩頂高程為2 564.00 m，最大壩高119.00 m，正常蓄水位和下游水位分別為2 560.00 m和2 471.61 m，淤沙高度52.7 m，取滲透揚壓力系數(shù)為0.25，某一典型河床壩段的巖基內(nèi)存在較多的緩傾角軟弱結(jié)構(gòu)面。存在五個潛在滑移面，E-F、F-G、G-B、D-F、G-C，這些滑移面共組成四條滑移通道，分別為DFGB、DFGC、EFGB、EFGC。該大壩工程抗滑穩(wěn)定目標(biāo)可靠指標(biāo)值為3.7。本文僅考察基巖內(nèi)結(jié)構(gòu)面抗剪斷參數(shù)的不確定性。抗滑穩(wěn)定可靠度計算時，使用正常蓄水位條件下的荷載組合，即需要考慮大壩和巖體的自重、上下游水壓力、揚壓力、浪壓力、淤沙壓力等作用的組合，且均為定值。

圖1 滑移通道示意圖

根據(jù)現(xiàn)場實測統(tǒng)計資料和已有文獻(xiàn)對抗剪斷強(qiáng)度參數(shù)統(tǒng)計特征的規(guī)定，基巖內(nèi)各滑移面上抗剪斷摩擦系數(shù)f′和黏聚力c′取值和概率分布特征如表1所示。

3.2 體系可靠度計算

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，使用剛體極限平衡法構(gòu)建多斜面情況下的極限狀態(tài)方程，由于安全系數(shù)K的計算需要求解非線性方程組，對應(yīng)可靠度計算的功能函數(shù)為非線性隱式功能函數(shù)。在本文作者之前研究工作的基礎(chǔ)上，可使用差分進(jìn)化算法[16]求解單個滑移通道的可靠指標(biāo)和對應(yīng)的驗算點，為便于說明問題實質(zhì)，這里只考慮f′和c′相關(guān)系數(shù)ρf′c′為0.0和-0.3的兩種情況。當(dāng)ρf′c′為0.0時可得到滑移面EFGB、DFGB、EFGC、DFGC的可靠指標(biāo)分別為4.116、3.787、4.214、3.909。給滑移面失效模式編號1、2、3、4，作為兩兩之間相關(guān)系數(shù)ρij的下標(biāo)，如EFGB和DFGB失效模式的相關(guān)系數(shù)為ρ12，利用式(7)得相關(guān)系數(shù)表如表2所示。

表1 基巖結(jié)構(gòu)面參數(shù)的統(tǒng)計特征

表2 失穩(wěn)模式相關(guān)系數(shù)表

使用Ditlevsen二階模型法，主次結(jié)合法，蒙特卡洛法，分別進(jìn)行體系可靠度計算，計算結(jié)果見表3。

表3 體系可靠度計算結(jié)果對比

根據(jù)計算結(jié)果可知，當(dāng)ρf′c′=0.0時，雖然單一滑移通道均滿足目標(biāo)可靠指標(biāo)β=3.7的要求，但體系可靠度并不滿足，可見基于多條滑移通道考慮基巖抗滑穩(wěn)定體系可靠度是非常必要的；當(dāng)隨機(jī)變量存在負(fù)相關(guān)性時，體系可靠度增加；Ditlevsen窄界限法的界限較窄，對比蒙特卡洛法，誤差在1%左右，可滿足工程精度需要，主次結(jié)合法計算結(jié)果也滿足工程精度要求；蒙特卡洛法需要計算多條失效路徑的聯(lián)合示性函數(shù)，在PC上得到一個結(jié)果需數(shù)天時間，效率較低。

3.3 基于模糊失效概率界限比的模糊可靠度分析

考慮隨機(jī)變量模糊隸屬函數(shù)為擬正態(tài)分布，失效準(zhǔn)則模糊隸屬函數(shù)為對稱三角分布，以Rv代表隨機(jī)變量模糊性對界限比R的影響，Rz代表失效準(zhǔn)則模糊性對R的影響。根據(jù)式(5)則有R=RvRz。

(1) 考慮R值與隸屬函數(shù)形式的模糊可靠度分析。首先，討論模糊隸屬度函數(shù)中參數(shù)k和α取值對模糊可靠度計算結(jié)果的影響。由于事件的模糊性隨隸屬函數(shù)參數(shù)k和α的增大而增強(qiáng)，則分別取兩個參數(shù)建議值的上界和下界組成四種邊界情況，即以k為0.5和3.0、α為0.01和1.00分別進(jìn)行組合，得到不同隸屬度時的可靠指標(biāo)區(qū)間如圖2所示。

圖2 隸屬函數(shù)參數(shù)不同取值的可靠指標(biāo)

從圖2可以看出，隸屬函數(shù)參數(shù)k和α的不同取值對模糊可靠指標(biāo)區(qū)間范圍的影響較大，其中k值的變化對最終模糊可靠度范圍的影響相對顯著。

然后，考慮不同隸屬函數(shù)形式對模糊可靠度計算結(jié)果的影響。這里先假定當(dāng)R值為定值且隸屬度為λ=0.75時不同形式隸屬函數(shù)的模糊性影響相同。當(dāng)k=3.0，α=0.10時，本算例有Rv=1096.145，Rz=4.195。

以隨機(jī)變量隸屬函數(shù)為擬正態(tài)分布、三角分布，失效準(zhǔn)則為正態(tài)分布、三角分布為例，對比不同隸屬函數(shù)形式的模糊可靠度計算結(jié)果，得到不同隸屬度形式組合時的可靠指標(biāo)分布如圖3所示。圖中“擬正態(tài)-三角”表示隨機(jī)變量隸屬函數(shù)為擬正態(tài)分布，失效準(zhǔn)則隸屬函數(shù)為三角分布，其余以此類推。

圖3 同R值下不同隸屬函數(shù)的可靠指標(biāo)

從圖中可以看出，隸屬函數(shù)的離散程度直接影響到了模糊可靠指標(biāo)區(qū)間的離散程度，且隨機(jī)變量模糊隸屬函數(shù)變化引起的結(jié)果改變更明顯，這是因為Rv遠(yuǎn)大于Rz。以給定R值討論工程的模糊性時能得到關(guān)于隸屬函數(shù)形式對可靠度計算結(jié)果的影響的更定性的結(jié)論。

(2) 基于R值的加權(quán)平均法。如若要使用加權(quán)平均法計算模糊可靠指標(biāo)綜合值，則失效概率的上、下界應(yīng)在一個量級上以保證加權(quán)計算的合理性，即有R≤10。

以滑移通道EFGB(失效模式1)且不考慮隨機(jī)變量相關(guān)性以為例，取R=9進(jìn)行試算。

分析其中Rv=Rz=3的情形，經(jīng)過試算得到相應(yīng)的k=0.237，a=0.0766，計算此時不同隸屬度的可靠指標(biāo)，如表4所示。

表4 模糊可靠度計算結(jié)果

對表4中失效概率加權(quán)求和，得到滑移通道EFGB的失效概率為2.457×10-5，模糊可靠指標(biāo)為4.060，不考慮模糊性的結(jié)果為4.116，可見，不考慮模糊不確定性時可靠性計算結(jié)果偏于保守。

討論本算例中隨機(jī)變量模糊性和失效準(zhǔn)則模糊性占R的比重，即Rvz的對模糊可靠地的影響，分別令Rvz為1/9和9，得到模糊可靠指標(biāo)結(jié)果為4.070和4.048。Rvz從1/9增大到9時，結(jié)構(gòu)的模糊性從完全由失效準(zhǔn)則模糊性來決定過渡到完全隨機(jī)變量模糊性來決定，模糊可靠指標(biāo)僅減小0.5%左右，影響非常小。

若R=9且完全由失效準(zhǔn)則決定，對其取正態(tài)隸屬函數(shù)、三角隸屬函數(shù)、尖Γ隸屬函數(shù)，分別得到模糊可靠指標(biāo)為4.004，4.057，4.072，變化并不明顯，從圖3可以推測，其值變化應(yīng)該和隸屬函數(shù)在隸屬度范圍內(nèi)的離散程度有關(guān)。

通過上面的分析可以知道，影響模糊可靠指標(biāo)的因素主要來自于R值的大小以及隸屬函數(shù)的形式；而使用加權(quán)平均法后，由于同時需要對R值做假定，減小了隸屬函數(shù)形式的影響。

3.4 考慮模糊性的體系可靠度計算

從兼顧精度和效率上考慮，本文使用窄界限法求解模糊體系可靠度。另外，考慮如下代表性情況：對于隸屬函數(shù)的形式，隨機(jī)變量的模糊采用擬正態(tài)隸屬函數(shù)，失效準(zhǔn)則的模糊采用對稱三角隸屬函數(shù)；對于模糊隸屬函數(shù)中參數(shù)的取值，考慮邊坡常用中k=3，α=0.1和k=0.5，a=0.01的兩種常規(guī)情況，以及假定R=9(Rvz=1)時不同滑移通道對應(yīng)不同的k和α的情況。

通過模糊可靠度計算，得到單一失效模式不同隸屬度時模糊可靠度區(qū)間的上、下界值，然后采用式(6)進(jìn)行體系可靠度計算，從而得到本工程的模糊體系可靠度的界限，計算結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同隸屬度的體系可靠指標(biāo)

可見，當(dāng)k=3.0，α=0.10時，得到的模糊體系可靠度區(qū)間很大。實際上當(dāng)隸屬度為0.75時，使用邊坡工程中選取的模糊隸屬函數(shù)參數(shù)的取值，計算得到的模糊體系可靠度范圍為2.250～4.582，其界限比R最大達(dá)到5 301倍，使用加權(quán)平均法意義已經(jīng)不大，只能作為一個粗略的參考。

借助加權(quán)平均法，計算R=9時不同ρf′c′對應(yīng)不同的模糊體系可靠度，并和不考慮模糊性時的體系可靠度作為對比，由于本算例中窄界限法的區(qū)間上、下界差距不大，以其下界表示計算結(jié)果，并繪制不同隸屬度時的模糊體系可靠度值，計算結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同ρf′c′的模糊體系可靠度

可以看出，體系可靠度隨著隨機(jī)變量負(fù)相關(guān)性的增大而增大；考慮模糊時的體系可靠度值比不考慮模糊時要小，具有一定的借鑒意義。

4 結(jié) 論

本文結(jié)合模糊數(shù)學(xué)與體系可靠度理論，研究了重力壩多斜面多滑移通道壩基的抗滑穩(wěn)定可靠度問題，結(jié)論如下：

(2) 若使用加權(quán)平均法，影響模糊可靠指標(biāo)的主要因素是R值以及隸屬函數(shù)形式，不過在規(guī)定R值的范圍內(nèi)，隸屬函數(shù)形式的影響不大；本文工程實例對隨機(jī)變量使用擬正態(tài)隸屬函數(shù)時，R值隨k值變化很明顯，故k需要結(jié)合具體工程進(jìn)行論證和選取。

(3) 窄界限法如果使用在失效概率較小的重力壩工程中，其界限很窄，參照蒙特卡洛法計算結(jié)果，其精度能滿足要求；重力壩抗滑穩(wěn)定問題同時考慮整體體系和模糊性后，得到的可靠指標(biāo)相對較小，在協(xié)調(diào)工程安全和工程建設(shè)的經(jīng)濟(jì)性方面具有現(xiàn)實意義。